高等代数习题答案doc.docx
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高等代数习题答案doc
高等代数（北大第三版）答案
第一章
多项式
第二章
行列式
第三章
线性方程组
第四章
矩阵
第五章
二次型
第六章
线性空间
第七章
线性变换
第八章
—矩阵
第九章
欧氏空间
第十章
双线性函数与辛空间
注：
答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！
12．设
A为一个n级实对称矩阵，且
A
0
，证明：
必存在实
n维向量X
0，使
XAX
0
。
证
因为A
0，于是A
0
，所以rankA
n，且A不是正定矩阵。
故必存在非
退化线性替换X
C1Y使
XAXYC1
ACY
YBY
y12
y22
yp2
yp2
1
yp2
2
yn2，
且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在
Z
C1Y中，令
y
y
2
y
p
1
0,yp1
yp
2
yn
1,则可得一线性方程组
c11x1
c12x2
c1nxn
0
cp1x1
cp2x2
cpnxn
0
，
cp
1,1x1
cp
1,2x2
cp
1,nxn
1
cn1x1
cn2x2
cnnxn
1
由于C
0，故可得唯一组非零解
Xs
x1s,x2s,
xns使
XsAXs00
011
1
np0，
即证存在X
0，使XAX
0。
13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：
A
B也是正定矩阵。
证
因为A,B为正定矩阵，所以
XAX,XBX为正定二次型，且
XAX
0，
XBX
0，
因此
X
ABX
XAX
XBX
0，
于是X
A
BX必为正定二次型，从而
A
B为正定矩阵。
14．证明：
二次型fx1,x2,,xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证
必要性。
采用反证法。
若正惯性指数
p
秩r，则p
r。
即
fx1,x2,,xn
y
2
y
2
y
2
y
2
y
2
，
1
2
p
p1
r
若令
y1
y2
yp
0，yp1
yr1，
则可得非零解
x1,x2,,xn
使f
x1,x2,
xn
0。
这与所给条件
fx1,x2,,xn
0
矛盾，故p
r。
充分性。
由
p
r，知
fx1,x2,
xn
y12
y22
yp2，
故有fx1,x2,
xn
0
，即证二次型半正定。
n
n
2
xi2
15
．证明：
n
xi
是半正定的。
i1
i
1
n
n
2
证n
xi2
xi
i
1
i1
nx12
x22
xn2
x12
x22
xn2
2x1x2
2x1xn
2x2x3
2x2xn
2xn1xn
n1
x12
x22
xn2
（2x1x2
2x1xn
2x2x3
2x2xn
2xn1xn）
x12
2x1x2
x22
x12
2x1x3
x32
xn21
2xn1xn
xn2
xi
xj
2
。
1
ijn
可见：
1）当x1,x2,
xn不全相等时
fx1,x2,
xn
xi
xj
2
0。
1
i
j
n
2）当x1
x2
xn时
fx1,x2,
xn
xi
xj
2
0。
1
i
j
n
故原二次型fx1,x2,,xn是半正定的。
16．设fx1,x2,,xn
XAX是一实二次型，若有实
n维向量X1,X2使
X1AX
0，
X2AX20。
证明：
必存在实
n维向量X0
0使X0AX0
0。
设A的秩为r，作非退化线性替换
X
CY将原二次型化为标准型
XAXd1y12
d2y22
dryr2，
其中dr为1或-1。
由已知，必存在两个向量
X1,X2使
X1AX1
0
和
X2AX2
0，
故标准型中的系数
d1,
dr不可能全为
1，也不可能全为-1。
不妨设有
p个1，q个-1，
且pqr，即
XAXy12
y2p
y2p1
yp2
q，
这时p与q存在三种可能：
p
q，
p
q，
pq
下面仅讨论p
q的情形，其他类似可证。
令y1
yq1，
yq1
yp
0，
yp1
ypq1，
则由ZCY可求得非零向量
X0使
X0AX0
y12
yp2
yp2
1
y2pq
0，
即证。
17．A是一个实矩阵，证明：
rank
AA
rank
A。
证由于rankArank
AA的充分条件是
AX
0与AAX
0为同解方程组，故只要
证明AX
0与AAX
0
同解即可。
事实上
AX
0
AAX
0
XAAX
0
AX
AX
0
AX
0，
即证AX
0与AAX
0
同解，故
rank
AA
rankA。
注
该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第
2题的证明，此处略。
一、补充题参考解答
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：
1）x1x2n
x2x2n1
x2x2n1
xnxn1；
2）x1x2
x2x3
xn1xn；
n
3）
xi2
