数学讲义-信号检测-第7章Word格式.doc

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那么按照上述序列检测的基本思想，它应是逐步进行的。

当检测过程进行到第步时，已经获得了个观测信号（），这个观测信号可以看作是维观测空间中的一个点。

根据信号检测所采用的准则，对观测空间进行划分。

在简单二元信号序列检测的情况下，观测空间被分成三个互不相交的子空间，和，如图7.1.1所示，其分界面由检测准则决定。

继续观测

R1

判H1成立

R2

判H0成立

R0

图7.1.1序列检测的判决域

如果信号观测矢量落在域，则判决假设成立；

如果落在域，则判决假设成立；

如果落在域，则不作出判决，继续进行第次观测。

7.1.2两个门限和的计算方法――瓦尔德序列检测

设计瓦尔德序列检测的关键问题是根据指定的虚警概率和漏警概率，来计算检验器的两个门限和。

在纽曼-皮尔逊准则下，下面研究检测门限和与错误判决概率和的关系。

设次观测信号所构成的维随机观测矢量为,其似然比函数为

（7.1.1）

为了计算似然比函数，需要对随机观测矢量进行统计描述，即求维联合概率密度函数和。

如果假定各次观测是相互独立的，则似然比函数可以表示为

（7.1.2）

也可以写成（7.1.3）

根据虚警概率和漏警概率来计算和。

记

（7.1.4）

进行下列检验，

若

（7.1.5）

则判决假设成立；

若

（7.1.6）

（7.1.7）

则需要进行下一次观测，根据再进行检验。

对于给定的约束值和，有

（7.1.8）

（7.1.9）

式中，代表为真时判决成立的正确判决概率，所以必满足（7.1.5）式，即，将其带入（7.1.9）式，得

（7.1.10）

从而有不等式

（7.1.11）

类似的可以求得关于门限的不等式为

（7.1.12）

因为序列检测的条件是，当似然比函数时，判决假设成立，而似然比检测门限的理论值为，只有取理论值的上限时，似然比检验时才能有足够的观测次数，以满足性能要求指标。

所以检测门限的设计公式为

（7.1.13）

采用类似的分析方法，可得检测门限的设计公式为

（7.1.14）

如果采用对数似然比检验，则（7.1.2）式变为

（7.1.15）

对应的检测门限为和。

7.1.3序列检测的平均观测次数

信号序列检测能确保信号检测的精度，但信号序列检测的最大优点是在给定的检测性能要求下，它所利用的平均观测次数最少，即平均检测时间最短。

下面证明这一结论。

求序列检测的平均观测次数，也就是求在假设为真和假设为真的条件下作出判决所需要的观测次数的平均值和，其中是终止观测的观测次数，是一个随机变量。

假设观测量都是独立同分布的，即来自同一总体，则

（7.1.16）

式中，可以认为是任意一次观测的似然比函数。

这样有

（7.1.17）

于是有

（7.1.18）

由NP准则，检测结束，当为真时，有：

当为真时，有：

信号序列检测到第次观测时终止，检测结束，可认为近似取和之一，即检测结束时，有：

或

于是，的条件均值为

（7.1.19）

（7.1.20）

将式（7.1.19）代入式（7.1.18），则在假设下，所需的平均观测次数是

（7.1.21）

类似地，在假设为真的条件下，所需的平均观测次数是

（7.1.22）

这样，可求出总平均观测数为

　　　　　（7.1.22）

其中，分别是和发生的先验概率。

瓦尔德（Wald）和沃尔福维茨（Wolfowitz）已经证明，对于和已经确定，这种序列似然比检验的平均观测次数和最小。

　　　序列检测由于出现了不做出判决的中间结果，是否会出现在和之间发生振荡无止境呢？

结论是：

肯定不会。

若，需要进行下一次观测再作处理。

我们知道，落在和之间的概率总小于1，即

所以，在次观测中，对数似然比落在和之间的概率，即全部落在和之间的概率为

因此，当时

这说明当时，落在和之间的概率等于零，即序列似然比检验是有终止的，或者说序列似然比检验以概率1结束。

虽然序列似然比检验是有终止的，但人们在使用中宁愿规定一个观测次数的上限。

当观测次数达到仍不能判决是，就转为固定观测次数的检验方法，强制作出假设或者成立的判决。

这类序列似然比检验称为截断的序列似然比检验。

例7.1.1在二元数字通信系统中，两个假设下的观测信号分别为

其中，观测噪声,各次观测统计独立，且观测是顺序进行的。

试确定在，时的判决规则；

并计算在每个假设下，观测次数的平均值。

解：

若进行到第次观测，似然比为

对数似然比为

两个检测门限分别为

因此似然比判决规则为

若，则判决假设成立；

若，则需要再进行一次观测后，再进行检验。

在假设和假设下，观测次数的平均值分别为

式中，

其中是任意一次的观测噪声。

上述结果表明，平均观测4次就可以达到预期性能。

7.2稳健性检测

7.2.1概述

对于信号统计检验的理论和方法，大致可以分成两种类型。

一类是信号的参数检测，它要求准确掌握观测信号的概率分布特性。

另一类是信号的非参数检测，它可以在完全不知道观测信号概率分布特性的情况下，根据检测单元样本数据和参考单元样本数据比较所得的结果设计信号检测器，实现信号的检测，所以又称为分布自由检测。

非参数检测虽然适应性强，但针对性差，其检测性能一般低于参数检测性能，且要求信号观测次数N较大。

从工程实用性出发，本书不讲述非参数检测方法。

从严格意义上讲，实际工程问题中最有可能遇到介于两类检测之间的情况，即部分掌握观测信号的统计特性，但又不足以得到其确切的概率分布描述。

例如，在某些雷达、通信系统中，信号模型中噪声的统计特性虽然基本上属于高斯型，但并不完全一致，实测结果往往是其概率密度函数在均值附近与高斯分布一致，但在远离均值的“尾部”却与高斯分布差异较大，表现为一个衰减慢于高斯分布的“宽尾巴”。

