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精练精析

第7章《三角形》精练精析

提要：

本章的考查重点是三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形的一些特殊性质．由于全等三角形是研究图形相等的重要工具，所以这一部分内容也是学好其它几何知识的基础．本章虽然内容较多，但各部分知识之间的联系密切，既要注意了解各部分知识之间的联系，又要保持各部分知识相对的独立性．本章的难点是推理入门．以前在第一册中已了解了推理证明，以及证明几何命题的一般方法步骤，是为现在正规练习证明做准备的．证明要求掌握有理有据地推理，精练准确地表达过程，有一定难度．

习题

一、填空题

1．如果三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形是______三角形．

2．已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠A的平分线，且∠B=35°，∠C=65°，则∠DAE的度数为_____．

3．三角形中最大的内角不能小于_____，两个外角的和必大于_____ ．

4．三角形ABC中，∠A=40°，顶点C处的外角为110°，那么∠B＝_____ ．

5．锐角三角形任意两锐角的和必大于_____．

6．三角形的三个外角都大于和它相邻的内角，则这个三角形为 _____三角形．

7．在三角形ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝50°，那么∠C的度数是．

8．已知∠A=

∠B=3∠C，则∠A=．

9．已知，如图7-1，∠ACD＝130°，∠A＝∠B，那么∠A的度数是．

10．如图7-2，根据图形填空：

（1）AD是△ABC中∠BAC的角平分线，则∠      ＝∠      ＝

∠       ．

（2）AE是△ABC中线，则        ＝        ＝

       ．

（3）AF是△ABC的高，则∠      ＝∠      ＝90°．

11．如图7-3所示，图中有个三角形，个直角三角形．

12．在四边形的四个外角中，最多有            个钝角，最多有             个锐角，最多有      个直角．

13．四边形ABCD中，若∠A+∠B=∠C+∠D，若∠C=2∠D，则∠C＝          ．

14．一个多边形的每个外角都为30°，则这个多边形的边数为       ；一个多边形的每个内角都为135°，则这个多边形的边数为         ．

15．某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6种形状的草皮，请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场，可供选择的两种组合是             ．

16．若一个n边形的边数增加一倍，则内角和将             ．

17．在一个顶点处，若此正n边形的内角和为          ，则此正多边形可以铺满地面．

18．如图7-4，BC⊥ED于O，∠A=27°，∠D=20°，则∠B=，∠ACB=．

19．如图7-5，由平面上五个点A、B、C、D、E连结而成，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．

