培优训练之《直线与圆的位置关系切线》专题精编版.docx
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培优训练之《直线与圆的位置关系切线》专题精编版
《直线与圆的位置关系、切线》
培优训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2013•杨浦区二模）⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，如果圆心到直线l的距离为d，那么d与R的大小关系是（ B ）
A．
d≥R
B．
d≤R
C．
d＞R
D．
d＜R
考点：
直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可．
解答：
解：
∵直线l与⊙O有公共点，
∴直线与圆相切或相交，即d≤R．
故选B．
点评：
本题考查的是直线与圆的位置关系，即判断直线和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时，直线l和⊙O相交；当d=r时，直线l和⊙O相切；当d＞r时，直线l和⊙O相离．
2．（2014•嘉定区一模）已知⊙O的半径长为2cm，如果直线l上有一点P满足PO=2cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（ D ）
A．
相切
B．
相交
C．
相离或相切
D．
相切或相交
考点：
直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
分析：
根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：
①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．
解答：
解：
当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
点评：
本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
3．（2013•宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是（ D）
A．
r＞4
B．
0＜r＜6
C．
4≤r＜6
D．
4＜r＜6
考点：
直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
根据题意可知，本题其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围，根据相离时半径小于圆心到直线的距离，相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围．
解答：
解：
根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=﹣1，
若以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，
那么该圆与直线y=﹣1必须是相交的关系，与直线y=1必须是相离的关系，
所以r的取值范围是|﹣5|﹣|﹣1|＜r＜|﹣5|+1，
即4＜r＜6．
故选D．
点评：
解决本题要认真分析题意，理清其中的数量关系．看似求半径与x轴之间的关系，其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围．
4．（2014•张家港市模拟）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE=2
，AC=3
，BC=6，则⊙O的半径是（D ）
A．
3
B．
4
C．
4
D．
2
考点：
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；射影定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
延长EC交圆于点F，连接DF．则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．根据射影定理先求直径，再得半径．
解答：
解：
延长EC交圆于点F，连接DF．
则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴
．则DE=4．
在直角△ADF中，根据射影定理，得
EF=
=4
．
根据勾股定理，得DF=
=4
，
则圆的半径是2
．
故选D．
点评：
此题要能够通过作辅助线，把直径构造到直角三角形中．熟练运用相似三角形的性质、圆周角定理的推论以及射影定理和勾股定理．
5．（2013•青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ C）
A．
r＜6
B．
r=6
C．
r＞6
D．
r≥6
考点：
直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
解答：
解：
∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=6，
∴r＞6．
故选C．
点评：
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交⇔d＜r
6．（2013•徐汇区二模）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是（ B）
A．
相离
B．
相切
C．
相交
D．
无法确定
考点：
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分析：
过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD，和⊙B的半径比较，即可得出答案．
解答：
解：
过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAB=30°，
∴BD=
AB=
×2=1，
即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，
∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，
故选B．
点评：
本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查学生的推理能力．
7．（2014•天津）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ C）
A．
20°
B．
25°
C．
40°
D．
50°
考点：
切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
解答：
解：
如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°，
∴∠AOC=50°，
∴∠C=40°．
故选：
C．
点评：
本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
8．（2014•无锡）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：
①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（A ）
A．
3
B．
2
C．
1
D．
0
考点：
切线的性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
连接OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A=30°，可以得出∠ABD=60°，△ODB是等边三角形，∠C=∠BDC=30°，再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立．
解答：
解：
如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．
∴∠C=∠BDC=30°，
∴BD=BC，②成立；
∴AB=2BC，③成立；
∴∠A=∠C，
∴DA=DC，①成立；
综上所述，①②③均成立，
故答案选：
A．
点评：
本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数是解题的关键．
9．（2014•眉山）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（D ）
A．
25°
B．
30°
C．
35°
D．
40°
考点：
切线的性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
连接OC，根据切线的性质求出∠OCD=90°，再由圆周角定理求出∠COD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解答：
解：
连接OC，
∵CD是⊙O的切线，点C是切点，
∴∠OCD=90°．
∵∠BAC=25°，
∴∠COD=50°，
∴∠D=180°﹣90°﹣50°=40°．
故选：
D．
点评：
本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．
10．（2014•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=
（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（C）
A．
（2，2）
B．
（2，3）
C．
（3，2）
D．
（4，
）
考点：
切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
专题：
数形结合．
分析：
把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式，根据⊙B与y轴相切，即可求得⊙B的半径，则⊙A的半径即可求得，即得到B的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．
解答：
解：
把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：
k=6，
则函数的解析式是：
y=
，
∵B的坐标为（1，6），⊙B与y轴相切，
∴⊙B的半径是1，
则⊙A是2，
把y=2代入y=
得：
x=3，
则A的坐标是（3，2）．
故选：
C．
点评：
本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及斜线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径．
11．（2014•海口一模）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结BC．若∠P=36°，则∠B等于（A）
A．
27°
B．
30°
C．
36°
D．
54°
考点：
切线的性质．菁优网版权所有
分析：
由AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∠P=36°，可求得∠POA的度数，又由圆周角定理，可求得∠B的度数，根据等边对等角的性质，即可求得答案．
解答：
解：
∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
