中考数学压轴题精讲.docx
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中考数学压轴题精讲
1.某学校组织八年级学生参加社会实践活动,若单独租用35座客车若干辆,则刚好坐满;若单独租用55座客车,则可以少租一辆,且余45个空座位.
(1)求该校八年级学生参加社会实践活动的人数;
(2)已知35座客车的租金为每辆320元,55座客车的租金为每辆400元,根据租车资金不超过1500元的预算,学校决定同时租用这两种客车共4辆(可以坐不满).请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金?
2.如图所示的矩形包书纸中,虚线是折痕,阴影是裁剪掉部分,四个角均为大小相同正方形,正方形边长为折叠进去宽度.
(1)设课本长为acm,宽为bcm,厚为ccm,如果按方式,将封面和封底各折进去3cm,用含a,b,c代数式,分别表示满足要求长与宽;
(2)现有一本长为19cm,宽为16cm,厚为6cm字典,你能用一张长为43cm,宽为26cm,按图所示方法好这本字典,并使折叠进去宽度不小于3cm吗?
请说明理由.
3.某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾,种鱼苗每尾0.5元,乙种鱼苗每尾0.8元.相关资料表明:
、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%.
(1)若这批鱼苗共用了3600元,求、乙两种鱼苗各了多少尾?
(2)若这批鱼苗的钱不超过4200元,应如何选购鱼苗?
(3)若要使这批鱼苗的成活率不低于93%,且鱼苗的总费用最低,应如何选购鱼苗?
1.今年春季,我国云南、贵州等西南地区遇到多年不遇旱灾,“一方有难,八方支援”,为及时灌溉农田,丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台(每种至少一台)及配套相同型号抽水机分别为4台、3台、2台,每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时,灌溉农田32亩.
(1)设甲种柴油发电机数量为x台,乙种柴油发电机数量为y台.
①用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量;
②求出y与x的函数关系式;
(2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元,应如何安排三种柴油发电机的数量,既能按要求抽水灌溉,同时柴油发电机总费用W最少?
2.为了抓住世博会商机,某商店决定购进A,B两种纪念品,若购进A种纪念品10件,B种纪念品5件,需要1000元;若购进A种纪念品4件,B种纪念品3件,需要550元,
(1)求购进A,B两种纪念品每件需多少元?
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品,考虑到市场需求,要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍,且不超过B种纪念品数量的8倍,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第
(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?
最大利润是多少元?
1.某市政府大力扶持大学生创业,李明在的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:
y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
2.恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.
(1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式.
(2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?
(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)
(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?
最大利润是多少?
3.如图,等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙,另三边用长为40米的铁栏杆围成,设该的腰AB的长为x米.
(1)请求出底边BC的长(用含x的代数式表示);
(2)若∠BAD=60°,该的面积为S米2.
①求S与x之间的函数关系式(要指出自变量x的取值范围),并求当S=93√3
时x的值;
②如果墙长为24米,试问S有最大值还是最小值?
这个值是多少?
1.某校初三年级春游,现有36座和42座两种客车供选择租用,若只租用36座客车若干辆,则正好坐满;若只租用42座客车,则能少租一辆,且有一辆车没有坐满,但超过30人;已知36座客车每辆租金400元,42座客车每辆租金440元.
(1)该共有多少人参加?
(2)请你帮该设计一种最省钱的租车方案?
2.为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)问符合题意的组建方案有几种?
请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明在
(1)中哪种方案费用最低?
最低费用是多少元?
3.去冬今春,我市部分地区遭受了罕见的旱灾,“旱灾无情人有情”.某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件.
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件.则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案?
请你帮助设计出来;
(3)在
(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少?
最少运费是多少元?
1.小刚上午7:
30从家里出发步行上学,途经少年宫时走了1200步,用时10分钟,到达学校的时间是:
55、为了估测路程等有关数据,特意在学校的田径跑道上,按的速度,走完100米用了150步.
(1)的平均速度是多少米/分?
家和少年宫之间,少年宫和学校之间的路程分别是多少米?
