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继续上面的
5数学分析新讲张筑生老师的牛书，大概是中国人自己写的最好的数学分析教科书了。
线性代数
嗯，这个部分其实要看高等代数，光看线性是绝对不够的，哄小孩子。
1，蓝以中简明高等代数好书，看了之后很长段数。
2，s.lang,linearalgibra,这本书写给本科生看的，似乎是深了点，但是很有趣。
3，丘维声高等代数内容不深，自己看一周就看完了，偏代数，不过讲得很清楚。
4artin代数。
这本书机械工业好像有影印本。
atin是大家，这本书写得还是值得去看。
5jacobson好像是抽象代数，时间太长记不得了。
总之是经典，绝对是经典。
概率论与数理统计
1，浙大的盛骤谢式千老师编的那本，学经济学的也基本没有学生没读过吧?
2，hogg那本数理统计导论，高教有影印本，从最初薄薄的小册子到如今的巨著，哈哈，可见得它确实是一本严肃的而受欢迎的教科书。
我很喜欢这本书。
3，陈希孺科大的老师，我很敬重他。
因为国内的概率论教科书，只有陈老师写了很多概率论思想，澄清了我很久以来的困惑。
他还有一本数理统计引论，现在绝版了，大概只有图书馆能找到，是座金矿。
4，费勒华章出了中译本新版，以前那种纸张很烂的老版看了要相形见绌吧。
费勒的书特点是例子很多，很全面，讲法也很生动，初学者会喜欢这种风格。
但是严格性方面也很好。
是一本非常好的书。
最优化
本科生阶段好好读读dixit那本书就可以了。
其他的似乎?
都不太好，要么就是太难，要么就是实在拿不出手，清华的运筹学可以看看，但是?
似乎没有什么特别值得说的优点
1,昨晚下了线才想起来忘了把北大数学组那本高等代数书加上了。
总是是满不错的书，中规中矩，要说特别好也没什么特别好，但是读起来一点不费力。
做教材自学应该是很合适的入门书。
2，似乎在高等代数之前加本数论书是个不错的开头，不过对数学极端憎恨只愿意读应付考试的书宁愿死记结论的人把这节略去也ok。
华罗庚的数论导引。
写得很好，而且这本书写得让人很舒服，恐怕这和华老用文言来写不无关系。
这本书说是导引，应该比导引深一些。
不过很典范，谆谆善诱，在我印象中是本令人难忘的书。
可惜现在已不好找
闵嗣鹤和严士建老师编的初等数论，薄薄的小册子。
最近似乎很少人提，但绝对是一本优秀的数论入门教材。
高中生读应该也没问题。
至今我还喜欢看看自己当年是怎么写这本书上的题目的。
潘承洞老师的两本数论书（简明数论和另外一本厚的）是大家最爱用的书。
厚的那本大一我胃病卧床期间看的（所以把书名都忘记了?
），写得满不错的。
适合初学者又有兴趣的人看
hardy的intruductiontonumbertheory。
这本书当然是很牛的，不过它不是为初学者写的。
而且后面的章节已经偏向于代数数论了。
所以有点基础看起来比较有趣。
哈代这本书在表述上很严谨。
（偏向这本书而绝口不提ross是因为我偏心吗~^_^）
3，周伯埙先生的《高等代数》。
周老这本书在大陆算是一代之无法超越之作了吧。
不过现在也不容易买到了。
【篇二：
数学思想五十问】
课班级：
09数学与应用数学
2011年9月
沈南山
一、问题研究（数学思想50问）
查资料、合作研究
二、教材内容
三、竞赛数学（组合数学选讲）
10套近年新课标高考试四、高考数学解题思想研究（每位同学研究
题）
考查要求：
1．10套高考数学试题作业。
（自己选择）
2.（数学思想50问）研究1题。
（加成绩）
引子---序言
什么是“hilbert23问题”？
它对20世纪的数学有什么影响？
希尔伯特（hilbertd.,1862.1.23～
1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至
全世界最伟大的数学家之一。
他在横跨两
个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍
了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思
想深深地渗透进了整个现代数学。
希尔伯
特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋
的工作和真诚的个人品质吸引了来自世
界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世
界产生影响。
希尔伯特去世时，德国《自
然》杂志发表过这样的观点：
现在世界上
难得有一位数学家的工作不是以某种途
径导源于希尔伯特的工作。
他像是数学世
界的亚历山大，在整个数学版图上，留下
了他那显赫的名字。
1900年，希尔伯特
在巴黎数学家大会上提出了23个最重要
的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。
当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。
1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。
由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。
他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。
希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。
按时间顺序,他的主要研究内容有:
不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：
狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、希尔伯特空间等。
在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。
希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。
他指出：
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。
在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。
他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些
至今仍未解决。
他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，
对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
他说：
在我们中间，常常听到这样的呼声：
这里有一个数学问题，去找出它的答案！
你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。
三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：
我们必须知道，我们必将知道。
希尔伯特的《几何基础》（1899）是公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。
1904年，又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿，于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。
他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统。
然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论。
希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。
然而，1930年，年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔（kurtgodel，1906～1978）获得了否定的结果，证明了希尔伯特方案是不可能实现的。
但正如哥德尔所说，希尔伯特有关数学基础的方案仍不失其重要性，并继续引起人们的高度兴趣。
希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《数论报告》）、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等，与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。
“hilbert23问题”的研究进展。
（1）康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与zf集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科思（p.choen）证明连续统假设与zf公理彼此独立。
因而，连续统假设不能用zf公理加以证明。
在这个意义下，问题已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。
根茨（g.gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：
