学年湖北省武汉市部分重点高中高一上学期期中联考数学试题.docx
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学年湖北省武汉市部分重点高中高一上学期期中联考数学试题
湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中
联考数学试题
（武汉一中，武汉三中，武汉六中，武汉十一中，武钢三中，管实脸）
一、选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要
求的.
2.集合A={目。
=12（2-工）卜8={y|y=2",x>0},则ACiB=（）
A.10,2]B.（l,2」C.[1,2JD.（l,+oo）
r答案」b.
AAAB=（L2]
3
.已知命题p：
Vx>0,总有（x+l）/>l,则命题p的否定为（）
『答案』B.
「解析」「〃：
丸>0,使得（4+1/Yl.
4.设〃=0.606,Z?
=0.612,c=1.2°6中，则°,b,c的大小关系是（）
A.a「答案」c.
「解析」0.6°6>0.612,：
.a>b
0.606<1<1,2（>\a5
.己知函数y=/（x）在（0,2）上是增函致，函数y=/（x+2）是偶函数，则下列结论正确的
（I）
6.己知函数/*）=2/一辰一8在F-2,1J上具有单调性，则实数上的取值范围是（）
A.A<-8B.住4C店-8或也4D.-8^<4
「答案」C.
I■解析」对称轴为x='4
4
②$21,，攵24
4
综上所述：
K・8或桂4.
D.
人.X—1r2
1解析」/（x）=
x+\
e+=e+1-——
两条渐近线为尸1和Al,排除A和B
当Xf8,呈指数增长，故选D.
&已知函数/（x）=x+l,g（x）=2"2l+a,若对任意为£13,4J,存在修£『31』,
使/（X）Ng（W）,则实数。
的取值范围是（）
A.4VYB.a<2c.a<3D,a<4
1答案」C.
।■解析」依题意只需/a温Ng（七濡当,£「3,4」，/（幻单增，则/*濡=八3）=4
当演千「31」,g（x）="T+a,即卜+2|取最小时,有g（X2）min
|x+2|e[0,3]
g@2）min=20+a=a+]
：
.a+\<4
：
.a<3.
二、选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得。
分，部分选对的得3分.
9.下列四个命题中不正确的是（）
Aj（x）=（；）在（一8,：
）上是单调递增函数
B.若函数f（x）=ax2+法+2与x辅没有交点，则〃2—8av0且。
X）
C.甯函数的图象都通过点（1,1）
D.y=1+x和y=J（]+x）2表示同一个函数
洛案」BD.
1Y
f（JV）=—
「解析」A.rv7\2）,根据同增异减，只需求，=/一工的递减区间t=x2-x
对称轴x=；，即f在（一单调递减，正确.
B.函数f（x）=ax2+bx+2与x轴无交点，a=0显然不成立，则只需△=从一8〃<0,且aWO即可，B错错误.
C.正确
D.y=J（l+»=|1+4解析式不同，D错误.
10.若函数/（x）同时满足：
①对于定义域上的任意x,恒有/*）+/（—x）=0；②/（x）在
定义域上单调递减，则称函数/1）对“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”
的有（）
2
A./（x）=-xB./（x）=炉
1f-x20
C./（x）=-Dj（x）=〈、
vr一x,x<0
*
I■答案」AD.
1解析」根据/（x）+/（f）=0得为奇函致，且在定义域递减一
A选项/（x）=-x,符合.
2
B选项/（x）=x§,是特函数，为偶函数，错误.
C选项/（X）=L在（-8,0）和（0,+8）递减，非（-8,0）U（0,收）递减，错误.X
D选项作图易知正确.
1L已知。
，b为正实数，则下列判断中正确的是（）
b+q）24Ba+b=2,则2"+2”的最小值为4
C.若a>b,虹」「答案」ABC.
I4
D.若a+b=\.则一+—的最小值是8
ab
「解析」A：
b>0,：
.a+->0,b+->0
a
：
.a+->2,当且仅当.=1，，a=laa
：
.b+->0.当且仅当方=1，，b=l正确
B.2a+2"22扬丁=4正确
C.当4>Z?
>0时，a2>b2>0,则0<」<与，正确crIr
i?
取等条件：
。
=上，b=-33
所以最小值为9,D错误.
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名
fl,x为有理数
的函数/（外=〈一皿称为狄利克雷函数，则关于/（X）下列说法正确的是（）
0，x为无理数
a.函致/（X）的值域是ro,u
B.VxeR,/（/（x））=l
C.f（x+2）=f（x）对任意x£R恒成立
D.存在三个点A（再,/（再）），B（x2J（x2））,以07（石）），使得AX8C为等腰直角三角形
1答案」BC.
