【海淀区】中考一模数学试卷(含答案解析).doc
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北京市海淀区2018年中考一模数学试卷第22页共22页
北京市海淀区2018年中考一模数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．用三角板作ΔABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）
2．图1是数学家皮亚特·海恩（PietHein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体
以面相连接构成的不规则形状组件组成.图2不可能是下面哪个组件的视图（）
3．若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（）A.6B.5C.4D.3
4．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）
5．如果，那么代数式的值是（）A.2 B. C.1 D.
6．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示.若，则下列结论中正确的是（）
A.B.C.D.
7．在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源.下面的统计图反映了我国在线教育用户
规模的变化情况.
（以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育白皮书》）
根据统计图提供的信息，下列推断一定不合理的是（）
A．2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升
B．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持
续上升
C．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万
D．2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%
※8．如图1，矩形的一条边长为X，周长的一半为y.定义〔X,y〕为这个矩形的坐标.
如图2，在平面直角坐标系中，直线X=1，y=3将第一象限划分成4个区域.
已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.
则下面叙述中正确的是（）
A.点A的横坐标有可能大于3
B.矩形1是正方形时，点A位于区域②
C.当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D.当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取
一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是．
10．我国计划2023年建成全球低轨卫星星座——鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无
死角全覆盖的网络服务.2017年12月，我国手机网民规模已达753000000，将753000000用
科学记数法表示为．
11．如图，AB∥DE，若AC=4，BC=2，DC=1，则EC==．
12．写出一个解为1的分式方程：
．
13．京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不
同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道
和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下
隧道运行时间比地上大约多2分钟（小时），求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧
道全长为x千米，依题意，可列方程为__________．
14．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，
与BC交于点E，连接AE，若∠D=72°，
则∠BAE=°.
※15．定义：
圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB
于F，则AF=FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC=60°，AB=8，BC=6，
D是AB上一点，BD=1，作DE⊥AB交△ABC的
外接圆于E，连接EA，则∠EAC==________°．
16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.
请回答尺规作图的依据是．
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，
每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：
．
18．解不等式组：
19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接CD，
过点B作CD的平行线EF，
求证：
BC平分∠ABF．
20．关于的一元二次方程.
（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；
（2）若m为负数，判断方程根的情况.
21．如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE=CD.
（1）求证：
四边形ABCD是菱形；
（2）若AD=2，则当四边形ABCD的形状是______时，四边形AOBE的面积取得最大值是_____.
22．在平面直角坐标系XOy中，已知点P（2，2），Q（－1，2），函数.
（1）当函数的图象经过点P时，求的值并画出直线．
※
（2）若P，Q两点中恰有一个点的坐标（，）满足不等式组（＞0），求的取值范围．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D.
（1）已知∠A=α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；
（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A=30°，MF=，求⊙O的半径.
24．某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，
开展了一次调查研究，请将下面的过程补全.
收集数据:
调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，
合理的是___________（填字母）；
A．抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本.
B．抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本.
C．从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本.
整理、描述数据:
抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下：
整理数据，如下表所示：
分析数据、得出结论:
调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，
你能从中得到的结论是_____________，你的理由是___________________________.
体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有
________名同学参加此项目.
25．在研究反比例函数的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析.
首先，确定自变量X的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y轴分成两部分；
其次，分析解析式，得到y随X的变化趋势：
当X＞0时，随着X值的增大，的值减小，且逐渐
接近于零，随着X值的减小，的值会越来越大，由此，可以大致画出在X＞0时的部分图
象，如图1所示：
利用同样的方法，我们可以研究函数的图象与性质.通过分析解析式画出部分函数图
象如图2所示.
（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A；
（画出网格区域内的部分即可）
（2）观察图象，写出该函数的一条性质：
____________________；
※（3）若关于X的方程有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数a的取值范围：
__________.
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=X2–2aX+b的顶点在X轴上，P〔X1,m〕，Q〔X2,m〕
（X1＜X2）是此抛物线上的两点．
（1）若a=1，
①当m=b时，求X1,X2的值；
②将抛物线沿y轴平移，使得它与轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；
※
（2）若存在实数c，使得X1≤c–1，且X2≥c+7成立，则m的取值范围是．
27．如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在
∠AOB内，且满足∠DPA=∠OPE，DP+PE=6.
（1）当DP=PE时，求DE的长；
※
（2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得的值不变？
并证明你的判断.
28．在平面直角坐标系中，对于点P和⊙C，给出如下定义：
若⊙C上存在一点T不与O重合，
使点P关于直线OT的对称点在⊙C上，则称P为⊙C的反射点．下图为⊙C的反射点P的示意图．
（1）已知点A的坐标为〔1，0〕，⊙A的半径为2，
①在点O〔0，0〕，M〔1，2〕，N〔0，–3〕中，⊙A的反射点是____________；
※②点P在直线y=–X上，若P为⊙A的反射点，求点P的横坐标的取值范围；
※
（2）⊙C的圆心在X轴上，半径为2，轴上存在点P是⊙C的反射点，直接写出圆心C的横坐标X的
取值范围．
北京市海淀区2018年中考一模数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题〔每小题2分〕1.A2.C3.D4.B5.A6.D7.B8.D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．10．7.53×10811．212．（答案不唯一）13．14．3615．60
16．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线.