存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（m.dehn）1900年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。
满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫（pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。
1952年，由格里森（gleason）、蒙哥马利（montgomery）、齐宾（zippin）共同解决。
1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。
后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。
但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明。
（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
素数是一个很古老的研究领域。
希尔伯特在此提到黎曼（riemann）猜想、哥德巴赫（goldbach）猜想以及孪生素数问题。
黎曼猜想至今未解决。
哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。
（9）一般互反律在任意数域中的证明。
1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（e.artin）各自给以基本解决。
而类域理论至今还在发展之中。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。
1950年前后，美国数学家戴维斯（davis）、普特南（putnan）、罗宾逊（robinson）等取得关键性突破。
1970年，巴克尔（baker）、费罗斯（philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。
1970年。
苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：
在一般情况答案是否定的。
尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）一般代数数域内的二次型论。
德国数学家哈塞（hasse）和西格尔（siegel）在20年代获重要结果。
60年代，
法国数学家魏依（a.weil）取得了新进展。
（12）类域的构成问题。
即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。
此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
（14）某些完备函数系的有限的证明。
即域k上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），r为k［x1，…，xm]上的有理函数f（x1，…，xm）构成的环，并且f（f1，…，fm）∈k[x1，…，xm]试问r是否可由有限个元素f1，…，fn的多项式生成？
这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
（15）建立代数几何学的基础。
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。
（15）注一舒伯特（schubert）计数演算的严格基础。
一个典型的问题是：
在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？
舒伯特给出了一个直观的解法。
希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。
现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。
但严格的基础至今仍未建立。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。
后半部要求讨论备dx/dy=y/x的极限环的最多个数n（n）和相对位置，其中x、y是x、y的n次多项式。
对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到n
（2）≥1；
1952年鲍廷得到n
（2）≥3；
1955年苏联的波德洛夫斯基宣布n
（2）≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。
关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（e2）不超过两串。
1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。
1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。
1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，
3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
（17）半正定形式的平方和表示。
【篇三：
希尔伯特23个数学问题及其解决情况】
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（1）康托的连续统基数问题。
1938年，侨居美
国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与zf集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科
思（p.choen）证明连续统假设与zf公理彼此独立。
在这个意
义下，问题已获解决。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以
证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。
根茨（g.gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法
证明了算术公理系统的无矛盾性。
存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全
等德思（m.dehn）1900年已解决。
1973年，苏联数学家波格列洛夫
（pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
1952年，由格里森（gleason
）、蒙哥马利（montgomery）、齐宾（zippin）共同解决。
1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结
果。
但对物
理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
1935年分别
独立地证明了其正确性。
但超越数理论还远未完成。
目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。
希尔伯特在此提到黎曼（riemann）猜想、哥德巴赫（goldbach）猜想以
及孪生素数问题。
哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均
属中国数学家陈景润。
而类域理论至今还在发
展之中。
1950年前后，美
国数学家戴维斯（davis）、普特南（putnan）、罗宾逊（robinson）等取得关键性突破。
1970年，巴克
蒂塞维奇
最终证明：
尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的
副产品，其中
不少和计算机科学有密切联系。
60年代，法国数学家魏依（a.weil
）取得了新进展。
此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还
很远。
七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；
x=x（a,b,c）。
这一函数能否用两变量函数表示
出来？
此问题已接近解决。
1957年，苏联数学家阿诺尔德（arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函
解决。
即域k上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），r为k［x1，…，xm]上的有理函数f（x1，
…，xm）构成的环，并且f（f1，…，fm）∈k[x1，…，xm]试问r是否可由有限个元素f1，…，fn的多项
式生成？
这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解
决。
舒伯特给出了一个
直观的解法。
现在已有了一些可计算的方法，它和代数几
何学有密切的关系。
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