七年级上第01讲 正数与负数 讲义+练习.docx
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七年级上第01讲正数与负数讲义+练习
正数与负数
适用学科
初中数学
适用年级
初一
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
正数和负数
教学目标
1.使学生了解“数”是为了满足生产和生活的需要而产生、发展起来的；会列举周围具有相反意义的量，并能用正负数来表示；会判断一个数是正数还是负数．培养学生的观察、想象、归纳与概括的能力；
2.掌握有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类,培养分类能力;了解分类的标准与分类结果的相关性,初步了解“集合”的含义;体验分类是数学上的常用的处理问题的方法；
3.体会数学符号的意义，通过师生合作，联系实际，感受数学与生活的联系，激发学习数学的热情；
教学重点
1.探索负数概念的形成过程，使学生建立正数与负数的数感.
2.正确理解分类的标准和按照定的标准进行分类.
3.联系实际生活，激发学生学习数学的兴趣
教学难点
负数概念的理解
【教学建议】
本章内容是数从自然数扩展到有理数，初步形成有理数的概念后，进一步学习有理数的运算，是小学算术的延续和发展。
数从自然数、分数扩展到有理数后，数的运算从内涵到法则都发生了变化，必须在原有的基础上重新建立。
有理数的有关概念和运算是整个学段“数与代数”领域内容的基础，从数学思想方法来看，“有理数”中利用数轴研究有理数的有关概念和性质中体现的“数形结合思想”是带有一般性的常用的数学思想方法。
无论从内容上还是思想方法上，都对初中数学的学习起着重要的作用。
一般地，在数学中我们常常用三种方式来表达同一个数学对象：
（1）文字语言（自然语言）----即用汉语文字来表示；
（2）符号语言----即用数学符号（字母、运算符号、关系符号等）来表示；
（3）图形语言----即用数学中的图形来表示。
例如：
在表达一个“负数”这个数学对象时，我们有：
文字语言：
一个数是负数；
符号语言：
a＜0；
图形语言：
【知识导图】
结合图片，思考我们学过的数是如何产生的？
1、由记数、排序，产生1，2，3，…
2、由表示“没有”“空位”，产生数0
3、由分物、测量，产生分数
…
【教学建议】通过前面的引导，得到正负数的概念，建议用三种语言对比的形式来加深理解
1．正数和负数的概念：
大于0的数叫做正数，在小学学过的数除了0以外都是正数．
在正数前面加“﹣”（读作负）的数叫做负数，负数比零小．即负数<0<正数．0既不是正数，也不是负数。
注意：
①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，﹣a是负数；当a表示负数时，﹣a是正数；当a表示0时，﹣a仍是0。
（如果出判断题为：
带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a，﹣a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”符号的数是正数。
2．具有相反意义的量：
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：
+8℃；零下8℃表示为：
﹣8℃。
3．0表示的意义：
⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
4．a可以表示什么数：
⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0，则a=0
【教学建议】字母表示数，是初中数学的一个主要方式，可以在学生理解正负数意义的基础上，加以补充。
考点2有理数及其分类
1．有理数：
凡能写成
形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.
注意：
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数；
2．有理数的分类:
①
②
【教学建议】认真掌握正数．负数．整数的定义与特点．需注意的是：
0是整数，但0既不是正数也不是负数．
类型一相反意义的量
【题干】
中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示（ ）
A．支出80元B．收入20元C．支出20元D．收入80元
【答案】A．
【解析】用正负数表示相反意义的量。
收入与支出是相反意义的量，如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示支出80元，故答案为A．
【总结与反思】本题目属于常考题型，用正负数表示相反意义的量。
关键把握好相反意义的量是谁，注意数据前后对应。
【教学建议】本题目在巩固定义的理解上，对其进行变形，需要学生观察仔细，认真思考。
根据题目意思进行填空：
（1）气球上升10米，记作+10米，那么－3米表示________，不升不降记作：
______；
（2）某班男生平均身高165cm，若高于平均身高记为正，低于平均身高记为负，甲、乙的身高分别记为－3cm，+4cm，则甲比乙矮cm。
（3）如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为。
（4）如果产量的增长28％记为+28％，则下降12％记为_________；若增长-10％表示__________________
【答案】
（1）气球下降3米，0米；
（2）7；（3）﹣3；（4）-12％，下降10％.