即∠PAO=90°，
∵∠P=36°，
∴∠POA=90°﹣∠P=54°，
∠B=
∠POA=27°，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B=27°．
故选A．
点评：
本题考查了切线的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意掌握数形结合思想的应用是解答本题的关键．
12．（2014•内江）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（B）
A．
2.5
B．
1.6
C．
1.5
D．
1
考点：
切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
连接OD、OE，先设AD=x，再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，从而得出CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x），可证明△AOD∽OBE，再由比例式得出AD的长即可．
解答：
解：
连接OD、OE，
设AD=x，
∵半圆分别与AC、BC相切，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴OD=CE，OE=CD，
又∵OD=OE，
∴CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x）=x+2，
∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠A=∠BOE，
∴△AOD∽OBE，
∴
=
，
∴
=
，
解得x=1.6，
故选：
B．
点评：
本题考查了切线的性质．相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题．
二．填空题（共5小题）
13、（2014•西宁）⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为 4 ．
考点：
直线与圆的位置关系；根的判别式．菁优网版权所有
专题：
判别式法．
分析：
先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△=0即可求出m的值．
解答：
解：
∵d、R是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，
∴d=R，
∴方程有两个相等的实根，
∴△=16﹣4m=0，
解得，m=4，
故答案为：
4．
点评：
本题考查的是切线的性质及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．
14、．（2014•雅安）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+
与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 相切 ．
考点：
直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
首先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后求得原点到直线的距离，利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系求解．
解答：
解：
令y=x+
=0，解得：
x=﹣
，
令x=0，解得：
y=
，
所以直线y=x+
与x轴交于点（﹣
，0），与y轴交于点（0，
），
设圆心到直线y=x+
的距离为d，
则d=
=1，
∵圆的半径r=1，
∴d=r，
∴直线y=x+
与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，
故答案为：
相切．
点评：
本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形的性质，属于基础题，比较简单．
15、．（2014•松江区三模）已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D、E分别是AB、AC的中点，那么以点D为圆心，DE为半径的圆与直线BC的位置关系是 相离 ．
考点：
直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
分析：
过点A作AF⊥BC于点F，根据勾股定理求出AF的长，再由点D、E分别是AB、AC的中点得出DE是△ABC的中位线，故可得出DE即GF的长，由此可得出结论．
解答：
解：
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC=13，BC=10，
∴BF=
BC=5，
∴AF=
=
=12．
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=
BC=5，GF=
AF=6，
∵5＜6，
∴⊙D与直线BC的位置关系是相离．
故答案为：
相离．
点评：
考查了等腰三角形的性质和勾股定理，三角形的面积，解题的关键是得到点D到直线AC的距离．
16、（2012•路北区一模）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为4cm，若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，则AB的取值范围是 6＜AB≤10 ．
考点：
直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
分析：
此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=2
=6．则若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交，此时AB＞6；又大圆最长的弦是直径10，则6＜AB≤10．
解答：
解：
当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5cm，小圆的半径为4cm，
∴AB=2
=6cm．
∵大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交，
∴6＜AB≤10．
点评：
此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析相交时的弦长．综合运用了切线的性质、勾股定理和垂径定理．
17．（2014•自贡）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 3 cm．
考点：
切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的
倍．已知边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为
，即OC=
，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
解答：
解：
连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
且△ABC为等边三角形，边长为4，
故高为2
，即OC=
，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=OC•cos30°=
，
OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE=2FC=3．
故答案为：
3．
点评：
本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识．题目不是太难，属于基础性题目．
三．解答题（共2小题）
18、（2014•犍为县一模）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：
AO=6：
5，BC=2，求BD的长．
考点：
直线与圆的位置关系；直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
（1）结论：
BD是圆的切线，已知此线过圆O上点D，连接圆心O和点D（即为半径），再证垂直即可；
（2）通过作辅助线，根据已知条件求出∠CBD的度数，在Rt△BCD中求解即可．
解答：
解：
（1）直线BD与⊙O相切．（1分）
证明：
如图，连接OD．
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直线BD与⊙O相切．（2分）
（2）解法一：
如图，连接DE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°
∵AD：
AO=6：
5
∴cosA=AD：
AE=3：
5（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
cos∠CBD=BC：
BD=3：
5（4分）
∵BC=2，BD=
；
解法二：
如图，过点O作OH⊥AD于点H．
∴AH=DH=
AD
∵AD：
AO=6：
5
∴cosA=AH：
AO=3：
5（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cos∠CBD=BC：
BD=3：
5，
∵BC=2，
∴BD=
．
点评：
本题考查了直线和圆的位置关系、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质．
19．（2014•贵阳）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．
（1）
所对的圆心角∠AOB= 120° ；
（2）求证：
PA=PB；
（3）若OA=3，求阴影部分的面积．
考点：
切线的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
专题：
几何综合题．
分析：
（1）根据切线的性质可以证得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和定理求解；
（2）证明直角△OAP≌直角△OBP，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
（3）首先求得△OPA的面积，即求得四边形OAPB的面积，然后求得扇形OAB的面积，即可求得阴影部分的面积．
解答：
（1）解：
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°；
（2）证明：
连接OP．
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB；
（3）解：
∵Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴∠OPA=∠OPB=
∠APB=30°，
在Rt△OAP中，OA=3，
∴AP=3
，
∴S△OPA=
×3×3
=
，
∴S阴影=2×
﹣
=9
﹣3π．
点评：
本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
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