直线与圆锥曲线专题强化训练.docx

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直线与圆锥曲线专题强化训练

直线与圆锥曲线专题强化训练

一、选择题

1.过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（　　）

A.有且只有一条B.有且只有两条

C.有且只有三条D.有且只有四条

2.直线y＝x＋3与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（　　）

A.1B.2C.1或2D.0

3.经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于（　　）

A.－3B.－

C.－或－3D.±

4.抛物线y＝x2到直线x－y－2＝0的最短距离为（　　）

A.B.C.2D.

5.已知A，B，P是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为（　　）

A.B.C.D.

二、填空题

6.已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________.

7.已知抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________.

8.过椭圆＋＝1内一点P（3，1），且被这点平分的弦所在直线的方程是________.

三、解答题

9.设F1，F2分别是椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

（1）求E的离心率；

（2）设点P（0，－1）满足|PA|＝|PB|，求E的方程.

10.已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的一个顶点为A（2，0），离心率为.直线y＝k（x－1）与椭圆C交于不同的两点M，N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）当△AMN的面积为时，求k的值.

11.已知椭圆＋＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是（　　）

A.1B.C.D.

12.抛物线C1：

y＝x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：

－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（　　）

A.B.C.D.

13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.

14.已知抛物线C：

y2＝2px（p>0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

直线与圆锥曲线专题强化训练答案

一、选择题

1.过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（　　）

A.有且只有一条B.有且只有两条

C.有且只有三条D.有且只有四条

解析　∵通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条.

答案　B

2.直线y＝x＋3与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（　　）

A.1B.2C.1或2D.0

解析　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点.

答案　A

3.经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于（　　）

A.－3B.－

C.－或－3D.±

解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点（1，0）时，其方程为y－0＝tan45°（x－1），即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为（0，－1），，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.

答案　B

4.抛物线y＝x2到直线x－y－2＝0的最短距离为（　　）

A.B.C.2D.

解析　设抛物线上一点的坐标为（x，y），则d＝＝＝，∴x＝时，dmin＝.

答案　B

5.已知A，B，P是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为（　　）

A.B.C.D.

解析　设A（x1，y1），P（x2，y2）根据对称性，得B点坐标为

（－x1，－y1），因为A，P在双曲线上，

所以两式相减，得kPAkPB＝＝，

所以e2＝＝，故e＝.

答案　D

二、填空题

6.已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________.

解析　由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.

答案　＋＝1

7.已知抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________.

解析　由题设知p＝＝2，∴a＝.

抛物线方程为y＝x2，焦点为F（0，1），准线为y＝－1.

联立消去x，

整理得y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，∵直线过焦点F，

∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8.

答案　8

8.过椭圆＋＝1内一点P（3，1），且被这点平分的弦所在直线的方程是________.

解析　设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

由于A，B两点均在椭圆上，

故＋＝1，＋＝1，

两式相减得

＋＝0.

又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，

∴kAB＝＝－.

∴直线AB的方程为y－1＝－（x－3）.

即3x＋4y－13＝0.

答案　3x＋4y－13＝0

三、解答题

9.设F1，F2分别是椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

（1）求E的离心率；

（2）设点P（0，－1）满足|PA|＝|PB|，求E的方程.

解　

（1）由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，

l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得（a2＋b2）x2＋2a2cx＋a2（c2－b2）＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2，

所以E的离心率e＝＝＝.

（2）设AB的中点为N（x0，y0），由

（1）知

x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.

由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，

得c＝3，从而a＝3，b＝3.

故椭圆E的方程为＋＝1.

10.

已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的一个顶点为A（2，0），离心率为.直线y＝k（x－1）与椭圆C交于不同的两点M，N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）当△AMN的面积为时，求k的值.

解　

（1）由题意得

解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）由得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－4＝0.

设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1），

x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝

＝

＝

又因为点A（2，0）到直线y＝k（x－1）的距离d＝，

所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，解得k＝±1.

11.已知椭圆＋＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是（　　）

A.1B.C.D.

解析　由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2，由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－（|AF2|＋|BF2|）≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.

答案　D

12.抛物线C1：

y＝x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：

－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（　　）

A.B.C.D.

解析　∵双曲线C2：

－y2＝1，

∴右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x.

抛物线C1：

y＝x2（p＞0），焦点为F′.

设M（x0，y0），则y0＝x.

∵kMF′＝kFF′，∴＝.①

又∵y′＝x，∴y′|x＝x0＝x0＝.②

由①②得p＝.

答案　D

13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.

解析　直线AF的方程为y＝－（x－2），联立得y＝4，所以P（6，4）.

由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.

答案　8

14.已知抛物线C：

y2＝2px（p>0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

解　

（1）设Q（x0，4），代入y2＝2px得x0＝.

所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.

由题设得＋＝×，

解得p＝－2（舍去）或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.

（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1（m≠0）.

代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

故AB的中点为D（2m2＋1，2m），|AB|＝|y1－y2|＝4（m2＋1）.

又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.

将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4（2m2＋3）＝0.

设M（x3，y3），N（x4，y4），则y3＋y4＝－，

y3y4＝－4（2m2＋3）.

故MN的中点为E，

|MN|＝|y3－y4|＝.

由于MN垂直平分AB，

故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，

即4（m2＋1）2＋＋＝.

化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.

所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.