20．以长度为5cm、7cm、9cm、13cm的线段中的三条为边，能够组成三角形的情况有种，分别

是．

二、选择题

 21．已知三角形ABC的三个内角满足关系∠B＋∠C=3∠A，则此三角形（     ）．

   A．一定有一个内角为45°

   B．一定有一个内角为60°

   C．一定是直角三角形

   D．一定是钝角三角形

 22．如果一个三角形的三个外角之比为2：

3：

4，则与之对应的三个内角度数之比为（     ）．

   A．4：

3：

2             B．3：

2：

4

   C．5：

3：

1             D．3：

1：

5

 23．三角形中至少有一个内角大于或等于（     ）．

   A．45°     B．55°    C．60°     D．65°

 24．如图7-6，下列说法中错误的是（     ）．

   A．∠1不是三角形ABC的外角

  B．∠B<∠1＋∠2

   C．∠ACD是三角形ABC的外角

   D．∠ACD>∠A+∠B

25．如图7-7，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA的度数为（     ）．

     A．50° B．60° C．70° D．80°

26．下列叙述中错误的一项是（    ）．

   A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．

   B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．

   C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．

   D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．

27．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（    ）．

   A．1，5，7  B．3，4，7 C．7，4，1  D．5，5，5

28．如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的（    ）．

   A．1        B．9        C．3        D．10

29．三条线段a＝5，b＝3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（    ）．

   A．1个    B．3个     C．5个     D．无数个

30．四边形的四个内角可以都是（　　）．

　　A．锐角　　                     　 B．直角

　　C．钝角　                                D．以上答案都不对

31．下列判断中正确的是（     ）．

　　A．四边形的外角和大于内角和

　B．若多边形边数从3增加到n（n为大于3的自然数），它们外角和的度数不变

　　C．一个多边形的内角中，锐角的个数可以任意多

　　D．一个多边形的内角和为1880°

32．一个五边形有三个角是直角，另两个角都等于n，则n的值为（     ）．

　　A．108°   B．125°   C．135°   D．150°

33．多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（　　）．

　　A．7条    B．8条     C．9条   D．10条

34．如图7-9，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（    ）．

　　A．高             B．角平分线

　　C．中线          D．不能确定

35．如图7-10，已知∠1＝∠2，则AH必为三角形ABC的（    ）．

　　A．角平分线          B．中线

　　C．一角的平分线    D．角平分线所在射线

36．现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（     ）．

　　A．1　  B．2  　C．3  　D．4

37．如图7-11，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（    ）

38．如图7-12，在三角形ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（      ）．

（1）AD是三角形ABE的角平分线．

（2）BE是三角形ABD边AD上的中线．

（3）CH为三角形ACD边AD上的高．

A．1个 B．2个 C．3个  D．0个

三、解答题

39．如图，在三角形ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，且FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝140°，你能求出∠EDF的度数吗？

40．如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向．那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？

41．如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．

42．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，BC=16，AD＝3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC的周长吗？

43．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？

44．已知等腰三角形的周长是16cm．

（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；

（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；

   （3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．

45．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE与DF平行吗？

为什么？

46．某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？

他少加的那个内角的度数是多少？

47．把边长为2cm的正方形剪成四个一样的直角三角形，如图所示．

请用这四个直角三角形拼成符合下列条件的图形：

（1）不是正方形的菱形；

（2）不是正方形的长方形；（3）梯形；（4）不是长方形、菱形的的平行四边形．

48．下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题：

学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题．“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说:

“其余两角是30°和120°”；王华同学说：

“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了自己的看法…

（1）假如你也在课堂中,你的意见如何?

为什么？

（2）通过上面数学问题的讨论,你有什么感受？

（用一句话表示）

49．如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？

参考解析：

一、填空题

1．直角 

2．15°

3．60°，180°                

4．70°

5．90°                             

6．锐角

7．∠C＝180°－80°－50°＝50°．

8．设∠A的度数为x．则∠B＝2x，∠C＝

x．

    所以x＋2x＋

x＝180°，解得x＝54°．   所以∠A＝54°．

9．∠A＝∠B＝

∠ACD＝65°．

10．

（1）BAD，CAD，BAC；

（2）BE，CE，BC；

   （3）AFB，AFC．

11．解：

有5个三角形，分别是△ABD，△ADE，△CDE，△ADC，△ABC；有4个直角三角形，分别是△ABD，

△ADE，△CDE，△ADC．

12．3，2，4         

13．120°     

14．12，8

15．正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形中任选两种即可．

16．增加（n－4）×180°  

17．360°或720°或180°

18．解：

因为∠BED＝∠A＋∠D=47°，

   所以∠B＝180°－90°－47°＝43°．

   所以∠BCD＝27°＋43°＝70°．

   所以∠ACB＝180°－70°＝110°．

19．解：

连结BC，如图，

   则∠DBC＋∠ECB＝∠D+∠E．

   所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠B+∠C+∠DBC＋∠ECB＝180°．

20．解：

有3种．分别以长为5cm，7cm，9cm；7cm，9cm13cm；5cm，9cm，13cm的线段为边能组成三角形．

二、选择题

21．A  

22．C  

23．C   

24．D   

25．C

26．C   

27．D   

28．C   

29．C 

30．B  

31．B    

32．C   

33．C  

34．C

（点拨：

可能会错选A或B．有的同学一看到面积就认为与高相关，故错选A；有的同学认为平分内角必平分三角形的面积，故错选B．其实，因为△ABD与△ACD同高h，又S△ABD=S△ADC，即

