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矩阵论矩阵分析

第三章矩阵分析在此之前我们只研究了矩阵的代数运算，但在数学的许多分支和工程实际中，特别是涉及到多元分析时，还要用到矩阵的分析运算．本章首先讨论矩阵序列的极限和矩阵级数，然后介绍矩阵函数和它的计算，最后介绍矩阵的微积分，以及矩阵分析在解微分方程组和线性矩阵方程中的应用．

§3.1矩阵序列

定义3.1设有Cmn中的矩阵序列A（k），其中A（k）ai（jk）．若

klimai（jk）aij（i1,2,,m;j1,2,,n），则称矩阵序列A（k）收敛于A（aij）mn，或称A为矩阵序列A（k）的极限，记为

limA（k）A或A（k）A（k）

不收敛的矩阵序列称为发散．

由定义可见，Cmn中一个矩阵序列的收敛相当于mn个数列同时收敛．因此，可以用

初等分析的方法来研究它．但同时研究mn个数列的极限未免繁琐．与向量序列一样，可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限．

定理3.1设A（k），ACmn（k0,1,2,）．则limA（k）A的充分必要条件是

limA（k）A0，其中是Cmn上的任一矩阵范数．

证先取Cmn上矩阵的G-范数．由于

aij（k）aijmnmaxai（jk）aijA（k）A

mnmnai（jk）aij

i1j=1

所以limA（k）A的充分必要条件是limA（k）AG0．

又由范数的等价性知，对Cmn上任一矩阵范数，存在正常数α，β，使得

A（k）AGA（k）AA（k）AG

故klimA（k）AG0的充分必要条件是klimA（k）A0．证毕

推论设A（k），ACmn（k0,1,2,），limA（k）A．则

klimA（k）A

其中是Cmn上任一矩阵范数．

需要指出的是，上述推论的相反结果不成立．如矩阵序列

A（k）

（1）k

不收敛．但

klim

A（k）F

lim

收敛的矩阵序列的性质，有许多与收敛数列的性质相类似．

定理3.2设limA（k）A，limB（k）B，其中A（k），B（k），A，B为适当阶的矩阵，kk

α，β∈C．则

（1）lim（A（k）B（k））AB；

（2）klimA（k）B（k）AB；

（3）当A（k）与A均可逆时，lim（A（k））1Ak

证取矩阵范数，有

（A（k）

B（k））

（A

B）

A（k）

B（k）

A（k）B（k）

A（k）

BA（k）B

A（k）B

（k）B

A（k）

由定理3.1和推论知

（1）和

（2）成立．

因为（A（k））

1，A1存在，

所以limk

detA（k）

detA0，又有limadjA（k）adjA．于

是klim（A（k））1

klimdadejtAA（k）

adjAdetA

证毕

定理3.2（3）中条件A（k）与A都可逆是不可少的，因为即使所有的A（k）可逆也不能保证A

定可逆．例如A（k）

对每一个A（k）都有逆矩阵（A（k））1

kk，但

kk1

11limA（k）11Ak11

而A是不可逆的．

在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列．关于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理．

定义3.2设ACnn，若limA（k）0，则称A为收敛矩阵．

定理3.3设ACnn，则A为收敛矩阵的充分必要条件是ρ（A）<1．

证必要性．已知A为收敛矩阵，则由谱半径的性质，有

（（A））k（Ak）Ak

其中是Cnn上任一矩阵范数，即有lim（（A））k0，故ρ（A）<1．

充分性．由于ρ（A）<1，则存在正数ε，使得ρ（A）+ε<1．根据定理2.14，存在Cnn上的矩阵范数m，使得Am（A）1从而由AkmAkm得klimAkm0．故

