初中 数学 所有 公式 定义 性质 定理教材.docx

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初中数学所有公式定义性质定理教材

初中数学所有公式定义性质定理

第2章（七年级上）有理数

2.1有理数

负数

正数

正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。

有理数集。

整数集。

负数集。

非负整数集（自然数集）。

2.2数轴

原点

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数都大于零，负数都小于零，正数都大于负数。

2.3相反数

只有正负号不同的两个数称互为相反数。

在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。

零的相反数是零。

2.4绝对值

我们把在数轴上表示数a与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。

1.一个正数的绝对值是它本身；

2.零的绝对值是零；

3.一个负数的绝对值是它的相反数。

2.5有理数的大小比较

在数轴上，表示两个负数的两个点中，与原点距离较远的那个点在左边，也就是绝对值大的点在左边。

所以，两个负数，绝对值大的反而小。

2.6有理数的加法

有理数加法法则：

1.同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加；

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3.互为相反数的两个数相加得零；

4.一个数与零相加，仍得这个数。

有理数的加法仍满足交换律和结合律。

加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a+b=b+a.

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

（a+b）+c=a+（b+c）.

2.7有理数的减法

有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2.8有理数的加减混合运算

2.9有理数的乘法

有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

任何数与零相乘，都得零。

有理数的乘法仍满足交换律与结合律。

乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

ab=ba.

乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

（ab）c=a（bc）.

几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。

几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

有理数的运算仍满足分配律。

分配律：

一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。

a（b+c）=ab+ac.

2.10有理数的除法

对于有理数仍然有：

乘积是1的两个数互为倒数。

除以一个数等于乘以这个数的倒数。

零不能作除数。

有理数除法法则：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不等于零的数，都得零。

2.11有理数的乘方

求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在中，a叫做底数，n叫做指数,读作a的n次方，看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。