※8．如图1，矩形的一条边长为X，周长的一半为y.定义〔X,y〕为这个矩形的坐标.
如图2，在平面直角坐标系中，直线X=1，y=3将第一象限划分成4个区域.
已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.
则下面叙述中正确的是（）
A.点A的横坐标有可能大于3
B.矩形1是正方形时，点A位于区域②
C.当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D.当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
解析：
可知双曲线中的K＜3，∵矩形的一条边长为X，周长的一半为y.另一条边长为y–X∴y＞X
①矩形1的坐标的对应点A〔X,y〕中Xy应小于3;∴如果X＞3，则y＞3K=Xy＞9，∴A错
②矩形1是正方形时，y=2X,据题意点A〔X,2X〕应落在双曲线上,而y=2X图像在区域②与
双曲线无交点，∴B错。
【矩形1是正方形时，点A位于区域③才正确】
③当点A沿双曲线向上移动时，即随着X的减小，y逐渐增大。
矩形1的面积S=X〔y–X〕=Xy–X2
∵Xy=K是一个定值，∴随着X的减小，X2也逐渐减小，而面积S则逐渐增大。
∴C错
④∵矩形2的坐标的对应点落在区域④中，∴X2＞1，y2＞3矩形2的另一条边长=y2–X2
当矩形1的坐标的对应点A〔X1,y1〕位于区域①时，0＜X1＜1，y1＞3，另一条边长=y1–X1
∴有可能y2–X2=X1y1–X1=X2即矩形1可能和矩形2全等∴D对
说明：
此题理解起来很费劲，比较绕，关键是要明确“周长的一半为y.”则另一条边长为y–X，且y＞X。
※14．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，
与BC交于点E，连接AE，若∠D=72°，
则∠BAE=36°.
解析：
四边形ADCE为圆内接四边形----------外角=内对角，
∴∠AEB=∠D=72°
∴∠BAE=180°–∠ABE–∠AEB=36°
15．定义：
圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB
于F，则AF=FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC=60°，AB=8，BC=6，
D是AB上一点，BD=1，作DE⊥AB交△ABC的
外接圆于E，连接EA，则∠EAC=________°．
解析：
AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，
∵AD=7=BD+BC=1+6DE⊥AB∴E为弧ABC的中点，
∴弧AE=弧CE∴AE=CE∵∠ABC=60°，∴∠AEC=60°∴ΔACE为等边三角形
∴∠EAC=60°
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，
每小题7分）
17.解：
原式=………………4分
=.………………5分
18.解：
解不等式①，得X＞–3.………………2分
解不等式②，得X＜2.………………4分
所以原不等式组的解集为–3＜X＜2.………………5分
19.证明：
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴.∴∠ABC=∠DCB.…………2分
∵DC∥EF，∴∠CBF=∠DCB.……3分∴∠CBE=∠ABC.∴BC平分∠ABF………5分
20．解：
（1）∵是方程的一个实数根，∴.………………1分
∴.………………3分
（2）.∵m＜0，∴–12m＞0.∴.……………4分
∴此方程有两个不相等的实数根.………………5分
21．
（1）证明：
∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形.………………1分
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB.
∵OE=CD,∴OE=AB.∴平行四边形AEBO是矩形.………………2分
∴BOA=90°.∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形.…………3分
（2）正方形；………………4分2.………………5分
22．在平面直角坐标系XOy中，已知点P（2，2），Q（－1，2），函数.
（1）当函数的图象经过点P时，求的值并画出直线y=X+m．
※
（2）若P，Q两点中恰有一个点的坐标（X，）满足不等式组（＞0），求m的取值范围．
解：
（1）∵函数的图象经过点P〔2，2〕，∴，即m=4．………1分
图象如图所示.………………2分
（2）当点P〔2，2〕满足（＞0）时，解不等式组得0＜m＜4．……3分
当点Q〔–1,2〕满足（＞0）时，解不等式组得m＞3．………4分
∵P,Q两点中恰有一个点的坐标满足（＞0），∴两者都要兼顾，不能超出范围，
∴的取值范围是：
当点P〔2，2〕满足时0＜m≤3，或当点Q〔–1,2〕满足时m≥4．-----5分
23．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D.
（1）已知∠A=α，求∠D的大小（用含的式子表示）；
（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A=30°，MF=，求⊙O的半径.
