八年级数学重点知识点全.docx
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八年级数学重点知识点全
初二数学知识点
因式分解
1.因式分解：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：
因式分解与乘法是相反的两个转化•
2•因式分解的方法：
常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”•
3•公因式的确定：
系数的最大公约数•相同因式的最低次幕.
注意公式：
a+b=b+aa-b=-（b-a）（a-by=（b-af;（a-b3=-（b-aj.
4.因式分解的公式：
（1）平方差公式：
ai2-b2=（a+b（a-b）;
（2）完全平方公式：
a2+2ab+b=（a+b2，a2-2ab+b=（a-b2.
5•因式分解的注意事项：
（1）选择因式分解方法的一般次序是：
一提取、二公式、三分组、四十字；
（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；
（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；
（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；
（5）因式分解的最后结果要求加以整理；
（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.
6•因式分解的解题技巧：
（1）换位整理，加括号或去括号整理；
（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；
（10）拆项或补项.
7.完全平方式：
能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q,有“l+px+q是完全
2
平方式Pq”.
2
分式
Aa
1.分式：
一般地，用A、B表示两个整式，A*B就可以表示为一的形式，如果B中含有字母，式子一叫
BB
做分式.
整式
2.有理式：
整式与分式统称有理式；即有理式八亠.
分式
3.对于分式的两个重要判断：
（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；
（2）若分式的分子为
零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：
若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义•
4.分式的基本性质与应用：
（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
（2）注意：
在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
测分子分子分子分子即
分母分母分母分母
（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单•
5.分式的约分：
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：
分式约分前经常需要先
因式分解•
求化为最简分式•
9•负整指数计算法则:
正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;
bnanbm
,•
mn?
aba
n
公式：
-
b
公式：
（-1）-2=1,（-1）-社-1.
10•分式的通分：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分；注意：
分式的通分前要先确定最简公分母.
11•最简公分母的确定：
系数的最小公倍数•相同因式的最高次幕•
ababacadbeadbe
12.同分母与异分母的分式加减法法则：
；
cccbdbdbdbd
13.含有字母系数的一元一次方程：
在方程ax+b=O（¥O）中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：
在字母方程中，一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.
14.公式变形：
把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：
公式变形的本质就是解含有字母系数的方程•特别要注意：
字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.
15.分式方程：
分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：
以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.
16.分式方程的增根：
在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：
在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.
17.分式方程验增根的方法：
把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：
由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.
18.分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.
数的开方
1.平方根的定义：
若*=a那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）;注意：
（1）a叫x的平方数，
（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.
2.平方根的性质：
（1）正数的平方根是一对相反数；
（2）0的平方根还是0；
（3）负数没有平方根.
3.平方根的表示方法：
a的平方根表示为.a和a.注意：
a可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算•
4.算术平方根：
正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为.a•注意：
0的算术平方根还是0.
5.三个重要非负数：
aF>0,|a|>0,a>0注意：
非负数之和为0,说明它们都是0.
6.两个重要公式：
（1）
a2a；（a>0）
7.立方根的定义：
若x3=a|^么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：
（1）a叫x的立方数；
（2）a的立方根表示为3，'a；即把a开三次方.
8.立方根的性质:
（1）正数的立方根是一个正数;
（2）0的立方根还是0;
（3）负数的立方根是一个负数.
9.立方根的特性：
3aVa.
和开方开不尽的数是无理数.
10•无理数：
无限不循环小数叫做无理数.注意:
11.实数：
有理数和无理数统称实数.
14.无理数的近似值：
实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果
题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：
（1）近似计算时，中间过程要多保留一位;
（2）要求记忆：
21.414.31.732.52.236.
