江苏省苏州市高二第一学期期末数学考试修订版doc.docx

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2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学（正题卷）

2015.1

注意事项：

1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）．本卷满分160分，

考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的

规定位置．

3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫

米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．

4．如需作图，须用2B铅笔绘写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．

参考公式：

球的体积公式：

4

3

VR（其中R是球的半径）

3

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题．卡．相．应．位．置．．上．

1．命题“x0,，

2

xx”的否定是▲．

2．在平面直角坐标系xOy中，准线方程为x1的抛物线的标准方程是▲．

3．若直线l经过点A（2,1），且与直线3xy10垂直，则直线l的方程为▲．

4．函数

1

y2lnx

x

的单调递减区间为_____▲______.

5．记函数f（x）＝

21

x

x

的导函数为f（x），则f

（1）的值为▲．

6．棱长为2的正方体的各顶点均在球O的表面上，则球O的体积等于▲．

7．“m2”是“方程

22

xy

表示焦点在y轴上的椭圆”的▲条件．（“充分不必要”、“必要不充

21

m2m

分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一）

8．已知函数cossinf处的切线方程是

fxfxx，则函数yfx的图象在点,

222

_______▲_____.

9．如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥C1D1BC的体积等于_____▲___.

10．过点P0,1的直线l与圆

22

C:

xy2x30交于A,B两点，则当ABC

的面积最大时，直线l的方程是_______▲_____.

11．若l,m,n是三条互不相同的空间直线，,是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是▲

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（填所有正确答案的序号）．

①若//,l,n,则l//n；②若,l,则l；

③若ln,mn,则l//m；④若l,l//,则．

12．已知点M0,2，N2,0，直线l:

kxy2k20（k为常数），对于l上任意一点P，恒有

MPN，则实数k的取值范围是_______▲________．

2

13．已知A是曲线C1：

y＝

a

x－2

2＋y2＝5的一个公共点．若C1在A处的切线与C2在A

（a＞0）与曲线C2：

x

处的切线互相垂直，则实数a的值是▲．

14．直角坐标平面上，已知点A1,0,B1,0，直线l:

x1，点P是平面上一动点，直线PA的斜率

为

k，直线PB的斜率为k2，且k1k21，过点P作l的垂线，垂足为Q，则三角形APQ的面积的最大

1

值等于______▲_____.

二、解答题：

本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在

答题纸的指定区域内．

15．（本小题满分14分）

2ax4≥0，已知命题p：

任意x∈0,，x

命题q：

方程

2

x

－

a＋2

5

2

y

a

＝1表示双曲线．

（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

16．（本小题满分14分）

已知圆

22

C:

xyDxEy30关于直线xy10对称，半径为2，且圆心C在第二象限．

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（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）不过原点的直线l在x轴、y轴上的截距相等，且与圆C相切，求直线l的方程．

17．（本小题满分14分）

如图，直三棱柱

ABCABC中，点D是BC上一点.

111

（Ⅰ）若点D是BC的中点，求证A1C//平面AB1D；

（Ⅱ）平面

ABD平面BCC1B1，求证ADBC.

1

18．（本小题满分16分）

现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求

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材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．

方案一：

如图

（1），从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中间，沿虚线折起，求此时铁皮盒

的体积；

方案二：

如图

（2），若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下

材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值．

19．（本小题满分16分）

设

F,F2分别是椭圆

1

y2

x2

C:

1ab0

ab

22

的左，右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直，且

M位于x轴上方，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N.

（Ⅰ）若直线MN的斜率为3

4

，求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若直线MN交y轴于点P0,m，m是正常数，且

MN5FN，求椭圆C的方程.（用含m的方程

1

表示）

y

M

P

N

F1OF2

x

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2

20．（本小题满分16分）已知函数f（x）axbx,g（x）lnx

．

（Ⅰ）当a0时，①若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点

P（x,y），求x0及b的值；

00

②若关于x的方程f（x）g（x）在[1,m]上有解，求b的范围；

（Ⅱ）当b1时，若f（x）g（x）在

1

[,n]

e

上恒成立（n为正常数），求a的取值范围．

附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

【必做题】第21题、第22题、第23题、第24题，每题10分，共40分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21.（本小题满分10分）

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在直角坐标系xOy中，已知A（0，1），点P是抛物线

2

y2x1上的动点，点M是线段AP的中点，

求点M的轨迹方程．

22.（本小题满分10分）

kx

已知函数fxxek0在区间1,1上是增函数,求k的取值范围.