I•解析」A.值域为{0,1},错误.
B.当x为有理数时，/（x）=1,==\
当x为无理数时，/（x）=0,/（/W）=/（0）=0
则VeH,/（/（x））=l,正确.
C.x为有理数时：
x+2为有理数，/（x+2）=/'（x）=l
当X为无理数时，H2为无理数，/（x+2）=/*）=0
则/（x+2）=/（x）恒成立，正确.
D.若△一铝。
为等腰直角三角形，则囚―引=1，所以/a）=/（4），前后矛盾，错误.
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共如分.
13.已知事函数y=/（x）的图像过点（2,2）,则这个函数的解析式为/（x）=.
1
「答案」
r解析」设/（x）=K,带入点（2,72）,则&=2"，解得。
=：
2
1
则/*）=♦
a\x>1
14.若函数/（x）=0]是R上的增函数，则实数a的取值范围为
4--Lv+2,x<1
I2）
1答案」676（4,8].
「解析」是R上的增函数，则
a>\
题中满足,4—£>0解得〃£（4,8].
4--+2<«
2
15.定义在R上的偶函数/（x）满足：
对任意的看，々£（-8,0J（玉工々），有‘（工1<0,且月2）=0,则不等式f（x）<0的解集是.
1答案」r-2,2j.
I'解析」•.•对V为，/£（-8，0J（寸々）
有/（七）/1；）<0
，/（X）在（-8,0J上单调递增，且f
（2）=o,由图像可知『-2,2J
16.函数/&）=以2-2020大+2021（40）,在区间fM，r+lJQ£R）上函数/（x）的最大值
为河，最小值为M当，取任意实数时，M-N的最小值为2,则°=.
「答案」a=2.
「解析」—2021（々>0）对称轴x="
a
要使加-n最小，r-1与什1必关于对称轴对称所以，=319①
a
/（r+1）+/（/）=2
a（t+1尸一2020（/+1）+2021-+2020/-2021
=2at+a—2020=2②
联立得2X1010+“-2020=2
/•4=2
四、解答题：
本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知集合,4={x|烂-3或后2},B={x\l（1）求KCIB,（CrJ）U5：
（2）若C=C,求实数的取值范围.
解：
（lMnB={x|2Cr>4={x|-3J）UB={x|-3:
.CqB5分
①当C=0时，/.mA>2m即w<-l7分
m-1<2m
②当Cw0时，1>1
2m<5
工22
综上所述：
州的取值范围是（-8,-1）U（2,-J10分.
2
18.（本小题满分12分）已知命题p：
实数x满足2-4'-5-2'+230,命题q：
实数x满足
A2一（2m+l）x+m[m+1）>0.
（1）求命题P为真命题，求实数X的取值范围；
（2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数巾的收值范围.
解：
（1）由命题p为真命题，知2・4'-5・2'+220,可化为
（2r-2）（2-2x-l）>02分
解得2、或2、之2,所以实数x的取值范围是{冲或忘1}4分
（2）命题q：
由/一⑵〃+V）x+m（m+1）>01
得（x-m）[x-（m+l）]>0,解得x<7M或X初》+18分
设A={x[x<-1或X>1}|B={x[x<7?
；或x>w+l}
因为q是p必要不充分条件，所以A（zB9分
/?
?
>-!
,
解得七〃吆0,
/77+1<1.
所以实致加的取值范围为f-1,0J12分
19.（本小题满分12分）已知二次函数/（x）=x2-2（a-l）x+4.
（1）若/（%）为偶函数,求/（X）在口,3」上的值域：
⑵当[1,2J时，/（x）>or恒成立，求实数。
的取值范围.
解：
（1）根据题意，函数/（工）=/一2（。
一1八+4,为二次函数，其对称轴为工=。
-1.
若/（x）为偶函数，则4—1=0,解可得。
=12分
则/（x）=/+4,又由-10烂3,则有4。
13
即函数/（x）的值域为[4,13J.6分
（2）由题意知11,2J时，/'（x）>ar恒成立，即
x2-（3«-2）x+4>07分
v2+4
方法一：
所以3。
-2〈二二恒成立8分
x
因为n,2J,所以二=x+332，夕3=4,当且仅当x=3,即尸2时等号成立.XX\XX
所以3。
一2<4,解得"2,所以。
的取值范围是（-8,2）12分
方法二：
令g（x）=/一（3a-2）x+4,
所以只需g（X）mm>0,对称轴为工==匚
2
3a-2474
当一^—41,即二时，g（x）mm=g6=7—3〃>。
解得。
<不，故。
8分
当1（容<2,即［<"<2时，g（x）而n=g（¥）=4—
LJ\乙）Q
24
解得一二va<2,故_<。
<210分
33
3a-2
当）22,即。
22，g（x）min=g
（2）=12-6〃>0乙
解得。
<2,舍去12分
绦上所述，a的取值范围是（-8,2）.
