相似三角形专题.doc
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相似三角形专题
【一】知识梳理
【1】比例
①定义：
四个量a,b,c,d中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例
②形式：
a:
b=c:
d，
③性质：
基本性质：
ac=bd
1、可以把比例式与等积式互化。
2、可以验证四个量是否成比例
注：
比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负
4，比例中项：
【2】黄金分割
定义：
如图点C是AB上一点，若，则点C是AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个
注意：
如图△ABC，∠A=36°，AB=AC，这是一个黄金三角形，
【3】平行线推比例
上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右
全比上=全比上，全比下=全比下下比上=下比上
【4】相似三角形
1、相似三角形的判定
①AA相似：
∵∠A=∠D,∠B=∠E
∴△ABC∽△DEF
②‘SAS’
∴△ABC∽△DEF
③‘SSS’
∴△ABC∽△DEF
④平行相似：
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
2、相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例
②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比
③相似三角形的面积比等于相似比的平方
3、相似三角形的常见图形
‘A型图’‘X型图’‘K型图’
‘母子图’‘一般母子图’AC2=AD•AB
母子图中的射影定理
AC2=AD•ABBC2=BD•AB
CD2=AD•BD
【二】题型
1、求线段的比
求a比b的方法：
①求a,b的长度，②设k法，③利用三角形相似的性质，④平行推比例线段⑤比例分配
【例题1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1， l2， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1， l2， l3于点D，E，F．AC与DF相较于点H，且AH=2，HB=1，BC=5则的值为
【例题2】如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB=3∶5，那么CF∶CB等于
（1）
（2）
【例题3】如图，点D是△ABC的边AB上一点，且AB=3AD，点P是△ABC的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB则PB:
PD=
【例题4】如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，
如果＝，那么＝（）
A．B．C．D．
（3）（4）
【例题5】已知，则=
，则=
【例题6】如图，将矩形纸片ABCD（AD>DC）的一角沿着过点D的直线折叠，使点A与BC边上的点E重合，折痕交AB于点F.若BE:
EC=m:
n，则AF:
FB= .
【例题7】如图所示,将矩形ABCD折叠,使点B落在边AD上,点B与点F重合,折痕为AE,此时,矩形EDCF与矩形ABCD相似,则=.
【例题8】如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠,A=90°，AB=4，AC=3，D为弧AB的中点，则=
（6）（7）（8）
【例题9】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB的中线，AN⊥CD，交BC于N,若CD=3，AN=4，则tan∠CAN=
2、相似三角形的性质与判定
【例题1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
【例题2】如图，已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP，以下条件中不能确定△ACP与△ABC相似的是（ ）
A∠ACP=∠B，B∠APC=∠ACB
CAC2=AP.ABD
【例题3】已知四边形ABCD与四边形A/B/C/D/，且AB:
BC:
CD:
DA=20：
15：
9：
8，若四边形A/B/C/D/为26，则A/B/的长为
【例题4】如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为
【例题5】如图，P为□ABCD的边AD上一点，E,F分别为PB,PC的中点，
△PEF的面积为3，则平行四边形的面积是
已知两个相似三角形的对应高的比为3:
10，面积差为100，则大三角形的面积为
【例题6】如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q出，EQ与BC相较于点G，则△EBG的周长为
（4）（5）（6）
【例题7】如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为多少?
点拨：
同一时刻、同一地点，物高与影长的比是定值
【例题8】如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是
3、相似三角形讨论
方法1、固定一个角，按AA讨论，2、按夹相等角得两边的比值相等讨论
【例题1】直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点．
（1）写出点A、B、C、D的坐标；
（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
（3）在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【例题2】已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-5，0）和点B,其中点B在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO=
（1）求点B的坐标。
（2）求二次函数的解析式。
（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，连结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标。
【例题3】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是4，点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，动点P从点A开始，以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动．动点Q从点B开始沿B→C→O的方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点O时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．
（I）当t＝1时，求PQ所在直线的解析式.
（2）当点Q在BC上运动时，若以P，B，Q为顶点的
三角形与△OAP相似，求t的值.
（3）在P，Q两点运动的过程中，若△OPQ的面积为
6，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
【例题4】如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点M在第三象限，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，点A坐标为（－3，0），点B坐标为（1，0）．
（1）试用含a的式子表示b，c；
（2）连接AM、CM、CB，试说明△OCB与四边形AMCO的面积之比是一个定值，并求出这个定值；
（3）连接AC，若∠ACM=90°，解决下列问题：
①求抛物线解析式并证明∠MAO=∠ACB；
y
O
B
C
A
x
y=ax2+bx+c
·M
②线段AM上是否存在点D，使以点A、O、D为顶点的三角形与△ACB相似？
若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．
【例题5】已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：
PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？
若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【例题6】在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）直接填写：
，，顶点C的坐标为；
（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？
若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
A
B
H
C
A
B
H
C
（备用图）
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.
【例题7】．如图：
在平面直角坐标系中，直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y＝kx＋8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴于点E（1，0），点P（t，0）为x轴上一动点．若点T为直线DE上一动点，当以O,B,T为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似时，则相应的点P（t<0）的坐标为 .
【例题8】如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，到达点A后立刻在以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AC以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，过点Q作QD轴，垂足为D。
点P、Q同时出发，当点Q到达点C时停止运动，点P也随之停止.设点P，Q的运动时间为.
（1）当点P从点O向点A运动的过程中，求面积S与t的函数关系式;
（2）当线段PQ与抛物线的对称轴没有公共点时，请直接写出t的取值范围;
（3）当t为何值时，以P、D、Q为顶点的三角形与相似;
（4）如图2：
FE保持垂直平分PQ，且交PQ于点F，交折线QC－CO－OP于点E，在整个运动过程中，请你直接写出点E所经过的路径长．
4、求线段长的方法
1、勾股定理2、相似3、直角三角形边角关系4、方程
注意：
方程可以根据勾股定理、相似、边角关系得到
【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为
【例题2】已知AB是半圆O的直径，D为AC的中点，sin∠BAC=，AB=10，EA与⊙O相切于A，E、D、B在一条直线上，求AE的长
【例题3】已知矩形ABCD，AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在BC边上，且BF=2CF,AF分别与DE,DB相较于G,H，求GH
【例题4】如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，则EP+BP=
【例题5】如图示我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为
【例题5】如图以△ABC的边BC上一点O为圆心的圆经过A,C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆的中点，连接AD，交线段EO与点F，AC=CF=4，DF=
（1）求证：
AC是⊙O的切线：
（2）求⊙O的半径r．和sinC
【例题6】如图：
正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M、交AB于点N，交CB的延长线于点P，若MN=1，PN=3，则DM的长为 _________ ．
【例题7】如图D是△ABC的边AC上一点，BD=8，sin∠CBD=，过点A作AE⊥BC于E,CD=2AD,求AE的长
1、求点到x轴或y轴的距离2、两个函数组成方程组3、设出横坐标或纵坐标然后代入解析式4方程
求坐标的方法
【例题1】已知抛物线与直线交于A,B，在x轴上试找一点P，使∠APB=45°，则点P的坐标为
【例题2】已知抛物线y=－mx2+4x+2m与x轴交于点A（α,0）,
B（β,0）,且.抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为
D，点C关于l的对称点为E.若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.
方法：
方程
【例题3】如图，二次函数y=的图象与y轴交于点C，与直线y=交于A,B,在抛物线上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP，在P的坐标为
【例题4】在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．抛物线经过A，B，C三点，现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A，B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与
（2）中的抛物线交于第一象限的点M．当AE=2时，抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.
（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；
（2）当DE＝8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.
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