limAk0．证毕

推论设ACnn．若对Cnn上的某一矩阵范数有A1，则A为收敛矩阵．

例3.1判断下列矩阵是否为收敛矩阵：

118

0.2

0.1

0.2

（1）A；

（2）A0.5

0.5

0.4

621

0.1

0.3

0.2

515

解

（1）可求得A的特征值为1，2，于是（A）1，故A是收敛矩阵；

626

（2）因为A10.91，所以A是收敛矩阵．

§3.2矩阵级数

定义3.3由Cmn中的矩阵序列A（k）构成的无穷和A（0）A

（1）A（k）称为矩

阵级数，记为A（k）．对任一正整数N，称S（N）A（k）为矩阵级数的部分和．如果由部

k0k0

分和构成的矩阵序列S（N）收敛，且有极限S，即NlimS（N）S，则称矩阵级数

A（k）收

如果记A（k）

（ai（jk））mn，S

（sij）

mn，显然S

A（k）相当于

ai（jk）sij

（i1,2,,m;j

1,2,,n）

即mn个数项级数都收敛．

已知

3.2

A（k）

（k

1）（k2）

（k

0,1,）

研究矩阵级数

A（k）的敛散性．

因为

S（N）

k02k

πkk04

k0（k1）（k2）

所以

SNlim

S（N）

故所给矩阵级数收敛，

4π

且其和为S．

定义3.4设A（k）（ai（jk））mnCmn（k0,1,）．如果

mn个数项级数

ai（jk）

（i1,2,,m;j1,2,,n）都绝对收敛，即

ai（jk）

都收敛，则称矩阵级数

A（k）绝对收敛．k0

利用矩阵范数，可以将判定矩阵级数是否绝对收敛转化为判定一个正项级数是否收敛的

问题．

定理3.4设A（k）

（ai（jk））mnijmn

Cmn（k

0,1,）．则矩阵级数

A（k）绝对收敛的充分k0

必要条件是正项级数

A（k）收敛，其中是Cmn上任一矩阵范数．

证先取矩阵的m1-范数．若A（k）收敛，由于

（k）

aij

k0m1

A（k）（i1,2,,m;j1,2,,n）

i1j1m1

从而由正项级数的比较判别法知

ai（jk）都收敛，故A（k）绝对收敛．

k0k0

反之，若A（k）绝对收敛，则

ai（jk）都收敛，从而其部分和有界，即k0

ai（jk）Mij（i1,2,,m;j1,2,,n）记MmaxMij，则有k0

NNmnmnN

A（k）（ai（jk））（ai（jk））mnM故A（k）收敛．这表明

k0m1k0i1j1i1j1k0k0m1

A（k）绝对收敛的充分必要条件是A（k）收敛．由矩阵范数的等价性和正项级数的比

k0k0m1

较判别法知，A（k）收敛的充分必要条件是A（k）收敛，其中是Cmn上任一矩阵

k0m1k0

范数．证毕利用矩阵级数收敛和绝对收敛的定义，结论．

定理3.5设A（k）A，B（k）

k0k0

（1）（A（k）B（k））AB；k0

（2）对任意λ∈C，有A（k）A；

以及数学分析中的相应结果，可以得到以下一些

B，其中A（k），B（k），A，B是适当阶的矩阵，则

（3）绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且

其和不变；

（4）若矩阵级数A（k）收敛（或绝对收敛），则矩阵级数PA（k）Q也收敛（或绝对收敛），

k0k0

（3.1）

并且有PA（k）QP（A（k））Q

k0k0

（5）若A（k）与B（k）均绝对收敛，则它们按项相乘所得的矩阵级数

k0k0

A（0）B（0）（A（0）B

（1）

（1）B（0））（A（0）B（k）A

（1）B（k1）

A（k）B（0））（3.2）

绝对收敛，且其和为AB．

证只证（4）和（5）．若

A（k）收敛，记S（N）k0

A（k）

，则Nlim

S（N）A．从而

lim

0PA（k）QP（Nlim

A（k））QPAQk0

可见

PA（k）Q收敛，且式（3.1）成立．

A（k）绝对收敛，则由定理0

3．

4知

A（k）收敛，

PA（k）QPA（k）Q

A（k）其中α是与k是无关的正数，从而PA（k）Q收敛，

即PA（k）Q绝对收敛．k0

当A（k）和B（k）绝对收敛时，由定理3.4知A（k）和B（k）收敛，设其和分

k0k0k0k0

别为1与2，从而它们按项相乘所得的正项级数

