）
零和博弈的无限次重复博弈中，所有阶段都不可能发生合作，局中人会一直重复
原博弈的混合战略纳什均衡。
（√）（或：
零和博弈的无限次重复博弈中，可能发生合作，局中人不一定会一直重复原博弈的混合战略纳什均衡。
（×））
原博弈惟一的纳什均衡本身是帕雷托效率意义上最佳战略组合，符合各局中人最大利益：
采用原博弈的纯战略纳什均衡本身是各局中人能实现的最好结果，符合所有局中人的利益，因此，不管是重复有限次还是无限次，不会和一次性博弈有区别。
（√）
原博弈惟一的纳什均衡本身是帕雷托效率意义上最佳战略组合，符合各局中人最大利益，但惟一的纳什均衡不是效率最高的战略组合，存在潜在合作利益的囚徒困境博弈。
（√）（或：
原博弈惟一的纳什均衡本身是帕雷托效率意义上最佳战
略组合，符合各局中人最大利益，不存在潜在合作利益的囚徒困境博弈。
（×））根据参与人行动的先后顺序，博弈可以划分为静态博弈（staticgame）和动态博弈（dynamicgame）。
如果阶段博弈G有唯一的Nash均衡，那么对任意有限次T，重复博弈G（T）有唯一的子博弈完美结局：
在每一阶段取G的Nash均衡策略。
（√）
1、无限次重复博弈与有限重复博弈的区别：
a.无限次重复博弈没有结束重复的确定时间。
在有限次重复博弈中，存在最后一次重复正是破坏重复博弈中局中人利益和行为的相互制约关系，使重复博弈无法实现更高效率均衡的关键问题。
b.无限次重复博弈不能忽视不同时间得益的价值差异和贴现问题，必须考虑后一期得益的贴现系数，对局中人和博弈均衡的分析必须以平均得益或总得益的现值为根据。
c.无限次重复博弈与有限次重复博弈的共同点：
试图“合作”和惩罚“不合作”是实现理想均衡的关键，是构造高效率均衡战略的核心构件。
4、根据两人博弈的支付矩阵回答问题：
a
b
A
2,3
0,0
B
0,0
4,2
（1）
写出两人各自的全部策略，并用等价的博弈树来重新表示这个博弈（6分）
（2）找出该博弈的全部纯策略纳什均衡，并判断均衡的结果是否是Pareto有效。
（3）求出该博弈的混合策略纳什均衡。
（7分）
（1）策略
甲：
ＡＢ
乙：
ａｂ
博弈树（草图如下：
（2）PureNE（A,a）;（B,b）
都是Pareto有效，仅（B,b）是Ｋ－Ｈ有效。
（3）MixedNE（（2/5,3/5）;（2/3,1/3））
5、用反应函数法求出下列博弈的所有纯战略纳什均衡。
a
参与人2
b
c
d
A
2,3
3,2
3,4
0,3
参与人
1
B
4,4
5,2
0,1
1,2
C
3,1
4,1
1,4
10,2
D3,14,1-1,210,1
解答：
纯策略纳什均衡为（B，a）与（A，c）
分析过程：
设两个参与人的行动分别为
B,如果a2B,如果a2
a1和a2，
ab
player1的反应函数
R1（a2）
A,如果a2c
C或者D,如果a2d
player2的反应函数
R2（a1）
c,如果a1A
a,如果a1B
c,如果a1Cc,如果a1D
交点为（B，a）与（A，c），因此纯策略纳什均衡为（B，a）与（A，c）。
6、（entrydeterrence市场威慑）考虑下面一个动态博弈：
首先，在一个市场上潜在的进入者选择是否进入，然后市场上的已有企业（在位者）选择是否与新企业展开竞争。
在位者可能有两种类型，温柔型（左图）和残酷型（右图），回答
下面问题。
在位者
（20，30）
默许
在位者
（10，20）
默许
进入者
进入
不进入
斗争
（-10，0）进入者
进入
不进入
斗争
（-10，25）
（0，100）
.