这说明噪声主要由高斯型噪声组成，但也含有一小部分的其他类型的噪声。

对于这种情况，参数检测与非参数检测方法都不适合，可采用稳健性（Robust）检测方法。

稳健性指的是一种韧性，稳健性检测指的是检测器的性能对于噪声统计特性变化的非敏感性，即：

当信号的实际统计模型与假设的统计模型有较小的差异时，检测性能只受到较小的影响，不会因为实际模型的变化使检测性能严重变差。

当实际的统计模型与所假设的理论模型一致时，稳健性检测性能良好，但达不到某种准则下的最佳性能，所以稳健性检测不是最佳检测，这是为追求稳健性所付出的代价。

另外，当实际的统计模型与假定的理论模型存在较严重的偏离时，稳健性检测器仍有一定的检测能力，而不至于完全失效。

7.2.2混合模型与决策准则

（1）混合模型描述

在噪声和干扰比较复杂的情况下，观测信号的概率密度函数可能是多个密度函数的组合，其中起主导作用的那部分的概率密度函数通常是已知的。

Huber将这一问题概述为混合模型，它是由两个分布的线性组合构成，其中一个主分布函数已知（通常为高斯分布），另一个是所占比例为的任意分布。

Huber混合模型用集合的形式表示为：

（7.2.1）

其中，F为一类概率密度函数的集合，为已知的概率密度函数，或称主概率密度函数，或称为标称（名义）概率密度函数；

称为污染密度函数，它属于任意类，对其约束很松；

（）称为污染程度，通常很小。

在许多工程应用中，我们假定主概率密度服从正态分布，Huber混合模型表示为：

　（7.2.2）

其中为标准正态分布，为任意分布函数。

现在考虑二元信号检测的情况，二元信号的混合模型可表示为

（7.2.3）

（2）风险函数与最不利分布对

采用什么样的检测方法，才能使其具有稳健性？

我们从决策的风险（损失）理论出发来研究这一问题。

信号检测是一种统计决策，任何决策都存在风险。

例如，根据假设检验中的贝叶斯理论，在二择一决策情况下，根据（4.3.8），平均风险（也称平均损失）可写成：

＋＋＋

其中，表示各种决策所产生的损失。

设是一个统计决策问题中的决策函数，是相应的损失函数，损失函数关于样本的分布的数学期望

　　　　　　　（7.2.4）

称不决策函数的风险函数，风险函数代表决策的平均损失。

对于二元信号假设模型（7.2.3），设检测器为，则检测函数为

由此检测函数产生的虚报风险（第一类错误产生的平均损失）为，产生的漏报风险（第二类错误产生的平均损失）为。

假定正确决策的损失为0，即，错判为的损失为，错判为的损失为，则有

　　　　　　　　　　　　　　　　（7.2.5）

由于模型（7.2.3）中和的任意性，和也具有不确定性。

若存在一分布对，使得任意分布对和检验函数，都有

　　　　　　　　　　　　　　　　（7.2.6）

则称和为最不利分布对。

最不利分布对就是使检验风险最大的分布对。

（3）最小最大风险决策准则

面对最不利分布对及其检测风险，我们还可通过选择检测函数来控制风险。

　　　在检测函数类中，对于最不利分布对，若可选择这样的检测函数，使得

　　　　　　　　　　　　　　（7.2.7）

则称为最小最大检测函数。

最小最大检测函数使最大风险最小化。

　　寻找最小最大检测函数，是稳健性检测的决策准则。

7.2.3稳健性似然比检测

根据最小最大风险决策准则，寻找最不利分布对和最小最大检测函数。

对于Huber混合模型，如果最不利分布对存在，则对应的概率密度函数应尽可能接近，而应尽可能接近。

这样，我们可以采用如下最不利分布对，其概率密度函数为

（7.2.8）