BD×h=

·CD×h，所以，BD=CD，由此可知，AD为三角形ABC中BC边的中线．）

35．D

（点拨：

可能会错选A或选C．错选A的同学，只注重平分内角而忽视了三角形的角平分线为一线段这一条件；而错选C的同学，实质上与错选A的同学犯的是同一个错误，显然这里“角平分线”与“一角的平分线”是一个意思，因为前提条件是说“AH必为三角形ABC的”．）

36．A

（点拨：

由三角形的三边关系知：

若长度分别为2cm、4cm、6cm，不可以组成三角形；若长度分别为4cm、6cm、8cm，则可以组成三角形；若长度分别为2cm、4cm、8cm，则不可以组成三角形；若长度分别为2cm、6cm、8cm，则不可以组成三角形．即分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为1，故应选A．）

37．C

（点拨：

因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－

，在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3）， 所以∠1＝90°－

［180°－（∠2＋∠3）］=

（∠3+∠2）． 又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G．

   所以∠G＝∠1－∠2＝

（∠3+∠2）－∠2＝

（∠3－∠2）．  ）

38．A

（点拨：

由∠1＝∠2，知AD平分∠BAE，但AD不是三角形ABE内的线段，所以

（1）不正确；同理，BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G，但BE不是三角形ABD内的线段，故

（2）不正确；由于CH⊥AD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3）正确．应选A．）

三、解答题

39．解析：

要想求∠EDF的度数，我们可以利用平角定义，只要能求出∠EDB即可．而∠EDB在三角形BDE中，只要能求出∠B就可以利用三角形内角和求∠EDB．而∠B又等于∠C，题中告诉了三角形DFC的一个外角∠AFD＝140°，所以我们能得出∠C的度数．

   解：

因为∠AFD是三角形DCF的一个外角．

   所以∠AFD=∠C+∠FDC．

   即140°＝∠C＋90°．

   解得∠C＝50°．

   所以∠B＝∠C＝50°．

   所以∠EDB＝180°－90°－50°＝40°．

   所以∠FDE＝180°－90°－40°＝50°．

40．解析：

我们可以用字母代替甲、乙、丙、丁，用角度代表方向．把题中数据与图形一一对应，利用各方向的关系可求出丁岛分别在甲岛和乙岛的方向．

   解：

设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C．如图：

   因为丁岛在丙岛的正北方，

   所以CD⊥AB．

   因为甲岛在丁岛的南偏西52°方向，

   所以∠ACD＝52°．

   所以∠CAD＝180°-90°-52°＝38°．

   所以丁岛在甲岛的东偏北38°方向．

   因为乙岛在丁岛的南偏东40°方向，

   所以∠BCD=40°．

   所以∠CBD＝180°-90°-40°＝50°．

   所以丁岛在乙岛的西偏北50°方向．

41．解析：

利用角平分线的性质解．

解：

因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，

   所以∠BAD=

∠BAC，∠ABI=

∠ABC，∠HCI=

∠ACB．

   所以∠BAD＋∠ABI+∠HCI=

∠BAC+

∠ABC+

∠ACB＝

（∠BAC+∠ABC+∠ACB）＝

×180°＝90°．

   所以∠BAD＋∠ABI＝90°－∠HCI．

   又因为∠BAD＋∠ABI＝∠BID，90°－∠HCI＝∠CIH，

   所以∠BID＝∠CIH．

   所以∠BID和∠CIH是相等的关系．

42．解析：

本题已知一边长和三条高，我们可以利用三角形的面积公式求得另外两边长，三边相加即可得到三角形的周长．

   解：

由三角形面积公式可得S△ABC＝

BC×AD＝

AC×BE，即16×3＝4×AC，所以AC＝12．

   由三角形面积公式可得S△ABC＝

BC×AD＝

AB×CF，即16×3＝6×AB．

   所以AB＝8．

   所以三角形ABC的周长为16+12+8＝36．

43．解析：

本题要求AC与AB的边长的差，且AC与AB的长度都不知道，不少同学感到无从下手．其实，只要我们仔细分析分析题中条件：

三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，即AC-AB+CD-BD=5，又AD是BC边上的中线，所以BD=CD．所以AC-AB=5．