(2)下午4:
00,学校,以45米/分的速度行走,按时的原路回家,在未到少年宫0米处与同伴玩了半时后,赶紧以110米/分的速度回家,中途没有再停留,问:
①到家的时间是下午几时?
②回家过程中,离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图,请写出点出点B的坐标,并求出线CD所在直线的函数解析式.
2.小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到珠海市图书馆查阅资料,学校与市图书馆的程是4千米,骑自行车,步行,当从原回到学校时,刚好到达市图书馆,图中折线O-A-B-C线段OD分别表示两人离学校的程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系,请根据图象回答下列问题:
(1)在图书馆查阅资料的时间为分钟,返回学校的速度为千米/分钟;
(2)请你求出离开学校的程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式.
1.如图,在一块正方形D木板上要贴三种不同的墙纸,EFCG部分贴A型墙纸,△ABE部分贴B型墙纸,其余部分贴C型墙纸.A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元.
探究1:
如果边长为2米,FC=1米,则用墙纸的费用需元;
探究2:
如果边长为1米,求需用墙纸的最省费用;
探究3:
设的边长为a(a为整数),当EFCG的边长为多少时?
墙纸费用最省;如要用这样的多块贴一堵墙(7×3平方米)进行装饰,要求每块A型的墙纸不超过1平方米,且尽量不浪费材料,则需要这样的木板块。
2.
(1)计算:
如图1,直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,切点分别为A、B、C,求O1A的长(用含a的代数式表示).
(2)探索若干个直径为a的圆圈按②所示方案一和③所示方案二方式排放,探索并出这种方案中n层圈高度hn和hn′(用含n、a的代数式表示);
(3)应现有方体集装箱,其内空5米,宽为3.1米,高为3.1米这样集装箱装运5米,底面(横截面外)0.1米柱形钢管,你认采
(2)中哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多?
并出一个这样集装箱最多能装运多少根钢管?
(√3≈1.73)
1.问题再现:
现实生活中,镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计随处可见.在八年级课题学习“平面图形的”,对于单种多边形的,主要研究了三角形、四边形、正六边形的问题、今天我们把正多边形的作为研究问题的切入点,提出其几个问题,共同来探究.
我们知道,可以单独用正三角形、正方形或正六边形平面.如图,用正方形平面,可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.
试想:
如果用正六边形来平面,在一个顶点周围应该围绕着
个正六边形的内角.
问题提出:
如果我们要同时用两种不同的正多边形平面,可能设计出几种不同的组合方案?
问题解决:
猜想1:
是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面?
分析:
我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的可以发现,解决问
题的关键在于分析能同时用于完整平面的两种正多边形的内角特点.具体地说,
是在平面时,一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.
验证1:
在平面时,设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意,可得方程:
(8−2)×180
8
x=1
y=2
90x+•y=360,整理得:
2x+3y=8,
我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为
结论1:
平面时,在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角,所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面.
猜想2:
是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面?
若能,请按照上述方法进行验证,并写出所有可能的方案;若不能,请说明理由.
验证2:
_______;
结论2:
_______.
上面,我们探究了同时用两种不同的正多边形组合平面的部分情况,仅仅得到了一部分组合方案,相信同学们用同样的方法,一定会找到其它可能的组合方案.
问题拓广:
请你仿照上面的研究方式,探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面的方案,并写出验证过程.
猜想3:
_______;
验证3:
_______;
结论3:
_______.
2.观察思考:
某种在同一平面进行转动的机械装置如图1,图2是它示意图.其工作原理是:
滑块Q平直滑道l上可以左右滑动,Q滑动过程中,连杆PQ也随之运动,并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.摆动过程中,两连杆接点P以OP为半径⊙O上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含数学知识,过点O作OH⊥l于点H,并测得OH=4分米,PQ=3分米,OP=2分米.
解决问题:
(1)点Q与点O间最小距离是分米;点Q与点O间最大距离是分米;点Q在l线上滑到最左端位置与滑到最右端位置间距离是分米;
(2)如图3,小明同学说:
“当点Q滑动到点H位置时,PQ与⊙O是相切.”你认为他判断对吗?
为什么?