根据有理数乘法法则，有：

正数的任何次幂都是正数；

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

2.12科学计数法

一个大于10的数就记成a的形式，其中，n是正整数。

像这样的计数法叫做科学计数法。

2.13有理数的混合运算

有理数的混合运算，应按以下顺序进行：

1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；

2.同级运算，按照从左至右的顺序进行；

3.如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。

2.14近似数

一个与实际……非常接近的数，成为近似数。

如果结果只取整数，就叫做精确到个位；

如果结果取1位小数，就叫做精确是十分位（或精确到0.1）；

如果结果取2位小数，就叫做精确到百分位（或精确到0.01）；……

2.15用计算器进行计算

第3章整式的加减

3.1列代数式

常见图形的面积

长方形S=ab；正方形S=；三角形S=;平行四边形S=ah；梯形S=；圆S=。

用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了。

（1）式子中出现的乘号，通常写作“”或省略不写，如常写作或5n；

（2）数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面，如5n一般不写成n5；

（3）除法运算写成分数形式；如1500t通常写作（t≠0）。

由数字和字母用运算符号连接所成的式子，成为代数式。

单独一个数或一个字母也是代数式。

在解决实际问题时，常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。

偶数2n，奇数2n+1（n为整数）。

3.2代数式的值

用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。

3.3整式

由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

单独一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

几个单项式的和叫做多项式。

期中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

单项式与多项式统称整式。

把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列。

把多项式按x的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多形式按字母x的降幂排列。

若按x的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多形式按字母x的升幂排列。

3.4整式的加减

所含字母相同，并且形同字母的指数也相等的项叫做同类项。

所有的常数项都是同类项。

合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

去括号法则：

括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；

括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变正负号。

添括号法则：

所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变正负号；

所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变正负号。

去括号和合并同类项是整式加减的基础。

整式加减运算的一般步骤是：

先去括号，再合并同类项。

第4章图形的初步认识

4.1生活中的立体图形

立柱

锥体

球体

棱柱

圆柱

圆锥

棱锥

多面体

4.2立体图形的视图

视图来自于投影。

从正面得到的投影，成为主视图；从上面得到的投影，称为俯视图；从侧面得到的投影，称为侧视图，依投影方向不同，有左视图和右视图。

通常把主视图、俯视图与左（或右）视图称做一个物体的三视图。

4.3立体图形的表面展开图

4.4平面图形

圆是由曲线围成的封闭图形，而其他线段围成的封闭图形叫做多边形。

4.5最基本的图形——点和线

线段

长方体两个相邻的面交于一条线段，这条线段称为棱；两条相接的棱交于一个点，这个点称为顶点。

两点之间，线段最短。

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

即两点确定一条直线。

4.6角

角是由两条有公共端点的射线组成的图形。

绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；

绕着端点旋转到终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角。

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。

两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。

两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。

第5章相交线与平行线

5.1相交线

两条直线相交，只有一个交点。

对顶角。

对顶角相等。

直线AB、CD互相垂直，记作，它们的交点O叫做垂足。

把其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

AB与直线l垂直，点B为垂足。

点A与直线l上各点的距离长短不一，最短的是线段AB,线段AB叫做点A到直线l的垂线段。

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

处于直线l的同一侧，且分别在直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。

处于直线l的不同侧，直线a、b的不同方，这样位置的一对角就是内错角。

处于直线l的同一侧，直线a、b的不同方，这样位置的一对角就是同旁内角。

5.2平行线

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

直线a与直线b互相平行，记作。

过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的判定：

1.同位角相等，两直线平行。

2.内错角相等，两直线平行。

3.同旁内角互补，两直线平行。

在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。

平行线的性质：

1.两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

简单地说，就是两直线平行，同位角相等。

2.两条直线被第三条直线所截，内错角相等。

简单地说，就是两直线平行，内错角相等。

3.两直线平行，同旁内角互补。

第6章（七年级下）一元一次方程

6.1从实际问题到方程

6.2解一元一次方程

等式的基本性质：

1.等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c。

2.等式都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。

如果a=b,那么ac=bc,a/c=b/c（c≠0）。

由等式的性质，可以得到方程的变性规则：

1.方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；

2.方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变。

将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，像这样的变形叫做移项。

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程。

6.3实践与探索

第7章一次方程组

7.1二元一次方程组和它的解

有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

把这样的两个方程合在一起，就组成了二元一次方程组。

7.2二元一次方程组的解法

通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法，简称代入法。

通过将两个方程的两边分别相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做加减消元法，简称加减法。

*7.3三元一次方程组及其解法

7.4实践与探索

第8章一元一次不等式

8.1认识不等式

用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式。

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

8.2解一元一次不等式

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。

不等式的性质1如果a>b,那么a+c>a+b,a-c>b-c。

这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的性质2如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,a/c>b/c.

不等式的性质3如果a>b,并且c<0,那么ac

8.3一元一次不等式组

第9章多边形

9.1三角形

三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。

三角形可以按角来分类：

所有内角都是锐角——锐角三角形；

有一个内角是直角——直角三角形；

有一个内角是钝角——钝角三角形。

把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等要三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）。

三角形的三条中线、三条角平分线和三条高（或所在直线）分别橡胶；

直角三角形三条高的交点就是直角顶点；

钝角三角形有两条高位于三角形的外部。

三角形的内角和等于。

直角三角形的两个锐角互余。

三角形的外角有两条性质：

1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

三角形的外角和等于。

三角形的任何两边的和大于第三边。

三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

9.2多边形的内角和与外角和

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形。

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

n边形的内角和为（n-2）*。

任意多边形的外角和都为。

9.3用正多边形铺设地面

第10章轴对称、平移与旋转

10.1轴对称

把图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，即为轴对称图形，这条直线即为这个图形的对称轴。

把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。

轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。

直线CD是线段AB的对称轴，它垂直于线段AB，又平分线段AB，把这样垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。

