北京市西城区高三上学期期末考试数学理试题.docx
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北京市西城区高三上学期期末考试数学理试题
北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科）2016.1
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合，集合，若，则实数的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
2.下列函数中，值域为的偶函数是（）
（A）（B）（C）（D）
3.设命题p：
“若，则”，命题q：
“若，则”，则（）
（A）“”为真命题（B）“”为假命题
（C）“”为假命题（D）以上都不对
4.在数列中，“对任意的，”是“数列为等比数列”的（）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
5.一个几何体的三视图如图所示，那么这个
几何体的表面积是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
6.设，满足约束条件
若的最大值与最小值的差为7，则实数（）
（A）（B）（C）（D）
7.某市乘坐出租车的收费办法如下：
不超过4千米的里程收费12元;
超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；
当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.
相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：
千米）为行驶里程，（单位：
元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中处应填（）
（A）
（B）
（C）
（D）
8.如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，.如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么的取值范围是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9.已知复数满足，那么____.
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则____.
11．双曲线C：
的渐近线方程为_____；设为双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，且，则____.
12．如图，在中，，，，点为的中点，以为直径的半圆与，分别相交于点，，则____；____.
13.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）
14.某食品的保鲜时间t（单位：
小时）与储藏温度x（单位：
）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时.
已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论：
该食品在的保鲜时间是8小时；
当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；
到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.
其中，所有正确结论的序号是____.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数
，.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）设，若函数为奇函数，求的最小值.
16．（本小题满分13分）
甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分.两人4局的得分情况如下：
甲
6
6
9
9
乙
7
9
（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；
（Ⅱ）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值.（结论不要求证明）
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）若为的中点，求证：
平面；
（Ⅲ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值.
18．（本小题满分13分）
已知函数，函数，其中．
（Ⅰ）如果函数与在处的切线均为，求切线的方程及的值；
（Ⅱ）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C:
的离心率为，点在椭圆C上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？
若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分13分）
在数字的任意一个排列A：
中，如果对于，有，那么就称为一个逆序对.记排列A中逆序对的个数为.
如时，在排列B：
3,2,4,1中，逆序对有，，，，则.
（Ⅰ）设排列3,5,6,4,1,2，写出的值；
（Ⅱ）对于数字1，2，，n的一切排列A，求所有的算术平均值；
（Ⅲ）如果把排列A：
中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列：
，求证：
为奇数.
北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2016.1
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．A2．C3．B4．B
5．B6．C7．D8．C
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．10．
11．12．
13．5414．
注：
第11，12题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
………………4分
，………………6分
所以函数的最小正周期.………………7分
由
，，
得，
所以函数的单调递增区间为，.………………9分
（注：
或者写成单调递增区间为，.）
（Ⅱ）解：
由题意，得
，
因为函数为奇函数，且，
所以，即，………………11分
所以，，
解得，，验证知其符合题意.
又因为，
所以的最小值为.………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
记“从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件，
………………1分
由题意，得，
所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为.……4分
（Ⅱ）解：
由题意，的所有可能取值为，，，，………………5分
且，，，，………………7分
所以的分布列为：
13
15
16
18
………………8分
所以
.………………10分
（Ⅲ）解：
的可能取值为，，.………………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
在平行四边形中，因为，，
所以.
由分别为的中点，得，
所以.………………1分
因为侧面底面，且，
所以底面.………………2分
又因为底面，
所以.………………3分
又因为，平面，平面，
所以平面.………………4分
（Ⅱ）证明：
因为为的中点，分别为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.………………5分
同理，得平面.
又因为，平面，平面，
所以平面平面.………………7分
又因为平面，
所以平面.………………9分
（Ⅲ）解：
因为底面，，所以两两垂直，故以
分别为轴、轴和轴，如上图建立空间直角坐标系，
则
，
所以，，，………………10分
设，则
，
所以，
，
易得平面的法向量.………………11分
设平面的法向量为，
由，，得
令,得.………………12分
因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，
所以
，即
，………………13分
所以，
解得，或（舍）.………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
求导，得，，．………………2分
由题意，得切线l的斜率，即，解得．……………3分
又切点坐标为，所以切线l的方程为．………………4分
（Ⅱ）解：
设函数
，．………………5分
“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一
个零点”．
求导，得
.………………6分
①当时，
由，得，所以在单调递增．
又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．………………8分
②当时，
当变化时，与的变化情况如下表所示：
0
↘
↗
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
故有且仅有一个零点，符合题意．………………10分
③当时，
令，解得．
当变化时，与的变化情况如下表所示：
0
↘
↗
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，．………………11分
因为，，且在上单调递增，
所以.
又因为存在，
，
所以存在使得，
所以函数存在两个零点，1，与题意不符.
综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是，或.
………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：
由题意，得，，………………2分
又因为点在椭圆上，
所以，………………3分
解得，，，
所以椭圆C的方程为.………………5分
（Ⅱ）结论：
存在符合条件的圆，且此圆的方程为.………………6分
证明如下：
假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.
当直线的斜率存在时，设的方程为.………………7分
由方程组
得
，………………8分
因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，
所以
，即.………………9分
由方程组得
，………………10分
则
.
设，，则，，………………11分
设直线，的斜率分别为，，
所以
，………………12分
将代入上式，得.
要使得为定值，则，即，验证符合题意.
所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值.
………………13分
当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，
此时，圆与的交点也满足.
综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值.
………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
；………………2分
（Ⅱ）解：
考察排列与排列
，
因为数对与中必有一个为逆序对（其中），
且排列D中数对共有个，………………3分
所以
.………………5分
所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为.………………6分
而对于数字1，2，，n的任意一个排列A：
，都可以构造排列A1：
，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为.
所以所有的算术平均值为.………………7分
（Ⅲ）证明：
当，即相邻时，
不妨设，则排列为
，
此时排列与排列A：
相比，仅多了一个逆序对，
所以，
所以
为奇数.………………10分
当，即不相邻时，
假设之间有m个数字，记排列A：
，
先将向右移动一个位置，得到排列A1：
，
由，知与的奇偶性不同，
再将向右移动一个位置，得到排列A2：
，
由，知与的奇偶性不同，
以此类推，共向右移动m次，得到排列Am：
，
再将向左移动一个位置，得到排列Am+1：
，
以此类推，共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：
，
即为排列，
由，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，
而排列A经过次的前后两数交换位置，可以得到排列，
所以排列A与排列的逆序数的奇偶性不同，
所以为奇数.
综上，得为奇数.………………13分
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