(3)①小丽同学发现:
“当点P运动到OH上时,点P到l距离最小.”事实上,还存着点P到l距离最大位置,此时,点P到l距离是分米;
②当OP绕点O左右摆动时,所扫过区域为扇形,求这个扇形面积最大时圆心角度
数
.
2.类比学习:
一动点沿着数轴向右平移3个单位,再向左平移2个单位,相当于向右平移1个单位.用实数加法表示为3+(-2)=1.
若坐标平面上的作如下平移沿x轴方向平移的数量为a(向右为正,向左为负,平移|a|个单位),沿y轴方向平移的数量为b(向上为正,向下为负,平移|b|个单位),则把有序数对{a,b}叫做这一平移的“平移量”;“平移量”{a,b}与“平移量”{c,d}的加法运算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d}.
解决问题
(1)计算{3,1}+{1,2};{1,2}+{3,1};
(2)①动P从坐标原O出发,先按照“平移量”{3,1}平移到A,再按照“平移量”{1,2}平移到B;若先把动P按照“平移量”{1,2}平移到C,再按照“平移量”{3,1}平移,最后的位置还是B吗?
在图1中画出四边形OABC.
②证明四边形OABC是平行四边形.
(3)如图2,一艘船从码头O出发,先航行到湖心岛码头P(2,3),再从码头P航行到码头Q(5,5),最后回到出发O.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.
1.已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n),其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C、D点的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上一点,过点P作PH⊥x轴,交抛物线于点H,若直线BC把△
△PCH分成面积相等的两部分,求P点的坐标
如图,将OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为 ;用含t的式子表示点P的坐标为 ;
(2)记△OMP面积为S,求S与t函数关系式(0<t<8),并求当t为何值时,S有最大值?
若有,求出这最大值;
(3)试探究:
上述运过程,是否存某一时刻,△OMP是等腰三角形?
若存在,求出T坐标;若不存,请说明理由.
1.如图,已知直线l的解析式为y=-x+6,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点,平行于直线l的直线n从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒,运动过程中始终保持n∥l,直线n与x轴、y轴分别相交于C、D两点,线段CD的中点为P,以P为圆心,以CD为直径在CD上方作半圆,半圆面积为S,当直线n与直线l重合时,运动结束.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)直线n在运动过程中,
①当t为何值时,半圆与直线l相切?
②是否存在这样的t值,使得半圆面积S=1/2S梯形ABCD?
若存在,求出t值.若不存在,说明理由.
2.如图所示,对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B,O.
(1)求抛物线的解析式,并求出顶点A的坐标;
(2)连接AB,把AB所在的直线平移,使它经过原点O,得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S,点P的横坐标为t,当0<S≤18时,求t的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,当t取最大值时,抛物线上是否存在点Q,使△OPQ为直角三角形且OP为直角边?
若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
1.如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,若OA、OC的长满足|OA−2|+(OC−2√3)2=0.
(1)求B、C两点的坐标;
(2)把△ABC沿AC对折,点B落在点B′处,线段AB′与x轴交于点D,求直线BB′的解析式;
(3)在直线BB′上是否存在点P,使△ADP为直角三角形?
若存在,请直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由.
.
2.如图,Rt三角形ABO的两直角边OA.OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,
O为坐标原点,A.B两点的坐标分别为(-3.0),(0.4),抛物线y=2/3x2+bx+c经过B点,且顶点在直线x=5/2上。
(1)求对应函数关系式;
(2)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N。
设点M的横坐标为t,MN的长度为I,求I与t之间的函数关系式,并求I取最大值时,点M的坐标
3.在三角形ABC中,∠A=∠B=30°,AB=2根号3,把三角形ABC放在平面直角坐标系中,使AB得中点位于坐标原点O,三角形ABC可任意绕点O作任意角度的旋转。
(1)当B在第一象限,纵坐标是2分之根号6时,求B的横坐标。
(2)如果抛物线y=ax的平方+bx+c(a≠0)的对称轴经过C,请你探究:
1)当a=√5/4,b=-1/2,c=-3√5/5时,A,B两点是否都在这条抛物线上?
