北师大版九年级数学上名校课堂章末复习一含答案.docx

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北师大版九年级数学上名校课堂章末复习一含答案

章末复习

（一）　特殊平行四边形

基础题

知识点1　菱形的性质与判定

1．对角线互相垂直平分的四边形是（）

A．一般的平行四边形B．菱形

C．矩形D．正方形

2．已知菱形的周长等于40cm，两对角线的比为3∶4，则对角线的长分别是（）

A．3cm，4cmB．6cm，8cm

C．12cm，16cmD．24cm，32cm

3．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是（）

A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD

B．AB＝BC

C．AB＝CD，AD＝BC

D．∠DAB＋∠BCD＝180°

4．（厦门中考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：

四边形ABCD是菱形．

知识点2　矩形的性质与判定

5．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）

A．对角线互相平分B．对角线相等

C．对角线互相垂直D．四边相等

6．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）

A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD

B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°

C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD

D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD

7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为（）

A．6

B．3

C．2

D．1

8．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO中，且∠ABC＋∠ADC＝180°.

（1）求证：

四边形ABCD是矩形；

（2）若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？

知识点3　正方形的性质与判定

9．下列对正方形的描述错误的是（）

A．正方形的四个角都是直角

B．正方形的对角线互相垂直

C．邻边相等的矩形是正方形

D．对角线相等的平行四边形是正方形

10．下列条件能使菱形ABCD是正方形的有（）

①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.

A．①③B．②③

C．②④D．①②③

11．（泸州中考）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：

AE＝BF.

12．已知ABCD为正方形，△AEF为等边三角形，求证：

（1）BE＝DF；

（2）∠BAE＝15°.

中档题

13．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）

A．对角线相等且互相平分

B．对角线相等且互相垂直平分

C．对角线互相平分

D．四条边相等，四个角相等

14．如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4

，则菱形ABCD的周长是（）

A．8

B．16

C．8

D．16

15．（哈尔滨中考）在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．

16．正方形ABCD的边长为4，点E是正方形边上的点，AE＝5，BF⊥AE，垂足为点F，求BF的长．

17．已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点P，若在矩形的上方加一个△DEA，且使DE∥AC，AE∥BD.

（1）求证：

四边形DEAP是菱形；

（2）若AE＝CD，求∠DPC的度数．

18．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．

（1）求证：

四边形MPNQ是菱形；

（2）若AB＝2，BC＝4，求四边形MPNQ的面积．

19．（厦门中考）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y＝

x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.求证：

四边形ABCD是矩形．

20．（南京中考）如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.

（1）求证：

四边形EGFH是矩形；

（2）小明在完成

（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证平行四边形MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：

______________，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证________________，________________，故只要证∠EMG＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，________________，即可得证．

综合题

21．如图，矩形A1B1C1D1的边长A1D1＝8，A1B1＝6，顺次连接A1B1C1D1各边的中点得到A2B2C2D2，顺次连接A2B2C2D2各边的中点得到A3B3C3D3，…，依此类推．

（1）求四边形A2B2C2D2的边长，并证明四边形A2B2C2D2是菱形；

（2）四边形A10B10C10D10是矩形还是菱形？

A10B10的长是多少？

（第

（2）问写出结果即可）

参考答案

基础题

1.A　2.C　3.D　

4.证明：

∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.

∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD＋∠B＝180°.∴AB∥CD.∴四边形ABCD为平行四边形．∴∠B＝∠D.

∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝90°.

∵AM＝AN，∴△AMB≌△AND.∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形．　

5.B　6.C　7.B　

8.

（1）证明：

∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．

（2）∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.

∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.

∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.

9.D　10.C　

11.证明：

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°.

又∵AE⊥BF，∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠CBF.

在△ABE与△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE＝BF.　

12.证明：

（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.

∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF.

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．

∴BE＝DF.

（2）由

（1）可知△ABE≌△ADF，

∴∠BAE＝∠DAF.

又∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝30°.∴∠BAE＝15°.

