名校高中数学极值点的偏移考点例题详解.docx

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名校高中数学极值点的偏移考点例题详解

[名校]高中数学-极值点的偏移-考点例题详解

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数f（x）满足定义域内任意自变量x都有f（x）=f（2m-x），则函数f（x）关于直线x=m对称；可以理解为函数f（x）在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f（x）为单峰函数，则x=m必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若f（x）的两根的中点为（x1+x2）/2，则刚好有（x1+x2）/2=x0，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：

若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内x=m左侧的任意自变量都有f（x）f（2m-x），则函数f（x）极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数f（x）定义域内任意不同的实数x1,x2满足f（x1）=f（x2），则（x1+x2）/2与极值点m必有确定的大小关系：

若m<（x1+x2）/2，则称为极值点左偏；若m>（x1+x2）/2，则称为极值点右偏.[KS5UK

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1.若函数存在两个不同的零点x1,x2，且满足f（x1）=f（x2）求证：

x1+x2>2x0（为函数的极值点）；

2.若函数存在两个不同的零点x1,x2满足f（x1）=f（x2），求证：

x1+x2>2x0为函数的极值点）；

3.若函数存在两个不同的零点x1,x2，令（x1+x2）/2=x0 ，求证：

f‘（x）>0；

4.若函数存在两个不同的零点x1,x2，令（x1+x2）/2=x0 ，求证：

f‘（x）>0.

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数y=f（x），在区间（a，b）上只有一个极大（小）值点x0，方程f（x）=0的解分别为x1，x2，且a

（1）若f（x1））x0，即函数y=f（x）在区间（x1，x2）上极（小）大值点x0右（左）偏；

（2）若f（x1）>f（2x0-x2），则（x1+x2）/2<（>）x0，即函数y=f（x）在区间（x1，x2）上极（小）大值点x0右（左）偏.

证明：

（1）因为对于可导函数y=f（x），在区间（a，b）只有一个极大（小）值点x0，则函数f（x）的单调递增（减）区间为（a，x0），单调递减（增）区间为（x0,b），由于a）（2x0-x2），所以（x1+x2）/2<（>）x0，即函数极（小）大值点x0右（左）偏；

（2）证明略.

二、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

（1）求出函数f（x）的极值点x0；

（2）构造一元差函数F（x）=f（x0+x）-f（x0-x）；

（3）确定函数F（x）的单调性；

（4）结合F（0）=0，判断的符号，从而确定f（x0+x）、f（x0-x）的大小关系.

口诀：

极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

三、对点详析，利器显锋芒

四、招式演练