并说明理由。
2)设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?
若存在,直接写出m的值,如不存在,请说明理由。
1.已知:
如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=k/x
的图象交于点A(3,2)
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图象回答,在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值;
(3)M(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3,过点M作直线MN∥x轴,交y轴于点B;过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时,请判断线段BM与DM的大小关系,并说明理由.
2、如图所示,菱形ABCD的顶点A、B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴上,∠BAD=60°,点A的坐标为(-2,0).
(1)求线段AD所在直线的函数表达式;
(2)动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照A⇒D⇒C⇒B⇒A的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为t秒、求t为何值时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切.
1.●探究
(1)在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E,F.
①若A(-1,0),B(3,0),则E点坐标为__________;
②若C(-2,2),D(-2,-1),则F点坐标为__________;
(2)在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a,b),B(c,d),求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的代数式表示),并给出求解过程.
●归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,当其端点坐标为A(a,b),B(c,d),AB中点为D(x,y)时,x=____,y=____.(不必证明)
●运用在图2中,一次函数与反比例函数的图象交点为A,B.
①求出交点A,B的坐标;
②若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形,请利用上面的结论求出顶点P的坐标.
我们容易发现:
反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这一结论解决问题.如图,在同一直角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是:
将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数y=√3∕x
的图象分别交于第一、三象限的点B,D,已知点A(-m,O)、C(m,0).
(1)直接判断并填写:
不论α取何值,四边形ABCD的形状一定是;
(2)①当点B为(p,1)时,四边形ABCD是矩形,试求p,α,和m的值;
②观察猜想:
四边形ABCD能不能是菱形?
若能,直接写出B点的坐标,若不能,说明理由.
(3)试探究:
对①中的m值,能使四边形ABCD为矩形的点B是否存在,若存在,这样的点B有几个?
并求出此时m范围。
3.已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C,其顶点为D.
(1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴;
(2)连接BC,过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E.
求证:
四边形ODBE是等腰梯形;
(3)抛物线上是否存在点Q,使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的1/3?
若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
4.如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D。
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?
为什么?
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?
若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
5.如图,在平面直角坐标系中一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C);
(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况?
若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由
(4)在(3)情况下,四边形BEFD是否存邻边相等情况?
若存在,请直接写出此时m值,并指出相等邻边;若不存,说明理由
1.如图,在锐角三角形ABC中,
,BC边上的高AM=6,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与
,
重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点
的异侧作正方形DEFG.
(1)因为 ,所以△ADE∽△ABC.
(2)如图1,当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长;
(3)设DE=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y.
①如图2,当正方形DEFG在△ABC的内部时,求
关于
的函数关系式,写出x的取值范围;
②如图3,当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,求
关于
的函数关系式,写出x的取值范围;
③当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
2.如图,Rt三角形ABO的两直角边OA.OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,
O为坐标原点,A.B两点的坐标分别为(-3.0),(0.4),抛物线y=2/3x2+bx+c经过B点,且顶点在直线x=5/2上。
(1)求对应函数关系式;
(2)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N。
设点M的横坐标为t,MN的长度为I,求I与t之间的函数关系式,并求I取最大值时,点M的坐标
3.如图,抛物线y=mx²-2mx-3m(m>0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)请求抛物线定点M的坐标(用含m的代数式表示),A、B两点的坐标;
(2)经探究可知,△BCM与△ABC的面积比不变,试求出这个比值;
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线?
若存在,请求出;如果不存在,请说明理由.
4如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=15,OC=9,在AB上取一点M,使得△CBM沿CM翻折后,点B落在x轴上,记作N点.
(1)求N点、M点的坐标;
(2)将抛物线y=x2-36向右平移a(0<a<10)个单位后,得到抛物线l,l经过点N,求抛物线l的解析式;
(3)①抛物线l的对称轴上存在点P,使得P点到M、N两点的距离之差最大,求P点的坐标;②若点D是线段OC上的一个动点(不与O、C重合),过点D作DE∥OA交CN于E,设CD的长为m,△PDE的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并说明S是否存在最大值?
若存在,请求出