高等数学复习题 2.docx
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高等数学复习题2
第一章极限与连续
一、极限的定义
二、极限的计算
（一）求极限主要根据：
1、结合附录1的函数图象观察并记住以下常见的极限：
（主要用来判断极限类型）
（
时，只要该函数有意义，类似）
2、利用连续函数性质：
（
趋近有定义的点时）
初等函数在其定义域上都连续。
例：
3、利用两个重要极限
（1）两个重要极限的基本形式：
第一个重要极限：
第二个重要极限：
（2）应用：
（1）
____
（2）
，则
_____
（3）
，则
_____
（4）
_____（5）
_______
4、利用无穷大量，无穷小量的性质及其关系
无穷小量的性质：
（1）
（2）（3）推论
无穷大量的性质：
关系：
有此可知以下极限类型的结果：
0代表无穷小量，C代表非0常数。
1、
=02、
=03、
=∞4、
=05、
=∞
6、
=∞7、
8、
9、
但以下形式还不能确定（未定型），需要转化成其他形式求解：
1、
型2、
型3、
型4、
型（部分可知）5、
型
6、
型7、
型
5、其他需要注意的地方：
（1）性质（3）的应用：
如
（1）
0
（2）
0
（2）利用无穷小量的定义判断无穷小量
如：
1、以下变量哪些是无穷小量？
（1）
（
）
（2）
（
）（3）
（
）
（4）
（
）（5）
（
）（6）
（
）
（7）
（
）（8）（7）
（
）（9）
（
）
（3）对于f（x）、g（x）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P9总结的“规律”。
如
=
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！
6、未定型变化方法：
（1）
型
（2）
型
（3）
型
（4）
型（部分可知）
（5）
型
（6）
型（7）
型（6、7不要求）
如1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
三、连续：
函数
在
连续。
如：
设函数
当
时，
在
点处连续
第二章导数和微分
一、导数定义：
如
（1）若
，则
（2）若
，则
______；
二、导数的几何意义
如曲线
在点（4，2）处的切线方程是
三、根据导数定义验证函数可导性的问题：
如：
在
处是否可导
四、求给定函数的导数或微分：
求导主要方法复习：
1、求导的基本公式：
教材P33
2、求导的四则运算法则：
教材P28—30
3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）
如1．设
求
2．设
求
3．若
，求
.4、若
，求
.
4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）
如
（1）若
，求
.
（2）若
，求.
5、求高阶导数（最高为二阶）
如若，求
；
6、求微分：
会用
即可
如：
（1）设
求d
（2）设
求d
（3）若
，求d
（4）设
，求dy.
五、利用微分作近似计算：
连续函数
当自变量
在
处的变化量
很小时，
=
如：
利用微分求
的近似值
第三章导数的应用
一、函数的单调性（增减性）及极值问题：
1、会判断函数的连续性（判断依据：
p53定理3.3）
2、会求单调区间
3、会求函数的极值（判断方法：
p56，p57定理3.5；定理3.6）
如
（1）求函数
的单调区间与极值
（2）求函数
的单调区间与极值
二、函数凹向、拐点
如求函数
的凹向、拐点
三、曲线的渐近线
1、水平渐近线定义（p63）：
如曲线
的水平渐近线是
2、铅直渐近线定义（p64）：
如曲线
的铅直渐近线是
四、函数的最大值与最小值
如
（1）欲做底面为正方形，容积为108m3的长方体开口容器,如何设计用料最省?
（2）欲用围墙围成面积为216
的矩形养鱼场，并在正中间用围墙将其隔成两块。
问长和宽选取多少时，才能使所用材料最省，即周长最短。
（请画出草图）。
（3）学校欲做一个底面为正方形，容积为32立方米的长方体开口蓄水箱，如何设计，所用材料最省？
（4）有一门洞，上半部为一个半圆，下半部为一个矩形，周围长
，要使得面积最大，门宽应为多少？
。
（5）、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌
长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
第四章不定积分
一、原函数：
则称F（x）为f（x）的一个原函数。
如1、函数是
的一个原函数
2、函数
是的一个原函数
二、不定积分：
⑴概念：
f（x）的所有的原函数称f（x）的不定积分。
如：
若函数
是函数
的一个原函数，则
注意以下几个基本事实：
如：
1、
2、
三、不定积分计算（恒等变形>>套积分公式）
1、运算法则及基本公式（往往仅改变被积函数）如求
2、第一换元积分：
（1）有的仅需要改变积分变量就可以套公式。
如1、
2、设
，则
（2）有的需要把被积函数和积分变量一起变才可以套公式。
如
3、分部积分：
主要针对三种题型：
如：
4、换元积分：
主要考查不需要借助三角函数的情形。
如
第五章定积分
一、定义
如1、
比较：
二、定积分方法：
牛顿—莱布尼兹公式
1．
2．
换元积分法，注意“换元必换限”，即变量x换成变量t后，其上、下限也从要变
3．
4、
=
=
三、其他性质：
1、
2、
3、
四、广义积分
1.
2、
五、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）：
1、求由曲线
与
所围成的平面图形的面积。
2、求抛物线
与
所围成的平面图形的面积。
3、求由曲线
及
所围成的平面图形的面积。
第六章常微分方程
一、基本概念：
1、微分方程定义：
2、微分方程的阶定义：
如：
微分方程
的阶数为。
3、微分方程的解的定义：
通解：
特解：
二、解题思路对微分方程而言，不同类型的方程有不同的解法，因此解题前必须先判别其类型，然后根据类型确定求解方法。
但往往不是立即就能判别出其类型的，常常需要通过一些数学处理，如用变形方法、变换方法、分项组合方法等将已知微分方程转化为可求解类型。
另外，同一方程，可能属于多种不同类型，应选择简便的方法进行求解。
二、几种特殊形式的微分方程
1、变量可分离的常微分方程：
解题思路：
变量分离
两边积分
如：
2、一阶线性常微分方程
解题思路：
齐次
变量分离
两边积分
非齐次
至少会一种方法
如：
3、二阶常系数齐次线性常微分方程
如：
求通解
求通解
求通解
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