A（0）B（0）（A（0）B

（1）A

（1）B（0））

（A（0）B（k）A

（1）B（k1）A（k）B（0））

也收敛，其和为12．因为

A（0）B（k）A

（1）B（k1）A（k）B（0）

A（0）B（k）A

（1）B（k1）A（k）B（0）

所以矩阵级数（3.2）绝对收敛．记S1（N）A（k），S2（N）B（k），

k0k0

显然S1（N）S2（N）S3（N）

（N）（N）（N）

123

S3（N）（A（0）

B（k）

（1）B（k

1）A（k）B（0））

则S1（N）S2（N）S

（N）

（1）B（N）

（2）B（N1）A

（2）B（N）

A（N）B

（1）A（N）B（N）

又记1（N）

A（k）

，2（N）

B（k），

3（N）k0（A（0）B（k）A

（1）B（k1）A（k）B（0））

3（N））0，得limS3（N）AB证毕

，需要判别

n2个数项级数的敛散性，当矩阵阶数

故由limS1（N）S2（N）AB和lim（1（N）2（N）NN

面讨论一类特殊的矩阵级数——矩阵幂级数．

定义3.5设ACnn，akC（k0,1,）．称矩阵级数akAk为矩阵A的幂级数．

z的

n较大时，这是很不方便的，且在许多情况下也无此必要．显然，矩阵幂级数是复变量

幂级数akzk的推广．如果幂级数akzk的收敛半径为r，则对收敛圆zr内的所有z，

k0k0

akzk都是绝对收敛的．因此，讨论akAk的收敛性问题自然联系到akzk的收敛半

k0k0k0径．

定理3.6设幂级数akzk的收敛半径为r，ACnn

（1）当ρ（A）

（2）当ρ（A）>r时，矩阵幂级数akAk发散．

证

（1）因为ρ（A）

的矩阵范数m，使得Am（A）r从akAkmakAmak（（A））k而由于

幂级数ak（（A））k收敛，故矩阵幂级数akAk绝对收敛．

k0k0

（2）当ρ（A）>r时，设A的，n个特征值为1,2,,n，则有某个l满足lr．由Jordan定理，存在n阶可逆矩阵P，使得

P1APJ2n1（i代表1或0）而akJk的对角线元素为2k0

akjk（j1,2,,n）．由于aklk发散，从而akJk发散．故由定理3.5（4）知，

k0k0k0

akAk也发散．证毕

推论

设幂级数akzk的收敛半径为r，A

Cnn．若存在Cnn上的某一矩阵范数

使得Ar，则矩阵幂级数akAk绝对收敛．

k18

例3.3判断矩阵幂级数k的敛散性．

解令A11

k06k21

例3.1中已求得（A）．由于幂级数kzk的收敛半径

6k0

为r＝1，故由ρ（A）<1知矩阵幂级数kAk绝对收敛．

最后，考虑一个特殊的矩阵幂级数．

定理3.7设ACnn．矩阵幂级数Ak（称为Neumann级数）收敛的充分必要条件是

ρ（A）<1，并且在收敛时，其和为（IA）1．

证当ρ（A）<1时，由于幂级数zk的收敛半径r＝1，故由定理3.6知矩阵幂级数

Ak收敛．反之，若Ak收敛，记SAk，S（N）A（k）则limS（N）S．由于

k0k0k0k0N

O故由定理3.3知ρ（A）<1．

limANlim（S（N）－S（N1））=limS（N）－limS（N1）

IAN1所以

NNNN

Ak收敛时，ρ（A）<1，因此I-A可逆，又因为S（N）（IA）k0

S（N）

（IA）1A

N1（I

A）1故S

limS（N）（IA）1

证毕

0.2

0.1

0.2

例

3.4已知A

0.5

0.4

，判断矩阵幂级数Ak

的敛散性

0.1

0.3

0.2

其和．

解

因为A1

0.91

，所以

Ak收敛，且

（IA）1

3.3矩阵函数

若收敛，试求

本节介绍矩阵函数的定义和计算方

矩阵函数是以矩阵为变量且取值为矩阵的一类函数．法，并讨论常用矩阵函数的性质．

一、矩阵函数的定义

定义3.5设幂级数akzk的收敛半径为r，且当zr时，幂级数收敛于函数f（z），

即f（z）akzk（zr）

如果ACnn满足ρ（A）

即f（A）

akAk

（3.3）

例如，对

根据这个定义，可以得到在形式上和数学分析中的一些函数类似的矩阵函数．于如下函数的幂级数展开式

sin

cosz

（1z）

0k!

（1）kz2k1

0（2k1）!