其中，，且和是唯一的；

，而且和，和必须使具有概率密度函数的特性。

对于最不利分布，其似然比函数为

（7.2.9）

式中，。

设维观测矢量为，取最不利分布对为构成似然比检验，其相应的检验函数为

（7.2.10）

其中，是似然比函数；

为似然比检测门限。

马尔特因（Martin）等人证明了下述定理：

定理7.2.1：

在概率密度函数的条件下，如果足够小，（7.2.10）式所给出的似然比检验是Huber混合模型的最小最大检测函数，即

（7.2.11）

　　　（7.2.12）

例7.2.1均值为零，方差为的加性高斯噪声背景中接收标量常值信号的二元信号检测问题。

污染概率密度函数为。

设假设和假设下，信号满足胡倍尔（Huber）的混合模型，其中，标称的概率密度函数为

式中（常数）。

试设计该二元信号的稳健性检测器。

根据式（7.2.6）可知，似然比函数为

因为

取对数，得

所以对数似然比函数为

这样，对数似然比函数表示的检验统计量，可以化简为如下的等效检验统计量

　　　　　　　（7.2.13）

式中

可以看出，等效似然比检测器是一个限幅器。

7.2.3加性污染的高斯噪声中确定信号的稳健性检测

考虑N个相互统计独立的观测样本，在前面关于稳健性检测研究的基础上，当噪声的标称分布为高斯分布时，我们将得到信号稳健性检测的具体形式。

（1）高斯噪声的Huber混合模型

若二元信号检测的假设和假设分别为

（）（7.2.14）

其中,是确定信号；

N次观测样本是统计独立的。

在混合模型下，有

其中，标称分布为高斯分布，所以有

为了处理方便，已经将标称高斯分布进行了归一化处理，。

（2）稳健性性检测器

由信号的统计特性描述，根据最不利分布对的概率密度函数，有

（7.2.15）

根据定理7.2.1，观测矢量的稳健性检测函数为：

式中，似然比函数为

而

（7.2.16）

似然比函数的每个子式子分别受和制约；

是似然比检测门限。

定义限幅器的限幅特性为：

（7.2.17）

这样，稳健性检验的检测器可以表示为

（7.2.18）

（7.2.19）

对于，分别有：

　　　（7.2.20）

其中

，，，，

。

（3）若干讨论

①　检测器的结构

根据最佳检测判决表示式可以得到检测器的结构和主要特性。

判别式中的是相关－限幅器，其输出和检测门限比较，作出那个假设成立的判决。

图7.2.1相关-限幅检测器

结合判别式可以得到其限幅电平特性，上、下限幅电平分别为

（7.2.21）

所以，上、下限幅电平是随信号的大小时变的，但在相同下，是以为对称的。

②　趋于0时的检测

当时，　即可认为混合模型中基本不存在污染分布，为使（7.2.15）式的和构成概率密度函数，必有，，进一步可推出

，，于是，稳健性检测器变成了常规的相关检测器。

习题七

7.1在信号的序列检测中，若两个假设下的观测信号分别为

　　（）

其中和的均值为0，方差分别为和相互统计独立的高斯随机信号，且。

设，若已知，，试求结束试验所需的平均观测次数。

7.2二元假设为：

要求；

；

求序列的似然比检验所需的平均观测次数。

7.3二元假设为：

式中，是均值为零，方差为1的高斯白噪声序列。

且已知，规定。

试采用序列似然比检验，求终止判决所需的平均观测次数。

7.4在例7.2.1的混合模型二元信号检测中，对数似然比检验为

证明其等效检验统计量为

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