23．解：
（1）连接OE，OF．
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴∠DOF=∠DOE．
∵∠DOE=2∠A，∠A=α，∴∠DOF=2α………1分
∵FD为⊙O的切线，∴OF⊥FD.∴∠OFD=90°.
∴∠D+∠DOF=90°.∴∠D=90°–2α………2分
（2）图形如图所示.连接OM.
∵AB为⊙O的直径，∴O为AB中点，∴∠AEB=90°．
∵M为BE的中点，∴OM∥AE，.………3分
∵∠A=30°，∴∠MOB=∠A=30°．
∵∠DOF=2∠A=60°，∴∠MOF=90°.∴OM2+OF2=MF2………………4分
设⊙O的半径为r．
∵∠AEB=90°，∠A=30°，∴AE=AB•cos30°=r.∴．………5分
∵FM=，∴.解得r=2．（舍去负根）
∴⊙O的半径为2．………………6分
8
10
24．〔1〕C……………1分
………………2分
（2）去年的体质健康测试成绩比今年好．（答案不唯一，合理即可）………………3分
去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大．（答案不唯一，合理即可）………4分
（3）70．………………6分
25．
（1）如图：
………………2分
（2）当X＞1时，y随着X的增大而减小；（答案不唯一）……4分
（3）若关于X的方程有两个不相等的实数根，
结合图象，直接写出实数a的取值范围：
解析：
即函数y=与函数y=a〔X–1〕有两个交点
关键突破点：
函数y=a〔X–1〕恒过点〔1,0〕∴经过点A时，直线的解析式为y=X–1，a=1
为了与函数y=图像位于第四象限的部分有交点，则必须a≥1.……………6分
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=X2–2aX+b的顶点在X轴上，P〔X1,m〕，Q〔X2,m〕
（X1＜X2）是此抛物线上的两点．
（1）若a=1，
①当m=b时，求X1,X2的值；
②将抛物线沿y轴平移，使得它与X轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；
※
（2）若存在实数c，使得X1≤c–1，且X2≥c+7成立，则m的取值范围是．
26．解：
∵抛物线y=X2–2aX+b的顶点在X轴上，..………………1分
（1）∵a=1，∴b=1.∴抛物线的解析式为y=X2–2X+1=〔X–1〕2.
①∵m=b=1，直线PQ平行于X轴，∴X2–2X+1=1，解得X1=0，X2=2.………2分
②依题意，设平移后的抛物线为.
∵抛物线的对称轴是X=1，平移后与轴的两个交点之间的距离是，
∴点〔3,0〕、〔–1,0〕是平移后的抛物线与X轴的交点.∴〔3–1〕2+k=0，即K=–4.
∴变化过程是：
将原抛物线向下平移4个单位.………………4分
※
（2）m≥16.………6分【抛物线的对称轴是X=a，开口向上，顶点在X轴上，∴m＞0】
解析：
依题意，方程X2–2aX+a2=m中Δ=4a2–4a2+4m=4m＞0X1=a–X2=a+
∴a–≤c–1≥a+1–c---------①a+≥c+7≥c+7–a---------②
①+②得2≥8≥4∴m≥16
27．如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D
在∠AOB内，且满足∠DPA=∠OPE，DP+PE=6.
（1）当DP=PE时，求DE的长；
※
（2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得的值不变？
并证明你的判断.
27．.解：
（1）作PF⊥DE交DE于F.
∵PE⊥BO，∠AOB=60°，∴∠OPE=30°.
∴∠DPA=∠OPE=30°.
∴∠EPD=120°.………………1分
∵DP=PE,DP+PE=6,∴∠PDE=30°,PD=PE=3.
∴.∴DE=2DF=3………………3分
※
（2）当M点在射线OA上且满足OM=2时，的值不变，始终为1.理由如下：
………4分
当点P与点M不重合时，延长EP到K使得PK=PD.
∵∠DPA=∠OPE=30°,∠OPE=∠KPA,∴∠KPA=∠DPA=30°.
∴∠KPM=∠DPM=150°.
∵PK=PD,PM是公共边,∴ΔKPM≌ΔDPM.
∴MK=MD.………………5分
作ML⊥OE于L,MN⊥EK于N.
∵MO=2,∠MOL=60°，∴ML=3.……6分
∵PE⊥BO,ML⊥OE,MN⊥EK，
∴四边形MNEL为矩形.∴EN=ML=3.
∵EK=PE+PK=PE+PD=6,∴EN=NK=3.
∵MN⊥EK,∴MK=ME.∴ME=MK=MD,即.
当点P与点M重合时，由上过程可知结论成立.………………7分
另解：
读题的过程分两个方面，一个是从题干和问题设置中获取关键信息，比如本题中的60°，DP+PE=6.
另一方面，要从解题经验和方法的总结中迅速检索相关的解题类型和几何模型。
如果构造等边三角形属于第一步，那么，结合DP+PE=6.这显然是等边三
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