酒泉职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析).docx
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限时：
45分钟 满分：
70分
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）
1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
解析：
选A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有A种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A×2＝12种排列方法．
2．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（ ）
A．240种 B．360种
C．480种 D．720种
解析：
选C 优先安排甲有A种不同方法，然后剩余5位选手的全排列有A种不同排法．故有A·A＝480种不同排法．
3．若n的展开式中的第5项为常数，则n＝（ ）
A．8 B．10
C．12 D．15
解析：
选C ∵n的展开式中的第5项T4＋1＝C（）n－4·4＝C24x为常数，∴＝0，n＝12.
4．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）
A．232 B．252
C．472 D．484
解析：
选C 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C×C×C＝64种，若2张同色，则有C×C×C×C＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192种，剩余2张同色，则有C×C×C＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．
5．在（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数是（ ）
A．25 B．35
C．45 D．55
解析：
选D 二项式（1＋x）5中x4的系数为C，二项式（1＋x）6中x4的系数为C，二项式（1＋x）7中x4的系数为C，故（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中x4的系数为C＋C＋C＝55.
6．5名伦敦奥运冠军到香港、澳门、台湾进行商业宣传，每个地方至少去一名形象大使，则不同的分派方法共有________种．（ ）
A．25 B．50
C．150 D．300
解析：
选C 首先5名形象大使，每个地方至少1名，那么只有两种分派方法：
1、1、3和1、2、2，再分派到香港、澳门、台湾，按照计数原理，第一种分法CA＝60种，第二种分法·A＝90种，合计60＋90＝150种．
7．在二项式n的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为（ ）
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：
选C 二项式n的展开式的前三项的系数分别为：
1，C·，C·2，由其成等差数列可得2C·＝1＋C·2⇒n＝1＋，解得n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Crx，若为有理项，则有4－∈Z，故当r＝0,4,8时为有理项，所以展开式中有理项的项数为3.
8．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A．60条 B．62条
C．71条 D．80条
解析：
选B 显然方程ay＝b2x2＋c表示抛物线时，有ab≠0，故该方程等价于y＝x2＋.
（1）当c＝0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取2个数作为a，b的值，有A＝20种不同的方法，
当a一定，b的取值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4×3＝12条，所以此时不同的抛物线共有A－6＝14条；
（2）当c≠0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取3个数作为a，b，c的值有A＝60种不同的方法，
当a，c的值一定，而b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4A＝24条，所以此时不同的抛物线有A－12＝48条．
综上所述，满足题意的不同的抛物线有14＋48＝62条．
二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）
9.6的展开式中x3的系数为________．（用数字作答）
解析：
由6的展开式的通项为
Tr＋1＝C（x2）6－rr＝Cx12－3r，
令12－3r＝3，得r＝3，
所以展开式中x3的系数为C＝＝20.
答案：
20
10．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．（用数字作答）
解析：
因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14个．
答案：
14
11．观察下列等式：
12＝1,12－22＝－3,12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝________.
解析：
由已知中的等式：
12＝1＝（－1）2×，
12－22＝－3＝（－1）3×，
12－22＋32＝6＝（－1）4×，
12－22＋32－42＝－10＝（－1）5×，
…
由此可以推出一个一般的结论：
对于n∈N*，
12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1×.
答案：
（－1）n＋1×
12．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中含x3的项的系数是20，则a的值等于________．
解析：
展开式中含x3的项的系数为C·C＋C·a·（－1）·C＋C·a2·C＝6a2－30a＋20＝20，所以a＝0或a＝5.
答案：
0或5
13．某企业拟在指定的4个月内向市场投放3种不同的产品，且在同一个月内投放的产品不超过2种，则该企业产品的不同投放方案有________种．
解析：
分两类，第一类，每个月只投放一种产品，有CA＝24种不同的投放方案．第二类，一个月投放两种产品，一个月投放一种产品，有CCC＝36种不同的投放方案，故共有24＋36＝60种不同的投放方案．
答案：
60
14．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：
11,22,33，…，99.3位回文数有90个：
101,111,121，…，191,202，…，999.则
（1）4位回文数有________个；
（2）2n＋1（n∈N＋）位回文数有________个．
解析：
2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n＋1位有9×10n个．
答案：
90 9×10n
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