【解析】
（1）根据上升与下降是一对相反意义的量，故﹣3表示下降3米，不升不降表示0米；
（2）（方法1）身高以平均身高165cm为标准，高于平均身高记为正，低于平均身高记为负，甲为﹣3cm表示165﹣3=162cm，乙为+4cm表示165+4=169cm，故甲比乙矮169﹣162=7cm。
（方法2，甲比平均矮3cm，乙比平均高4cm，故甲比乙矮4﹣（﹣3）=7cm）；（3）如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为﹣3．注意单位是否添加，取决于前面的标准。
（4）增长为正，则下降为负，增长的为负值，说明数据是下降了，注意实际意义的理解.
【总结与反思】相反意义的量根据题目给出的条件进行表示。
用正数、负数表示的量，哪种意义为正，是可以任意选择的，但是习惯上把“上升、前进、收入、高于、向右等”规定为正，而把“下降、后退、支出、低于、向左等”规定为负．注意增长-10％，表示下降10％，这个地方学生在理解上会有少许难度。
类型二正数、0、负数、非负数、非正数
【教学建议】数的存在形式有三种：
正数、0、负数，在做相关题目的时候，需要学生认真思考。
下列说法正确的是（ ）
A．零是正数不是负数B．零既不是正数也不是负数
C．零既是正数也是负数D．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数
【答案】B．
【解析】零（0）是正数和负数的分界线，零（0）既不是正数，也不是负数。
不是正数的数，是0和负数，统称非正数；不是负数的数，是正数和0，统称非正数。
【总结与反思】零是正数、负数的分界线，既不是正数，也不是负数。
在做此类题目的时候需要细心，思考周全；
【教学建议】本题目在巩固定义的理解上，深化出的分类，难度较第一题有一定上升，需要学生仔细辨认，思考周全。
学习了有理数的相关内容后，张老师提出了这样一个问题：
“在1，－0.3，
，0，－3.5这五个有理数中，非负数有哪几个？
”同学们经过思考后，小明同学举手回答说：
“其中的非负数只有1和
这两个．”
你认为小明的回答是否正确：
________________，
你的理由是：
_________________________________________________________．
【答案】不正确，理由是：
正数与0统称非负数.
【解析】本例考查非负数。
非负数包括正数与0，大于等于0的数；非正数包括负数与0，小于等于0.
【总结与反思】此类题目在做的时候需要学生理解分类方式，考虑问题全面。
后面涉及有理数的分类，综合在一起，需要提醒学生各类方式的特征，思考周全。
类型三有理数及其分类
【题干】下列说法正确的是（ ）
A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有，是有理数
C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数
【答案】D；
【解析】0是非负有理数，但不是正有理数，A错误；
零不是没有，它是整数，也是有理数，B错误；
0也是整数，C错误；
整数和分数统称为有理数，这是定义，D正确．
【总结与反思】根据有理数的分类，采用排除法判断．
【题干】最小的正整数是_____，最大的负整数是_______.
【答案】最小的正整数是1，最大的负整数是-1．
【解析】根据有理数的相关知识进行解答．
【总结与反思】认真掌握正数．负数．整数的定义与特点．需注意的是：
0是整数，但0既不是正数也不是负数．
1.杭州北高峰高于海平面536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（ ）
A．150B．-150C．150米D．-150米
2.下列各数中，哪些是正数？
哪些是负数？
7，﹣9.25，
，﹣201，
，2.25，﹣3.5，0
3.下列四种说法：
①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案与解析
1.【答案】D
【解析】“正”和“负”相对，所以高于海平面536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作-150米．
2.【答案】正数：
7，
，2.25；负数：
﹣9.25，﹣201，﹣3.5.