（1）kz2kz0（2k）!

ln（1z）

（1）kzk1k0k1

相应地有矩阵函数

eA1Akk0k!

（r）

（r1）

（ACnn）

（1）2k1

sinAA2k1k0（2k1）!

cosA

（1）kA2kk0（2k）!

（IA）1Ak

ln（IA）

（1）Ak1

k0k1

（ACnn）

（ρ（A）<1）

称eA为矩阵指数函数，sinA为矩阵正弦函数，cosA为矩阵余弦函数．

如果把矩阵函数f（A）的变元A换成At，其中t为参数，则相应得到

f（At）ak（At）k

（3.4）

在实际应用中，经常需要求含参数的矩阵函数．

二、矩阵函数值的计算以上利用收敛的矩阵幂级数的和定义了矩阵函数f（A），在具体应用中，要求将f（A）所代

表的具体的矩阵求出来，即求出矩阵函数的值．这里介绍几种求矩阵函数值的方法．以下均假设式（3.3）或式（3.4）中的矩阵幂级数收敛．

方法一利用Hamilton-Cayley定理

利用Hamilton-Cayley定理找出矩阵方幂之间的关系，然后化简矩阵幂级数求出矩阵函数的值．举例说明如下．

例3.5已知A10，求eAt．

可求得det（

A）

，A3A，

I，

A，

⋯即

A2k

1）kI，A2k1

1）kA

（k

1,2,）

1kk

Aktk1

k0k!

（cost）I（sint）A

cost

sint

例3.6已知4阶方阵

解因为det（

IA）

sint

cost

A的特征值为π，

－π，

0，0，求sinA，cosA．

π）（

π）

2，所以A4π2A2

O．于是

π2A2，A5

π2A3，

π4A2，

π4A3，

即A2k

π2k2A2，

A2k1

2A3

（k

2,3,

sinA

（1）k

（2k1）!

A2k

1A313A

π3

sinπ－π3

3A3

1A33!

（1）kk2（2k1）!

A12A3π

（k2（2k

1）k

1）!

2A3

2k1

cosA

（1）kA2kI

0（2k）!

cosπ－1A2

π2

1A2

π22A2

（1）kπ2kπ2（2k）!

2A2

．由Hamilton-Cayley定理知A2IO，从而

方法二利用相似对角化

设ACnn是可对角化的，

即存在

Cnnn，使得P1APdiag（

1,2,,n）A则

k1kk1

f（A）akAkak（PP1）kP（akk）P1

k0k0k0

Pdiag（ak1k,ak2k,,aknk）P1

k0k0k0

Pdiag（f

（1）,f

（2）,,f（n））P1同理可得

f（At）Pdiag（f（1t）,f（2t）,,f（nt））P1

例3.7已知A

0，求eAt，cosA

解可求得

det（I

A）

（

2）（

1）2，

即A的

特征值为12，231

应

12的特

征向量为

（1,

1）T

，对应

31的两个线性无关的特征向量为

（2,1,0）T

，p3

（0,0,1）

．于

是

使得P

1AP

故

2et

2e2t

Ate

2e2

2e2t

2et

对

cos

（2）

cosAcos1P

cos1

设A

且P

Cnnn，使得

P1AP

其中

（i1,2,,s）

ri×ri

由定理

1.12得

2cos1

cos2

2cos1

2cos2

cos2

cos1

2cos2

cos1

cos2

cos1

2cos2

2cos1

cos1

方法三利用Jordan标准形

f（Jit）

akJit

akt

（

k）

1k1Cki

tri1

（ri

1）!

（

tri1

f（

Crki1ikri1

1k1Cki

k）（ri

1）

（）

（ri1）!

（ri1）（t）

1t!

f（）

从而

f（At）akAktk

ak（PJP1）ktk

kkakJ1t

P（akJktk0

k）P1P

akJst

f（J1t）

f（Jst）

101

例3.8已知A

120

，求eA，sinAt．

403

解例1.9已求得

100

P111，

P1APJ

210

－e

A1是ePeP

3e－e2

2e+e2

sinttcost

sinAtPsintP

sin2t

sint2tcost0

tcost

sint2tcostsin2tsin2t

tcostsintsin2t

4tcost

02tcostsint

根据Jordan标准形理论可得

定理3.8设ACnn

2，

n是A的n个特征值，则矩阵函数

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