复杂的轴对称图形的对称轴的画法：

先找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点，得到一条线段。

再画出这条线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。

如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就会该图形的对称轴。

10.2平移

平面图形在它所在的平面上的平行移动，简称为平移。

平移后的图形与原来图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状与大小不变。

平移后对应点所连的线段平行并且相等。

10.3旋转

绕悬挂点在一个平面上转动，这样的运动，就叫做旋转，这一悬挂点就叫做旋转的旋转中心。

旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定。

图形旋转的特征：

图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段想等，对应角相等，图形的形状与大小不变。

旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形。

10.4中心对称

一个图形绕着中心旋转后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心。

把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。

在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。

反过来，如果两个图形的所有对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称。

10.5图形的全等

通过轴对称、平移和旋转这些图形的变换，把两个图形叠合在一起，观察它们是否完全重合。

能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

全等多边形。

两个全等的多边形，经过变换而重合，互相重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

全等多边形的对应边相等，对应角相等。

边、角分别对应相等的两个多边形称为全等多边形。

全等三角形的对应边、对应角分别相等。

如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

第11章（八年级上）数的开方

11.1平方根与立方根

如果一个数的平等等于a，那么这个数叫做a的平方根。

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即。

因此正数a的平方根可以记作，其中a称为被开方数。

因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个（就是0），也叫作0的算术平方根，记作。

即有。

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。

任何数的立方根如果存在的话*，必定只有一个。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

11.2实数

无限不循环小数叫做无理数。

有理数和无理数统称实数。

第12章整式的乘除

12.1幂的运算

（m、n为正整数）。

（m、n为正整数）。

（n为正整数）。

这就是说，积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

一般地，设m、n为正整数，m>n,a≠0，有。

12.2整式的乘法

单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式乘以多项式的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

12.3乘法公式

两数和乘以这两数的差，这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：

。

两数和的平方：

。

两数差的平方公式：

。

末尾数字是5的两位数平方的速算法则：

末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25。

例如，计算75的平方。

因为7*8=56，所以75的平方=5625.可以应用两数和的平方公式来说明：

设一个两位数的个位数字是5，十位数字是n，则这个两位数等于10n+5，所以。

12.4整式的除法

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

12.5因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。

把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积了。

像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

将乘法公式反过来用，来进行因式分解的，这种因式分解的方法称为公式法。

第13章全等三角形

13.1命题、定理与证明

判断某一件事情的语句，像这样表示判断的语句叫做命题。

条件。

结论。

如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。

条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立，像这样的命题，称为假命题。

真命题：

两点确定一条直线；

两点之间，直线最短；

过一点有且只有有条直线与已知直线垂直；

过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

有些命题可以从基本事实或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。

演绎推理是研究数学的一个重要方法。

除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据。

13.2三角形全等的判定

判定三角形全等的一种简便方法：

基本事实两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

简记为S.A.S.（或边角边）。

判定三角形全等的又一种简便方法：

基本事实两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

简记为A.S.A.（或角边角）。

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

简记为A.A.S.（或角角边）。

判定三角形全等的第3种简便方法：

基本事实三边分别相等两个三角形全等。

简记为S.S.S.（或边边边）。

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

简记为H.L.（或斜边直角边）。

13.3等腰三角形

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形的性质：

等腰三角形的两底角相等。

（简写成“等边对等角”）

等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合。

（简称“三线合一”）

三条边都相等的三角形是等边三角形。

等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简写成“等角对等边”）。

等边三角形的两个判定定理：

三个角都相等的三角形是等边三角形；

有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。

13.4尺规作图

13.5逆命题与逆定理

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。

原命题正确，它的逆命题未必正确。

如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。

一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理。

线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

定理：

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明：

三角形三边的垂直平分线交于一点。

角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等。

定理：

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明：

三角形的三条角平分线交于一点。

第14章勾股定理

14.1勾股定理

对于任意的三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有。

这种关系称为勾股定理。

勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

对于直角三角形的判定，有一般的结论：

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角。

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

例如3、4、5,6、8、10,（n为大于1的正整数。

）

反证法，步骤为：

先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。

14.2勾股定理的应用

第15章数据的收集与表示

15.1数据的收集

用频数这个词来表示每个对象出现的次数，用频率这个词来表示每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）。

频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度。

15.2数据的表示

条形统计图、折线统计图和扇形统计图。

统计表可以清楚地将数据分门别类地列出来，当数据之间的关系比较复杂时，可以通过增加子栏目继续对数据进行分类统计。

条形统计图是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图，它可以直观地反应出数据的数量特征。

如果由两个研究对象，常常把这两个对象的相应数据并列表示在同一幅条形统计图中。

扇形统计图是用整个圆代表所研究的总体，用圆中各个扇形代表组成总体的各个部分，扇形圆心角的大小反映出各组成部分的数量在总数量中所占份额的大小。

折线统计图是用折现表示数量变化规律的统计图。

如果关注的是某种现象随时间变化而发生的变化，常常以时间为水平放置的数轴，以折线的起伏直观地反映出数量随时间所发生的相应变化。

第16章（八年级下）分式

16.1分式及其基本性质

形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子，叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

整式和分式统称有理式，即。

分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

分式的约分，即要求把分子和分母的公因式约去。

月份后，分子与分母不再有公因式。

分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。

分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。

通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。

16.2分式的运算