中档题

13.C　14.A　15.5.5或0.5　

16.由勾股定理得BE＝

＝

＝3，

∵BF⊥AE，∴S△ABE＝

AE·BF＝

AB·BE，即

×5×BF＝

×4×3，解得BF＝

.　

17.

（1）证明：

∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形DEAP为平行四边形．

∵四边形ABCD为矩形，∴AP＝

AC，DP＝

BD，AC＝BD.∴AP＝PD.∴四边形DEAP为菱形．

（2）∵四边形DEAP为菱形，∴AE＝PD.∵AE＝CD，∴PD＝CD＝PC.∴△PDC为等边三角形．∴∠DPC＝60°.

18

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.

∵M、N分别是AD、BC的中点，∴DM＝BN.

又∵DM∥BN，∴四边形DMBN是平行四边形，∴BM＝DN，BM∥DN，

∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴MP＝NQ.

又∵MP∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形．连接MN.

∵AD∥BC，AD＝BC，M、N分别AD、BC的中点，∴DM＝CN.∴四边形DMNC是矩形．∴∠DMN＝∠C＝90°.

∵Q是DN中点，∴MQ＝NQ.∴四边形MPNQ是菱形．

（2）∵AB＝2，BC＝4，M为AD中点，Q为DN中点，

∴平行四边形DMBN的面积是

×2×4＝4.∴△DMN的面积是2.∴△MQN的面积是1.

同理：

△MPN的面积是1，∴四边形MPNQ的面积是1＋1＝2..　

19.证明：

∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠ACD.

又∵BE＝DE，∴△ABE≌△CDE.∴AE＝CE.∴四边形ABCD为平行四边形．∴AB＝CD＝4.∴m＝6.

∵点B在直线y＝

x＋1上，∴n＝4.∴A（2，4），B（6，4）．∴AB∥CD∥x轴．

∵△AEB的面积是2，∴ABCD的面积是8.

又∵CD＝4，∴ABCD的高是2.∴q＝2.

把q＝2代入直线y＝

x＋1得p＝2，∴点D（2，2）．∴点C（6，2）．∴AD∥BC∥y轴．∴四边形ABCD是矩形．

20.

（1）证明：

∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，∴∠FEH＝

∠BEF，∠EFH＝

∠DFE.

∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∴∠FEH＋∠EFH＝

（∠BEF＋∠DFE）＝

×180°＝90°.

∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－（∠FEH＋∠EFH）＝180°－90°＝90°.

同理：

∠EGF＝90°.

∵EG平分∠AEF，EH平分∠BEF，∴∠FEG＝

∠AEF，∠FEH＝

∠BEF.

∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.

∴∠FEG＋∠FEH＝

（∠AEF＋∠BEF）＝

×180°＝90°，即∠GEH＝90°.

∴四边形EGFH是矩形．

（2）答案不唯一，

如：

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证平行四边形MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：

FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即可证△MGE≌△QFH，易证GE＝FH，∠GME＝∠FQH.故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，∠GEF＝∠EFH，即可得证．

综合题

21.

（1）连接A1C1，B1D1.已知A1B1C1D1是矩形，∴A1C1＝B1D1.

又A2，B2，C2，D2是中点，根据三角形中位线性质得：

A2B2＝C2D2＝

A1C1，A2D2＝B2C2＝

B1D1，

∴A2B2＝C2D2＝A2D2＝B2C2.∴四边形A2B2C2D2是菱形．

在直角三角形A1B1C1中，根据勾股定理得A1C1＝

＝

＝10，

∴A2B2＝

A1C1＝

×10＝5.

所以四边形A2B2C2D2的边长为5.

（2）通过观察分析总结各个图形有如下关系：

An＋2Bn＋2Cn＋2Dn＋2与AnBnCnDn相似，An＋2Bn＋2Cn＋2Dn＋2的边长是AnBnCnDn边长的一半．

例如，A3B3C3D3的边长是A1B1C1D1边长的一半，A4B4C4D4的边长是A2B2C2D2边长的一半，…因此A10B10C10D10的边长是A2B2C2D2的（

）4＝

，

所以A10B10C10D10也是菱形，A10B10＝

＝

.