【解析】大于0的数是正数；在正数的前面加上“﹣”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数。
3.【答案】A
【解析】①0是整数，故本选项正确；②0是自然数，故本选项正确；
③能被2整除的数是偶数，0可以，故本选项正确；④非负数包括正数和0，故本选项正确．
所以①②③④都正确，共4个．
1.飞机上升了-80米，实际上是（ ）
A．上升80米B．下降-80米
C．先上升80米，再下降80米D．下降80米
2.每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是___________kg．
3.下列说法正确的是（ ）
A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有，是有理数
C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数
答案与解析
1.【答案】D
【解析】负号表示与上升意义相反，即下降，则飞机上升了-80米，实际上是下降80米．
2.【答案】49.3
【解析】题目要求每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，第3袋大米显示-0.7，故实际重量是比507kg少0.7kg,即是49.3kg
3.【答案】D
【解析】0是非负有理数，但不是正有理数，A错误；
零不是没有，它是整数，也是有理数，B错误；0也是整数，C错误；
整数和分数统称为有理数，这是定义，D正确．
1．下列语句：
①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在___范围内保存该药品才合适．
3．有理数中，是整数而不是正数的数是_______，是负数而不是分数的是________。
答案与解析
1.【答案】A
【解析】①0不带“”号，但是它不是正数．②-0带负号，但是它不是负数．
③0既不是正数也不是负数．④0℃表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．
2.【答案】18℃～22℃
【解析】根据题意某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃表示20℃以上记作“正”，低于20℃记作负，由此可知在18℃～22℃范围内保存该药品才合适．
3.【答案】0和负整数；负整数．
【解析】零既不是正数也不是负数．故在有理数中，是整数而不是正数的数是0和负整数；
是负数而不是分数的是负整数．
本节讲了2个重要内容：
1.正数与负数的概念；0即不是正数,也不是负数.
2.有理数的两种常见分类标准分别是什么？
1．下列各数中：
+3、
、
、9、
、
、
，负有理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．既是正数，又是分数的数是（ ）
A．+2B．0C．3.5D．
3．如果+9%表示“增加9%”，那么“减少6%”可以记作（ ）
A．-6%B．-4%C．+6%D．+4%
答案与解析
1.【答案】B
【解析】
为负数有限小数，
为负数无限循环小数，
是负整数，所以是负有理数．共3个．
2.【答案】C．
【解析】+2虽然是正数，但不是分数，不合题意，故A错误；0既不是正数，也不是分数，故B错误；符合题意，故C正确；虽然是分数，但不是正数，故D错误．
3.【答案】A
【解析】∵“正”和“负”相对，又∵+9%表示“增加9%”，∴“减少6%”可以记作-6%．
1．在2，+8，
，
，-5，0，-7，87，0.5，-6.79中负整数的个数是（ ）
A．4个B．5个C．2个D．3个
2．在有理数中，不存在这样的一个数a，它（ ）
A．既是自然数又是整数B．既是分数又是负数
C．既是非正的数又是非负的数D．既是正数又是负数
3．下列说法中错误的是（ ）
A．正整数．负整数．零统称为整数B．正分数．负分数统称为分数
C．整数．分数和零统称为有理数D．0是偶数，也是自然数
答案与解析
1.【答案】C
【解析】以上数据中只有-5，-7是负整数．
2.【答案】D．
【解析】因为自然数是整数，所以A错；为负分数即是分数由是负数，所以B错；因为0既是非正的数又是非负的数，所以C错；
3.【答案】C
【解析】整数分为正整数．负整数和零，故A选项正确；分数分为正分数和负分数，故B项正确；有理数分为整数．分数，故C项错误；偶数包括正偶数．负偶数和0；自然数是表示物体个数的数，自然数由0开始（包括0），一个接一个，组成一个无穷的集体．故D项正确；
1．请写出三个既是负数，又是分数的有理数：
__________
2．食堂购进10袋大米，每袋以100千克为准，称重时，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重记录如下：
+5，-3，+7，0，0，+2，-4，-1，+8，-2．
食堂共购进大米________千克．
3．学校、家、书店依次座落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北边100米，张明同学从家里出发，向北走了50米，接着又向北走了－70米，此时张明的位置在（）
A.在家B.在学校C.在书店D.不在上述地方
答案与解析
1.【答案】
、
、
、
、
等都符合题意．
【解析】按照有理数的分类填写
2.【答案】1012千克
【解析】求出10袋大米总计超出或不足的重量，再加上10×100千克即可．
3.【答案】张明的位置在家南边20米处
【解析】向北走了-70米意思是向南走70米，可规定家的位置为0，向北走为正，向南走为负，把所得数相加即可得到相应位置．
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