23.（本小题满分10分）

三棱柱

ABCABC在如图所示的空间直角坐标系中，已知

111

AB2,AC4,AA3，D是BC的中点。

1

（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；

（2）求二面角B1A1DC1的正弦值．

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24.（本小题满分10分）

已知抛物线

220

ypxp上纵坐标为1的点到焦点的距离为p,过点P1,0作斜率为k的直线l交

抛物线于A,B两点,A点关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于点Q.

（Ⅰ）求p的值;

（Ⅱ）探究:

当k变化时,点Q是否为定点?

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2014-2015学年度第一学期期末考试

高二数学（正题卷）参考答案2015.01

一、填空题

1.

2

x（0,）,xx；2.

24

yx；3.x3y10；4.

1

（0,）

2

；5.2；

6.43；7.充要；8.y1；9.

1

6

；10.xy1011.④12.（,1）（1,）

7

；13.2；

14.

33

8

．

二、解答题：

本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在

答题纸的指定区域内．

15．（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）x∈0,时，

240

xax等价于

ax

4

x

对一切x∈0,恒成立，2分

又x∈0,时，

44

x2x2

xx

（当且仅当x2时取等号）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

故若命题p为真命题，a4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

（Ⅰ）命题q为真命题时，a25a0，

解得2a5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分

“p且q”为真命题，故命题p与命题q均为真命题，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分

有a4，且2a5，

所以，实数a的取值范围是：

2a4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分

16．（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）由

22

DE

C:

xyDxEy30，得圆C的圆心为C,，

22

圆C关于直线xy10对称，DE2①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

圆C的半径为2，

2212

DE

4

2

②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分

又圆心C在第二象限，D0,E0，

于是，解得，D2,E4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

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所以圆C的方程为

222430

xyxy．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分

（Ⅱ）由题意可设，所求直线l的方程是xyaa0，

由（Ⅰ）得，圆C的圆心为C1,2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分

直线l与圆C相切，

12

2

a

2

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分

解得a1或a3，

故直线l的方程为xy10或xy30．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分

17．（本小题满分14分）

⑴连接

AB,设AB1A1BE,则E为A1B的中点,⋯⋯2分

1

连接DE,由D是BC的中点,得

DE//AC，⋯⋯4分

1

又

DE面ABD,且A1C面AB1D,

1

所以A1C//平面AB1D．⋯⋯6分

FE

⑵在平面

BCCB中过B作BFB1D，

11

因平面

ABD平面BCC1B1，

1

又平面

ABD平面BCC1B1B1D，BF面BCC1B1

1

所以BF平面

ABD，⋯⋯9分

1

又AD平面AB1D，所以BFAD，

在直三棱柱

ABCABC中，BB1平面ABC，

111

因为AD平面AB1D，所以BB1AD，⋯⋯12分

又

BBBFB，所以AD平面BCC1B1，

1

又BC平面

BCCB，所以ADBC.⋯⋯14分

11

18．（本小题满分16分）

方案一：

设小正方形的边长为x，由题意得4x60，x15，

所以铁皮盒的体积为

3

65301529250（cm）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

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方案二：

设底面正方形的边长为x（0x60），长方体的高为y，

由题意得

244800

xxy，即

y

4800

4x

2

x

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

所以铁皮盒体积

2

224800x13

V（x）xyxx1200x

4x4

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分

/32

V（x）x1200，令

4

Vx，解得x40或x40（舍），⋯⋯⋯12分/（）0

/（）0

当x（0,40）时，V（x）0；当x（40,60）时，V（x）0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分