xixj；
i1
1i
jn
n
2
x1x2
xn。
4）
xi
x
，其中x
i1
n
解1）作非退化线性替换
x1y1y2n
x2y2y2n1
xn
yn
yn1
，
xn
yn
yn1
1
x2n1y2y2n1
x2ny1y2n
即XTY，则原二次型的标准形为
fy12y22yn2yn21y22n1y22n，
且替换矩阵
1
0
0
1
0
1
1
0
T
1
1
，
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
使
1
1
TAT，
1
1
其中
1
2
1
2
A
。
1
1
2
2
2）若
y1
x1
x2
x3，
y2
x1
x2
x3，
2
2
则
y12
y22
y1
y2y1
y2
x1x2
x2x3，
于是当n为奇数时，作变换
yi
xi
xi
1
xi
2
2
yi
1
xi
xi
1xi2
i
1,3,5,
n
2
，
2
yn
xn
则
xx
2
x
x
3
x
n1
x
n
y
2
y
2
y
2
y
2
y
2
y
2
，
1
2
1
2
3
4
n2
n1
且当n4k
1时，得非退化替换矩阵为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
T
1
1
0
0
0
，
1
1
0
1
当n4k3时，得非退化替换矩阵为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
T
1
1
0
0
0
，
1
1
0
1
故当n为奇数时，都有
1
1
1
1
TAT。
1
1
0
当n为偶数时，作非退化线性替换
yi
xi
xi1
xi2
2
yi
1
xi
xi
1
xi
2
2
i
1,3,5,
n
3
，
xn
xn
yn
1
1
2
yn
xn1
xn
2
则
xx
2
x
x
3
x
n1
x
n
y2
y
2
y2
y2
y
2
y
2
，
1
2
1
2
3
4
n1
n
于是当n4k
时，得非退化替换矩阵为
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
T
1
1
0
0
，
1
1
1
1
于是当n4k2时，得非退化替换矩阵为
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
T
1
1
0
0
，
1
1
1
1
故当n为偶数时，都有
1
1
1
TAT1。
1
1
3）由配方法可得
1n
2
1n
2
f
x1
xj
3x2
xj
2j
2
4
3j
3
n
1xn
2
n1xn2，
1
xn1
2n
n
2n
于是可令
y1
1
n
xj
x1
2j2
y2
x2
1
n
xj
3j
3
，
yn
1
xn1
1xn
n
yn
xn
则非退化的线性替换为
x1
y1
1y2
1y3
1
yn1
1yn
2
3
n1
n
x2
y2
1y3
1
yn1
1yn
3
n
1
n
，
xn
1
yn1
1yn
n
xn
yn
且原二次型的标准形为
f
y12
3y22
n
yn21
n1yn2，
4
2n
1
2n
相应的替换矩阵为
1
1
1
1
1
2
3
n
1
n
0
1
1
1
1
3
n
1
n
T
0
0
1
1
1
1
，
n
n
0
0
0
1
1
n
0
0
0
0
1
又因为
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
A
，
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
所以
1
0
0
0
0
0
3
0
0
0
4
4
0
0
0
0
6
TAT
。
0
0
0
n
0
2n
1
0
0
0
0
n1
n
4）令
y1
x1
x
y2
x2
x
，
yn
1
xn1x
yn
xn
则
n
x1
2y1
i2
yi
n
x2
y1
2y2
yi
i3
。
n
2
xn1
yi
2yn1yn
i
1
xn
yn
由于
nn
yi
xi
n1x
x，
i1
i1
则
n
1
n
2
n1
n1
2
原式
yi2
yn
yi
yi2
yi
i
1
i
1
i1
i1
n1
yi2
2
yiyj
i1
1i
j
n1
2z12
3z22
n
zn2
1
4
2n
1
2z12
3z22
n
zn2
1，
2
n
1
其中所作非退化的线性替换为
y1
z1
1z2
1z3
1
zn1
2
3
n
1
y2
z2
1z3
1z4
1zn1
3
4
n
1
，
yn
1
zn1
yn
zn
故非退化的替换矩阵为
1
1
1
1
0
2
1
1
1
1
2
3
n
1
1
2
1
1
1
0
1
1
1
0
3
n
1
1
2
1
1
1
1
T
0
0
1
0
1
1
1
2
1
n
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
1
1
3
0
0
1
2
4
1
1
0
1
2
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