考研数学一真题及答案解析.doc

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2017年考研数学一真题及答案解析

跨考教育数学教研室

一、选择题：

1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）若函数在处连续，则（）

【答案】A

【解析】在处连续选A.

（2）设函数可导，且，则（）

【答案】C

【解析】或，只有C选项满足且满足，所以选C。

（3）函数在点处沿向量的方向导数为（）

【答案】D

【解析】

选D.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：

m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：

），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：

s），则（）

【答案】B

【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则

，当时满足，故选C.

（5）设是维单位列向量，为阶单位矩阵，则（）

【答案】A

【解析】选项A,由得有非零解，故。

即不可逆。

选项B,由得的特征值为n-1个0，1.故的特征值为n-1个1，2.故可逆。

其它选项类似理解。

（6）设矩阵,则（）

【答案】B

【解析】由可知A的特征值为2,2,1

因为，∴A可相似对角化，且

由可知B特征值为2,2,1.

因为，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，

∴，且B不相似于C

（7）设为随机概率，若，则的充分必要条件是（）

【答案】A

【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。

（8）设为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）

【答案】B

【解析】

由于找不正确的结论，故B符合题意。

二、填空题：

9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）已知函数，则=__________

【答案】

【解析】

（10）微分方程的通解为_________

【答案】，（为任意常数）

【解析】齐次特征方程为

故通解为

（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则

__________

【答案】

【解析】由积分与路径无关知

（12）幂级数在区间内的和函数________

【答案】

【解析】

（13）设矩阵，为线性无关的3维列向量组，则向量组的秩为_________　　　　

【答案】2

【解析】由线性无关，可知矩阵可逆，故

再由得

（14）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则_________

【答案】2

【解析】，故

。

令，则=

因此.

三、解答题：

15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

设函数具有2阶连续偏导数，，求，

【答案】

【解析】

结论：

（16）（本题满分10分）求

【答案】

【解析】

（17）（本题满分10分）

已知函数由方程确定，求的极值

【答案】极大值为，极小值为

【解析】

两边求导得：

（1）

令得

对

（1）式两边关于x求导得

（2）

将代入原题给的等式中，得，

将代入

（2）得

将代入

（2）得

故为极大值点，；为极小值点，

（18）（本题满分10分）

设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：

方程在区间内至少存在一个实根；

方程在区间内至少存在两个不同实根。

【答案】

【解析】

（I）二阶导数，

解：

1）由于，根据极限的保号性得

有，即

进而

又由于二阶可导，所以在上必连续

那么在上连续，由根据零点定理得：

至少存在一点，使，即得证

（II）由

（1）可知，，令，则

由罗尔定理，则，

对在分别使用罗尔定理：

且，使得，即

在至少有两个不同实根。

得证。

（19）（本题满分10分）

设薄片型物体是圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为

。

记圆锥面与柱面的交线为

求在平面上的投影曲线的方程；

求的质量。

【答案】64

【解析】

（1）由题设条件知，的方程为

则在平面的方程为

（2）

（20）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且。

证明；

若，求方程组的通解。

【答案】（I）略；（II）通解为

【解析】

（I）证明：

由可得，即线性相关，

因此，，即A的特征值必有0。

又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.

且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为

∴

（II）由

（1），知，即的基础解系只有1个解向量，

由可得，则的基础解系为，

又，即，则的一个特解为，

综上，的通解为

（21）（本题满分11分）设二次型

在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵

【答案】

【解析】

，其中

由于经正交变换后，得到的标准形为，

故，

将代入，满足，因此符合题意，此时，则

，

由，可得A的属于特征值-3的特征向量为；

由，可得A的属于特征值6的特征向量为

由，可得A的属于特征值0的特征向量为

令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：

，

则，

（22）（本题满分11分）设随机变量相互独立，且的概率分布为，的概率密度为

求

求的概率密度。

【答案】

【解析】

（1）当，而，则

（2）当即时，

（3）当时，

（4）当时，

（5）当时，

所以综上

所以

（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立且均服从正态分布。

该工程师记录的是次测量的绝对误差，利用估计。

求的概率密度；

利用一阶矩求的矩估计量

【答案】

【解析】

当

当

当时，

综上

令

由此可得的矩估计量

对总体的个样本，则相交的绝对误差的样本令其样本值为

则对应的似然函数

两边取对数，当时

令

所以，为所求的最大似然估计。

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