（0，100）
左图：
温柔型右图：
残酷型
（1）找出给定在位者的两种类型所分别对应的纳什均衡，以及子博弈精炼纳什均
衡（12分）
（2）已有企业为温柔型的概率至少多少时，新企业才愿意进入（8分）
（1）温柔NE（in,accommodate）和（out,fight）。
SPNE为（in,accommodate）
残酷NE（out,fight）.SPNE同理
（2）20p
10（1
p）
0
得到p
1/3
8、博弈方1和博弈方2就如何分10，000元钱进行讨价还价。
假设确定了以下规则：
双方同时提出自己要求的数额A和B，0≤A，B≤10，000。
如果A+B
≤10，000，则两博弈方的要求得到满足，即分别得A和B，但如果A+B>10，000，则该笔钱就没收。
问该博弈的纳什均衡是什么？
如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额？
为什么？
答十、纳什均衡有无数个。
最可能的结果是（5000，5000）这个聚点均衡。
9、北方航空公司和新华航空公司分享了从北京到南方冬天度假胜地的市场。
如果它们合作，各获得500000元的垄断利润，但不受限制的竞争会使每一方的利润降至60000元。
如果一方在价格决策方面选择合作而另一方却选择降低价格，
则合作的厂商获利将为零，竞争厂商将获利900000元。
（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。
（2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。
答：
（1）用囚徒困境的博弈表示如下表：
北方航空公司
合作竞争
（1））有哪些结果是纳什均衡？
（2））两厂商合作的结果是什么？
答
（1）（低价，高价），（高价，低价）
（2）（低价，高价）
13、A、B两企业利用广告进行竞争。
若A、B两企业都做广告，在未来销售中，
A企业可以获得20万元利润，B企业可获得8万元利润；若A企业做广告，B企业不做广告，A企业可获得25万元利润，B企业可获得2万元利润；若A企业不做广告，B企业做广告，A企业可获得10万元利润，B企业可获得12万元利润；若A、B两企业都不做广告，A企业可获得30万元利润，B企业可获得6万元利润。
（1）画出A、B两企业的支付矩阵。
（2）求纳什均衡。
3.答：
（1）由题目中所提供的信息，可画出A、B两企业的支付矩阵（如下表）。
（2）因为这是一个简单的完全信息静态博弈，对于纯策纳什均衡解可运用划横线法求解。
如果A厂商做广告，则B厂商的最优选择是做广告，因为做广告所获得的
利润8大于不做广告获得的利润2，故在8下面划一横线。
如果A厂商不做广告，则B厂商的最优选择也是做广告，因为做广告获得的利润为12，而不做广告的利润为6，故在12下面划一横线。
如果B厂商做广告，则A厂商的最优选择是做广告，因为做广告获得的利润20大于不做广告所获得的利润10，故在20下面划一横线。
如果B厂商不做
广告，A厂商的最优选择是不做广告，因为不做广告获得的利润30大于做广告所获得的利润25，故在30下面划一横线。
在本题中不存在混合策略的纳什均衡解，因此，最终的纯策略纳什均衡就是
A、B两厂商都做广告。
15、求出下面博弈的纳什均衡（含纯策略和混合策略）。
乙
LR
U5,00,8
甲
D2,64,5
由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。
可得如下不等式组
Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1
可得混合策略Nash均衡（（
1,8）,（
4,3）
9977
16、某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。
相应的利润由如下得益矩阵给出：
（1）该博弈是否存在纳什均衡？
如果存在的话，哪些结果是纳什均衡?