20.（本小题满分12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碱转化为某种化工产品，经测算，该处理成本》（单位：
万元）与处理量x（单位：
吨）之间的函数关系可近似表示为丁=/-40x+1600（30分W50）,已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.
（1）判断该技术改进能否获利?
如果能获利，求出最大利润：
如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
解：
（1）当工£130,50J时，设该工厂获利S,
则S=20%—（丁-40x+l600）=-（x-3O）2-7002分
所以当F30.50J时，SWiW=-700<04分
因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损.5分
（2）由题易知，二氧化碳的平均处理成本
p（x）=l=x+!
^22-4O（xe『30,50）7分
xx
当『30,50J时，
P（x）=x+-—40N2p^-40=4。
1。
分
当且仅当工=理，即i=40时等号成立，x
故尸（X）取得最小值为P（40>40
所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少.12分
一3"+1
21.（本小题满分12分）已知函数/（X）=—一.I
⑴判断了（X）的奇偶性：
（2）判断函数/（x）的单调性，并用定义证明：
⑶若不等式/（3。
1）+/（h3川+3攵）>0在区间『0,+oo）上有解,求实数左的取值范围.
-3x+11-31
解：
（1）・.・/"）="一=——,定义域为R,关于原点对称，1分
3*33（1+3））
又f（—x）=
1_3T_31（1一3-工）_3r-l
3（1+）-3x3”（1+3T）-3（3、+1）
=_/0）
一3'+1
因此，函数=为奇函数:
⑵/⑶=5^=2]；；））=1y一；'
任取为、&£R且』v超,贝iJ/（N）-/（%）=
222（2与-2人）
3（1+2&）-3（1+20）-3（1+2%）（1+2七）
211r21
3（3Xl+l）-3―3（30+1）-8
：
西，20一2">0，1+24>0，1+2%>0
"（%）一/32）>。
，即）>/（^2）
一3"+1
因此，函数/（外=不匚-在R上为减函数8分
（3）V函数y=f（x）为R上的奇函数,
由/（3工一1）+/（攵・3]7+3〃）>0可得/（女・39+3%）>—/（3"—1）=/（1一3"）
又由于函数y=/（x）为R上的减函数，
...攵・32+3攵<1一3'10分.
l-3r
工k<——=f（x）
3川+3八
由题意知，存在XV10,+8）,使得％
一3'+1
因为函数/（%）=*!
」在F0,+8）上为减函数，则/（X）g、=/（0）=0I
・・・&<0
因此，实数上的取值范围是（0,+oo）.12分
9
22.（本小题满分12分）己知函数/（、）=k一4一—+a,a£R.
（1）若。
=0,试判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数/*）在门，a\上单调，且对任意［1,al,/（x）<一2恒成立，求。
的取值
范围；
（3）着［1,6J,当。
6（3,6）时，求函数/（x）的最大值的表达式M3〉
9
解：
⑴当。
=0时，f（x）=\x-a\--,为非奇非偶函数.2分
（2）当xe［l,a］时，f（x）=—xf2.（i
因为函数/（X）在［1,可上单调，所以3分
此时/（x）在［1,力上单调递增，=+a
由题意：
/“）2=-2+〃〈一2恒成立，即/+加一9<0.a
所以一加一1<。
<加一1.5分
9"9、
（也可以用参数分离：
/。
）=一工——+2av-2,即a<—x+—-1,右边最小值为
所以。
的取值范围为1＜。
＜M—1）
9一工一一+
（3）当工£[1,6]时,fM=<
x
工一一，。
e
x
9
又nw（3,6）,由上式知，/（x）在区间（。
6］单调递增,当nw（3,6）时，/"）在『1,3）上单调递增，在13,al上单调递减.
所以，/（X）在门，3）上单调递增，在13,4」上单调递减，（a,6J上单调递增.10分
21
则/（X）max=max（/⑶,/（6））=
9]max2a-6,一=
2）
2"一6,。
£—,6
14
12分
宗上所述，函数/（X）的最大值的表达式为：
/（〃）=
2。
一6,。
£—,64
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