解析 an＋1＝≥＝＝bn＋1.
答案 B
11．下表给出一个“直角三角形数阵”：
，
，，
……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij（i≥j，i，j∈N*），则a83等于（ ）
A.B.
C.D．1
解析 第1列为，＝，，…，所以第8行第1个数为，又每一行都成等比数列且公比为，所以a83＝××＝.
答案 C
12．已知变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为（ ）
A．4B．2
C．1D．－4
解析 先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．
由图可知，当直线y＋2x＝0，经过点（1,0）时，z有最大值，此时z＝2×1＋0＝2.
答案 B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上）
13．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
解析 ∵B＝45°，C＝60°，∴A＝180°－B－C＝75°.
∴最短边为b.由正弦定理，得b＝＝＝.
答案
14．锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是__________．
解析 ∵△ABC为锐角三角形，
∴∴
∴A∈（，）．∴＝＝2cosA.∴∈（，）．
答案 （，）
15．数列{an}满足a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项公式满足关系式an·bn＝（－1）n（n∈N*），则bn＝________.
解析 ∵a1＝3，an＋1＝2an，
∴数列{an}为等比数列，且公比q＝2.∴an＝3·2n－1.
又an·bn＝（－1）n.∴bn＝（－1）n·＝.
答案
16．当x∈（1,2）时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析 令f（x）＝x2＋mx＋4，则f（x）的图象是开口向上的抛物线，要当x∈（1,2）时，f（x）<0恒成立，只要解得m≤－5.
答案 m≤－5
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集U＝R，A＝，B＝{x|3x2－4x＋1>0}，求∁U（A∩B）．
解 A＝{x|3x2－4x－4<0}＝，
B＝.
A∩B＝，
∁U（A∩B）＝{x|x≤－，或≤x≤1，或x≥2}．
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.
（1）求角B的大小；
（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
解
（1）由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB，所以tanB＝，所以B＝.
（2）由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
19．（12分）已知函数f（x）＝ax2－bx＋1.
（1）是否存在实数a，b使不等式f（x）>0的解集是{x|3（2）若a为整数，b＝a＋2，且函数f（x）在（－2，－1）上恰有一个零点，求a的值．
解
（1）∵不等式ax2－bx＋1>0的解集是{x|3∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，
∴解得a＝，b＝.
而当a＝>0时，不等式ax2－bx＋1>0的解集不可能是{x|30的解集是{x|3（2）∵b＝a＋2，∴f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1.
∵Δ＝（a＋2）2－4a＝a2＋4>0，
∴函数f（x）＝ax2－bx＋1必有两个零点．
又函数f（x）在（－2，－1）上恰有一个零点，
∴f（－2）·f（－1）<0，∴（6a＋5）（2a＋3）<0，
解得－20．（12分）配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A，B两种药至少各配一剂，问A、B两种药最多能各配几剂？
解 设A、B两种药分别能配x，y剂，x，y∈N*，则作出可行域，图中阴影部分的整点有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1），（3,2），（4,1）．
所以，在保证A，B两种药至少各配一剂的条件下，A种药最多配4剂，B种药最多配3剂．
21．（12分）在△ABC中，已知＝，且cos（A－B）＋cosC＝1－cos2C.
（1）试确定△ABC的形状；
（2）求的范围．
解
（1）由＝，
得＝，即b2－a2＝ab，①
又cos（A－B）＋cosC＝1－cos2C，
所以cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C.
sinA·sinB＝sin2C，则ab＝c2.②
由①②知b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.所以△ABC为直角三角形．
（2）在△ABC中，a＋c>b，即>1.
又＝≤＝＝，故的取值范围为（1，]．
22．（12分）设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．
解
（1）由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d，（d≠0）．
由a＋a＝a＋a，知2a1＋5d＝0.①
又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②
由①②可得a1＝－5，d＝2.
所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝＝n2－6n.
（2）因为＝＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数，又由
（1）知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.
当m＝1时，＝＝－15.
显然它不是数列{an}中的项．
当m＝2时，＝＝1.
它是数列{an}中的项．
因此，符合题意的正整数只有m＝2.
升级会员 