参考答案：
由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略Nash均衡，即（低质量,高质量），（高
质量,低质量）。
乙企业
高质量低质量
高质
甲企量
业低质量
50,50100,800
900,600-20,-30
该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡
Q=a+d-b-c=-970,q=d-b=-120,R=-1380,r=-630，可得x
1263
y
97138
因此该问题的混合纳什均衡为
（（12
85）,（63,
75））。
9797
138
138
17、甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。
试求出该博弈的纳什均衡。
如果乙企业所在国政府想保护本国企业利益，可以采取什么措施？
乙企业
开发不开发
甲企开发-10,-10100,0
业不开发
0,1000,0
解：
用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。
10,10100,0
0,1000,0
所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点（开发,不开发）和（不开发,开发）。
该博弈还有一个混合的纳什均衡（（10,1
1111
）,（10,1
1111
））。
如果乙企业所在国政府对企业开发新产品补贴a个单位,则收益矩阵变为：
10,10a100,0
要使（不开发,开发）成为该博弈的唯一纳什均衡点,只需a>10。
0,100a0,0
此时乙企业的收益为100+a。
18、博弈的收益矩阵如下表：
乙
左右
上a，bc，d
甲
下e，fg，h
（1）如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h之间必然满足哪些关系？
（尽量把所有必要的关系式都写出来）
（2）如果（上，左）是纳什均衡，则
（1）中的关系式哪些必须满足？
（3）如果（上，左）是占优策略均衡，那么它是否必定是纳什均衡？
为什
么？
（4）在什么情况下，纯战略纳什均衡不存在？
答：
（1）a
e，c
g，b
d，f
h。
本题另外一个思考角度是从占优策略
均衡的定义出发。
对乙而言，占优策略为
（b,f）
（d,h）；而对甲而言，占优策略为
（a,c）
（e,g）。
综合起来可得到所需结论。
（2）纳什均衡只需满足：
甲选上的策略时，
bd，同时乙选左的策略时，
ae。
故本题中纳什均衡的条件为：
b
d，ae。
（3）占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什
均衡的条件。
（4）当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。
19、Smith和John玩数字匹配游戏，每个人选择1、2、3，如果数字相同，John
给Smith3美元，如果不同，Smith给John1美元。
（1）列出收益矩阵。
（2）如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？
答：
（1）此博弈的收益矩阵如下表。
该博弈是零和博弈，无纳什均衡。
John
1
2
3
1
3，-3
-1，1
-1，1
Smith
2
-1，1
3，-3
-1，1
3
-1，1
-1，1
3，-3
3333
Smith选2的效用为：
Smith选3的效用为：
'11）
U
（
2
3
U
（
3
'11）
3
131
33
1
（1）
3
（1）1
3
131
33
因为U1
U2U3，U''
3，所以：
1
U
U'
2
（1,1
33
1）,（1
33
1,1）
33
是纳什均衡，策略值分别为John：
U
1；Smith：
U'1。
33
2
20、假设双头垄断企业的成本函数分别为：
C120Q1，C22Q2，市场需求曲线
为P400
2Q，其中，Q
Q1Q2。
（1）求出古诺（Cournot）均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反应和等利润曲线，并图示均衡点。
（2）求出斯塔克博格（Stackelberg）均衡情况下的产量、价格和利润，并
以图形表示。
（3）说明导致上述两种均衡结果差异的原因。
答：
（1）对于垄断企业1来说：
max[400
2（Q1
Q2）]Q1
20Q1
Q1190Q2
2
这是垄断企业1的反应函数。
其等利润曲线为：
1380Q1
2Q1Q2
2Q2
1
对垄断企业2来说：
max[400
2（Q1
Q2）]Q2
2Q2
2
Q250Q1
4
这是垄断企业2的反应函数。
其等利润曲线为：
2400Q2
2Q1Q2
4Q2
2
在达到均衡时，有：
190
Q1
50Q14
2
Q180
Q230
均衡时的价格为：
P
400
2（80
30）
180
两垄断企业的利润分别为：
138080
240030
28030
28030
2802
4302
12800
3600
均衡点可图示为：
190
2
业企
企业1的反应线
均衡点
095200
企业1
（2）当垄断企业1为领导者时，企业2视企业1的产量为既定，其反应函
数为：
Q250
Q1/4
则企业1的问题可简化为：
max
400
2Q1
50Q1
4
Q120Q1
Q1280/3
Q280/3
均衡时价格为：
P
400
228080
33
160
利润为：
1
39200/3，2
25600/9
该均衡可用下图表示：
190
2
企业1的反应线