所以函数V（x）在x40时取得最大值

3

32000cm．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分

答：

方案一铁皮盒的体积为

3

29250cm；方案二铁皮盒体积的最大值为

3

32000cm。

⋯16分

19．（本小题满分16分）

y

解：

法1：

（Ⅰ）设焦距为2c，则

F1c,0,F2c,0，

M

因为

MFx轴，所以可设Mc,y1y10，

2

N

P

F1OF2

x

3

kk，

MNMF

1

4

y13

2c4

，

3c

Mc,3分

2

又因为M在椭圆C上，故有

22

c9c

22

a4b

1

，即

2

e

2

9e

2

44e

1，⋯⋯⋯5分

解得，

21

e（

4

24

e舍去），

1

e．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

2

（Ⅱ）

MFx轴，O是F1F2的中点，则MF22OP2m，Mc,2m

2

将点M的坐标代入椭圆方程得，

22

bam，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分

设

Nx2,y2，因为MN5F1N，∴

MN5FN，

1

xc5xc,

22

y2m5y.

22

31

解得22

xc,ym⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分

22

将点N的坐标代入椭圆方程得，

22

9cm

22

4a4b

1

②⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分

由①，②及

222

abc得，

249222

am,b7m⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分

4

所以椭圆C的方程为

22

4xy

22

49m7m

1

.．⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分

法2：

（Ⅰ）设焦距为2c，则

F1c,0,F2c,0，因为MF2x轴，

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所以可设

Mc,yy0，因为M在椭圆C上，故有

11

22

cy

1

221，因为

ab

y10，

所以

y

1

2

b

a

，即

Mc,

2

b

a

，⋯⋯3分

3

kk，

MNMF

1

4

23

b

2ac4

，由

222

abc知

2

2e3e20，⋯5分

解得

1

e或e2（舍去），

2

1

e。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

2

（Ⅱ）

MFx轴，O是F1F2的中点，则MF22OP2m，Mc,2m

2

又由

（1）知

Mc,

2

b

a

，∴

22

bam，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分

m

直线MN方程为（）

yxc

c

，将直线MN方程代入椭圆方程得

22222（）2222

bcxamxcabc，

将

22

bam代入上式化简得

22222

（2cam）x2acmxacm2ac0（*）

∵（*）有一个解为c，设

Nx2,y2

∴

222

acm2ac

cx

22

2cam

，∴

2

acm2ac

x

22

2cam

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分

∵

MNFN，∴MN5F1N，

5

1

xc5xc,

22

y2m5y.

22

31

解得22

xc,ym⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分

22

∴

2

acm2ac3

2

2cam2

c

，即

22

5am4a6c②

由①，②及

222

abc得，

249222

am,b7m⋯⋯⋯⋯⋯15分

4

所以椭圆C的方程为

22

4xy

22

49m7m

1

．⋯⋯⋯⋯⋯16分

20．（本小题满分16分）

（Ⅰ）a0f（x）bx

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1

x

1

b

x,xe,b

00

bxlnx

00

1

e

①f（x）b,g（x）

，⋯⋯3分

②

f

lnx

（x）g（x）bxlnx（x0）b，

x

故yb与

lnx

h（x）在[1,m]上有交点⋯4分

x

'1lnxlnm

h（x），me时h（x）在[1,m]上递增，h（x）[0,]；

2

xm

1

me时h（x）在[1,e]上递增，在[e,m]上递减且h（x）0，h（x）[0,]⋯⋯7分

e

lnm1

me时，b[0,]；me时，b[0,]⋯⋯8分

me

2xfxgx2

（Ⅱ）1（）（）（）

bfxax即axxlnx

，

即

xlnx

a在

2

x

1

[,n]

e

上恒成立，⋯⋯9分

令

xlnx

r（x），

2

x

r'（x）

1x2lnx

3

x

令s（x）1x2lnx，则s（x）为单调减函数，且s

（1）0，⋯⋯12分

∴当x（0,1）时，r'（x）0，r（x）单调递增，

当x（1,）时，r'（x）0，r（x）单调递减，⋯⋯13分

若n1，则r（x）在

1

[,n]

e

上单调递增，∴

r（x）r（n）

max

nlnn

2

n

，∴

a

nlnn

2

n

；

若n1，则r（x）在

1

[,1]

e

上单调递增，[1,n]单调递减，

∴r（x）r

（1）1，∴a1⋯⋯15分

max

∴n1时，

a

nlnn

2

n

；n1时，a1．⋯⋯16分

附加题部分

21.（本小题满分10分）

解：

设Px1,y1,Mx,y，则

2

y12x