   解：

AC-AB=5．

44．解析：

在第

（1）和第

（2）问中，没有说明所给边长是腰长还是底边长，因此我们要进行分类讨论．在第（3）问中，只给出了三边长都是整数，而此三角形又是等腰三角形，所以其最长边小于8cm，我们可以用列表法一一列出各组边长．

   解：

（1）如果腰长为4cm，则底边长为16-4-4＝8cm．三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系定理．所以应该是底边长为4cm．所以腰长为（16-4）÷2＝6cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm．

（2）如果腰长为6cm，则底边长为16-6-6＝4cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理．所以另外两边长分别为6cm和4cm．

   如果底边长为6cm，则腰长为（16-6）÷2＝5cm．三边长为6cm，5cm，5cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为5cm．

   （3）因为周长为16cm，且三边都是整数，所以三角形的最长边不会超过8cm且是等腰三角形，我们可用列表法，求出其各边长如下：

   7cm，7cm，2cm；6cm，5cm，5cm；6cm，6cm，4cm，共有这三种情况．

45．解析：

要想BE与DF平行，就要找平行的条件．题中只给出了∠A＝∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．那么我们是利用同位角相等呢还是利用同旁内角互补？

经过仔细观察图形我们知道∠BFD是三角形ADF的外角，则∠BFD＝∠A+∠ADF．而∠ADF是∠ADC的一半，∠ABE是∠ABC的一半，所以我们选择用同旁内角互补来证平行．

   解：

BE与DF平行．理由如下：

   由n边形内角和公式可得四边形内角和为（4-2）×180°＝360°．

   因为∠A＝∠C=90°，

   所以∠ADC+∠ABC=180°．

   因为BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

   所以∠ADF＝

∠ADC，∠ABE＝

∠ABC．

   因为∠BFD是三角形ADF的外角，

   所以∠BFD＝∠A+∠ADF．

   所以∠BFD＋∠ABE＝∠A+

∠ADC＋

∠ABC＝∠A+

（∠ADC+∠ABC）＝90°＋90°＝180°．

   所以BE与DF平行．

46．解析：

我们发现1125°不能被180°整除，所以老师说少加了一个角的度数．我们可设少加的度数为x，利用整除求解．

   解：

设少加的度数为x．

   则1125°＝180°×7-135°．

   因为0°

   所以x＝135°．

   所以此多边形的内角和为1125°+135°＝1260°．

   设多边形的边数为n，

   则（n－2）×180°＝1260°，解得n＝9．

   所以此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°．

47．解析：

题中告诉了我们按要求拼成．

   解：

如图：

48．解析：

本题首先要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两名学生的说法提出自己的看法，这时考生应抓住题中条件“等腰三角形ABC的角A等于30°”这个不确定条件进行分析研究．当∠A是顶角时，设底角是α，∴30°+α+α=180°，α=75°，∴其余两底角是75°和75°．当∠A是底角时，设顶角是β，∴30°+30°+β=180°，β=120°，∴其余两角是30°和120°．由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误．

   对于第

（2）问应在第

（1）问的解答的基础上，可总结出“根据图形位置关系，实施分类讨论思想方法解多解型问题”，“考虑问题要全面”等．

小结：

三角形的中线、角平分线、高（线）是三角形中三条十分重要的线段，初学者常因不能准确理解其概念的实质内涵，而出现这样或那样的错误，现举例分析如下，以达到亡羊补牢或未雨绸缪的目的．

49．解析：

要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长．由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形．同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形．分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形．所以∠P=∠G=∠H=60°．所以三角形GHP也是等边三角形．于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形．于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题．利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长．

　　解：

如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P．

　　因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，

　　所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．

　　所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形．

　　所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm．

　　所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm．

　　所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm．

小结：

本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题．

方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一．用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决．

　　方程思想应用非常广泛．我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题．