业企
Stackelberg均衡
50
企业2的反应线
095200
企业1
企业2领先时可依此类推。
（3）当企业1为领先者时，其获得的利润要比古诺竞争下多。
而企业2获
得的利润较少。
这是因为，企业1先行动时，其能考虑企业2的反应，并以此
来制定自己的生产计划，而企业2只能被动地接受企业1的既定产量，计划自己的产出，这是一种“先动优势”
21、在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为p=a-q1-q2-q3，这里qi是企业i的产量。
每一企业生产的单位成本为常数c。
三企业决定各自产量的顺序如下：
（1）企业1首先选择q1≥0；
（2）企业2和企业3观察到q1，然后同时分别选择q2和q3。
试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。
答：
该博弈分为两个阶段，第一阶段企业1选择产量q1，第二阶段企业2和3
观测到q1后，他们之间作一完全信息的静态博弈。
我们按照逆向递归法对博弈进行求解。
（1））假设企业1已选定产量q1，先进行第二阶段的计算。
设企业2，3的利润
函数分别为：
2（aq1q23（aq1q2
q3）q2
q3）q2
cq2cq3
由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件：
1
2aqq2
2q2
q3c0
（1）
3aq1q2q3
2q3c0
（2）
求解
（1）、
（2）组成的方程组有：
q
q
**aq1c
23
3
（3）
（2））现进行第一阶段的博弈分析：
对与企业1，其利润函数为；
1（aq1q2
q3）q1
cq1
将（3）代入可得：
q1（aq1c）
1
3
（4）
式（4）对q1求导：
1a2q1c0q1
解得：
1
此时，*
1（ac）2
12
*1
q
1（ac）
2
（5）
（3）
2
q
3
）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡：
q
1
*1（a
2
c）,q*
*1（ac）6
25、某寡头垄断市场上有两个厂商，总成本均为自身产量的20倍，市场需求函数为Q=200-P。
求
（1）若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？
（2）若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量，则各自的利润情况如何？
答：
（1）分别求反应函数，180-2Q1-Q2=0，180-Q1-2Q2=0，Q1=Q2=60
（2）200-2Q=20，Q=90，Q1=Q2=45
26、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。
工人可以选择是否偷懒，
老板则选择是否克扣工资。
假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想
克扣工资则总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况双方都知道。
请问：
（1））如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？
用得益矩阵或扩展形表示
该博弈并作简单分析。
（2））如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？
用得益矩阵或扩展形表示该博
弈并作简单分析。
（1）完全信息动态博弈。
博弈结果应该是工人偷懒，老板克扣。
（2）完全信息静态博弈，结果仍然是工人偷懒，老板克扣。
28、给定两家酿酒企业A、B的收益矩阵如下表：
A企业
白酒啤酒
B企业
白酒700，600900，1000
啤酒800，900600，800
表中每组数字前面一个表示B企业的收益，后一个数字表示B企业的收益。
（1）求出该博弈问题的均衡解，是占优策略均衡还是纳什均衡？
（2）存在帕累托改进吗？
如果存在，在什么条件下可以实现？
福利增量是多少？
（3）如何改变上述A、B企业的收益才能使均衡成为纳什均衡或占优策略均衡？
如何改变上述A、B企业的收益才能使该博弈不存在均衡？
答：
（1）有两个纳什均衡，即（啤酒，白酒）、（白酒，啤酒），都是纳什均
衡而不是占优策略均衡。
（2）显然，（白酒，啤酒）是最佳均衡，此时双方均获得其最大收益。
若均衡解为（啤酒，白酒），则存在帕累托改善的可能。
方法是双方沟通，共同做出理性选择，也可由一方向另一方支付报酬。
福利由800+900变为900+1000，增量为200。
（3）如将（啤酒，白酒）支付改为（1000，1100），则（啤酒，白酒）就成为占优策略均衡。
比如将（啤酒，白酒）支付改为（800，500），将（白酒，啤酒）支付改为（900，500），则该博弈就不存在任何占优策略均衡或纳什均衡。
30、在纳税检查的博弈中，假设A为应纳税款，C为检查成本，F是偷税罚款，且C（1）写出支付矩阵。
（2）分析混合策略纳什均衡。
答：
（1）该博弈的支付矩阵如下表：
逃税
不逃税
检查
A-C+F，-A-F
A-C，-A
税收机关
不检查
0，0
A，-A
税人的最优选择是逃税，否则是交税。
因此，混合纳什均衡是（S，E），即税收机关以S的概率查税，而纳税人以
E的概率逃税。
34、假设古诺的双寡头模型中双寡头面临如下一条线性需求曲线：
P=30-Q
其中Q为两厂商的总产量，即Q=Q1+Q2。
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