三角形
几何A级概念：
（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1三角形的角平分线定义：
A
几何表达式举例：
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相
/
\
（1）•/AD平分/BAC
交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角
/D
A
•••/BADNCAD
形的角平分线.（如图）
（2）I/BADNCAD
•AD是角平分线
2•三角形的中线定义：
几何表达式举例：
在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点
A
（1）•••AD是三角形的中线
的线段叫做三角形的中线•（如图）
4
\
•BD=CD
C
（2）•BD-CD
•AD是三角形的中线
3.三角形的高线定义：
几何表达式举例：
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，
A
（1）•/AD是厶ABC的高
顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线•
/
\
•/ADB=90
（如图）
DC
（2）•//ADB=90
•AD是厶ABC的高
探4.三角形的三边关系定理：
几何表达式举例：
三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边
A
（1）•/AB+BOAC
之差小于第三边•（如图）
\
（2）•/AB-BC：
AC
B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
（如图）
6•等边三角形的定义：
有三条边相等的三角形叫做等边三角形
（如图）
7•三角形的内角和定理及推论：
（1）三角形的内角和180°;（如图）
（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）
（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）探（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
D
&直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形叫直角三角形
（如图）
（1）•••AABC是等腰三角形
•••AB=AC
（2）TAB=AC
•AABC是等腰三角形
几何表达式举例：
（1）vAABC是等边三角形
•AB=BC=AC
（2）TAB=BC=AC
•AABC是等边三角形
几何表达式举例：
（1）•••/A+ZB+ZC=180
（2）•••/C=90
•ZA+ZB=90°
（3）tZACDZA+ZB
（4）tZACD>ZA
几何表达式举例:
（1）tZC=90
•AABC是直角三角形
（2）tAABC是直角三角形
•ZC=90
9•等腰直角三角形的定义：
两条直角边相等的直角三角形叫等腰
直角三角形•（如图）
A
\b
几何表达式举例：
⑴•/ZC=90CA=CB
•••AABC是等腰直角三角形
（2）•/AABC是等腰直角三角形
•••/C=90CA=CB
10.全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等；（如图）
（2）全等三角形的对应角相等.（如图）
11•全等三角形的判定:
“SAS“ASA“AAS“SSS“HL'.（如图）
（1）
（2）
B
E
F
几何表达式举例：
（1）•/AAB3AEFG
•AB=EF
（2）•/AABC^AEFG
•••/A=/E
几何表达式举例：
（1）•/AB=EF
•/ZB=ZF
又•••BC=FG
•AABC^AEFG
⑵
（3）在RtAABC和RtAEFG中
•/AB=EF
又•••AC=EG
•RtAABC^RtAEFG
（1）
在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）
（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上（如图）
几何表达式举例：
（1）•/EF垂直平分AB
•EFLABOA=OB
（2）•/EFLABOA=OB
•EF是AB的垂直平分线
14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理:
几何表达式举例:
（1）•/MN是线段AB的垂直平分线
•PA=PB
（2）•/PA=PB
•••点P在线段AB的垂直平分线上
（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）
（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上•（如图）
（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）
（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一;
（如图）
（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）
（1）
16•等腰三角形的判定定理及推论：
（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即
等角对等边）（如图）
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）
（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边
是斜边的一半.（如图）
⑴•/AB=AC
（2）•/AB=AC
又t/BADNCAD
•BD=CD
AD丄BC
（3）•/AABC是等边三角形
•ZA=ZB=ZC=60
几何表达式举例:
（1）vZB=ZC
•AB=AC
（2）•//A=/B=/C
•AABC是等边三角形
⑶•/ZA=60°
又•••AB=AC
•AABC是等边三角形
⑷•••/C=90/B=30°
•AC=1AB
2
17.关于轴对称的定理
（1）关于某条直线对称的两个图形是全
等形；（如图）
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线•
（如图）
•••AABC^AEGF
（2）TAABGAEGF关于MN轴
对称
•OA=OEMN丄AE
18.勾股定理及逆定理：
（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=&（如图）
（2）如果三角形的三边长有下面关系：
a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形•
（如图）
A
几何表达式举例：
（1）•••AABC是直角三角形
•a2+b2=C
（2）•••a2+b2=c?
•AABC是直角三角形
19.Rt△斜边中线定理及逆定理：
（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）
（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）
k
CB
几何表达式举例：
（1）•••AABC是直角三角形
•/D是AB的中点
1
•CD=-AB
2
（2）•••CD=AD=BD
•AABC是直角三角形
几何B级概念：
（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
—一基本概念：
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.
二常识：
1三角形中，第三边长的判断：
另两边之差V第三边V另两边之和•
2•三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形
内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：
三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
3.如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：
若CD丄AB,BE1CA则CD-AB=BECA.
4•三角形能否成立的条件是：
最长边V另两边之和.
5•直角三角形能否成立的条件是：
最长边的平方等于另两边的平方和.
6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.
7.如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：
（1）AC-CB=CDAB;
（2）Z仁/B,Z2=ZA.
8.三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.
9•全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.
10.等边三角形是特殊的等腰三角形.
11•几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.
12.符合“AAA'“SSA条件的三角形不能判定全等.
13•几何习题经常用四种方法进行分析：
（1）分析综合法；
（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.
14•几何基本作图分为：
（1）作线段等于已知线段；
（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.
15.会用尺规完成“SAS、“ASA'、“AAS、“SSS、“HL'、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.
16•作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：
每步作图都应该是几何基本作图.
17.几何画图的类型：
（1）估画图；
（2）工具画图；（3）尺规画图.
探18.几何重要图形和辅助线：
（1）选取和作辅助线的原则：
1构造特殊图形，使可用的定理增加;
2一举多得；
3聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角;
4作辅助线必须符合几何基本作图•
（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）
⑷已知等腰三角形ABC中，AB=AC
①作等腰三角形ABC底边的中线AD
（顶角的平分线或底边的高）构造全
②作等腰三角形ABC一边的平行线DE构造
新的等腰三角形•
④多边形转化为三角形；
E
BC
⑤延长BC到D,使CD=BC连
结AD,直角三角形转化为等腰
三角形；
BCD
⑥若a//b,AC,B（是角平
分线，则/C=90.
\aa
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