江西省南昌市中考数学试题解析版.docx
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江西省南昌市中考数学试题解析版
2013年江西省南昌市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）每小题只有一个正确选项。
1．（3分）（2013•江西）﹣1的倒数是（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
±1
D．
0
考点：
倒数．3797161
分析：
根据倒数的定义，得出﹣1×（﹣1）=1，即可得出答案．
解答：
解：
∵﹣1×（﹣1）=1，
∴﹣1的倒数是﹣1．
故选：
B．
点评：
此题主要考查了倒数的概念及性质．倒数的定义：
若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）（2013•江西）下列计算正确的是（ ）
A．
a3+a2=a5
B．
（3a﹣b）2=9a2﹣b2
C．
（﹣ab3）2=a2b6
D．
a6b÷a2=a3b
考点：
完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法．3797161
分析：
根据同类项的定义，完全平方公式，幂的乘方以及单项式的除法法则即可判断．
解答：
解：
A、不是同类项，不能合并，选项错误；
B、（3a﹣b）2=9a2﹣6ab+b2，故选项错误；
C、正确；
D、a6b÷a2=a4b，选项错误．
故选C．
点评：
本题考查了幂的运算法则以及完全平方公式，理解公式的结构是关键．
3．（3分）（2013•江西）某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？
设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人．下面所列的方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
由实际问题抽象出二元一次方程组．3797161
分析：
设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，根据共34人进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，即可得出方程组．
解答：
解：
设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，
由题意得：
．
故选B．
点评：
本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出未知数找出等量关系．
4．（3分）（2013•江西）下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：
城市
北京
合肥
南京
哈尔滨
成都
南昌
污染指数
342
163
165
45
227
163
则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．
164和163
B．
105和163
C．
105和164
D．
163和164
考点：
众数；中位数．3797161
分析：
根据众数定义：
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．可以直接算出答案．
解答：
解：
把数据从小到大排列：
45，163，163，165，227，342，位置处于中间的数是163和165，故中位数是（163+165）÷2=164，
163出现了两次，故众数是163；
故答案为：
A．
点评：
此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义．
5．（3分）（2013•江西）某机构对30万人的调查显示，沉迷于手机上网的初中生大约占7%，则这部分沉迷于手机上网的初中生人数，可用科学记数法表示为（ ）
A．
2.1×105
B．
21×103
C．
0.21×105
D．
2.1×104
考点：
科学记数法—表示较大的数．3797161
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：
将30万×7%=21000用科学记数法表示为：
2.1×104．
故选：
D．
点评：
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（3分）（2013•江西）如图，直线y=x+a﹣2与双曲线y=
交于A、B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
5
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．3797161
分析：
当直线y=x+a﹣2经过原点时，线段AB的长度取最小值，依此可得关于a的方程，解方程即可求得a的值．
解答：
解：
∵要使线段AB的长度取最小值，则直线y=x+a﹣2经过原点，
∴a﹣2=0，
解得a=2．
故选C．
点评：
考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是理解当直线y=x+a﹣2经过原点时，线段AB的长度取最小值．
7．（3分）（2013•江西）一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则它的左视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
简单组合体的三视图．3797161
分析：
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：
解：
从几何体的左边看可得
．
故选：
C．
点评：
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
8．（3分）（2013•江西）将不等式组
的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．3797161
分析：
求出两个不等式的解集，然后表示在数轴上即可．
解答：
解：
，
解不等式①得，x≥﹣1，
解不等式②得，x＜3，
在数轴上表示如下：
．
故选D．
点评：
本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
9．（3分）（2013•江西）下列因式分解正确的是（ ）
A．
x2﹣xy+x=x（x﹣y）
B．
a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2
C．
x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3
D．
ax2﹣9=a（x+3）（x﹣3）
考点：
因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．3797161
分析：
利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．
解答：
解：
A、x2﹣xy+x=x（x﹣y+1），故此选项错误；
B、a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2，故此选项正确；
C、x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；
D、ax2﹣9，无法因式分解，故此选项错误．
故选：
B．
点评：
此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：
找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
10．（3分）（2013•江西）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（ ）
A．
60°
B．
75°
C．
85°
D．
90°
考点：
旋转的性质．3797161
分析：
根据旋转的性质知，旋转角∠EAC=∠BAD=65°，对应角∠C=∠E=70°，则在直角△ABF中易求∠B=35°，所以利用△ABC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可．
解答：
解：
根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．
如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，
∴在Rt△ABF中，∠B=90°﹣∠BAD=35°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣70°=75°，即∠BAC的度数为75°．
故选B．
点评：
本题考查了旋转的性质．解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数的．
11．（3分）（2013•江西）如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（ ）
A．
2
B．
4
C．
D．
考点：
勾股定理．3797161
分析：
连接AE，求出正六边形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并求出AE的长，再求出PE的长，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解答：
解：
如图，连接AE，
在正六边形中，∠F=
×（6﹣2）•180°=120°，
∵AF=EF，
∴∠AEF=∠EAF=
（180°﹣120°）=30°，
∴∠AEP=120°﹣30°=90°，
AE=2×2cos30°=2×2×
=2
，
∵点P是ED的中点，
∴EP=
×2=1，
在Rt△AEP中，AP=
=
=
．
故选C．
点评：
本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
12．（3分）（2013•江西）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A．
a＞0
B．
b2﹣4ac≥0
C．
x1＜x0＜x2
D．
a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0
考点：
抛物线与x轴的交点．3797161
分析：
根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．
解答：
解：
A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；
B、∵x1＜x2，
∴△=b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，
若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；
D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，
所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，C、D选项要注意分情况讨论．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）（2013•江西）如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为 65° ．
考点：
平行线的性质；直角三角形的性质．3797161
专题：
探究型．
分析：
先根据平角的定义求出∠EDC的度数，再由平行线的性质得出∠C的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．
解答：
解：
∵∠1=155°，
∴∠EDC=180°﹣155°=25°，
∵DE∥BC，
∴∠C=∠EDC=25°，
∵△ABC中，∠A=90°，∠C=25°，
∴∠B=180°﹣90°﹣25°=65°．
故答案为：
65°．
点评：
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：
两直线平行，内错角相等．
14．（3分）（2013•江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （n+1）2 （用含n的代数式表示）．
考点：
规律型：
图形的变化类．3797161
专题：
规律型．
分析：
观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的个数，写出第n个图形中点的个数的表达式，再根据求和公式列式计算即可得解．
解答：
解：
第1个图形中点的个数为：
1+3=4，
第2个图形中点的个数为：
1+3+5=9，
第3个图形中点的个数为：
1+3+5+7=16，
…，
第n个图形中点的个数为：
1+3+5+…+（2n+1）=
=（n+1）2．
故答案为：
（n+1）2．
点评：
本题是对图形变化规律的考查，比较简单，观察出点的个数是连续奇数的和是解题的关键，还要注意求和公式的利用．
15．（3分）（2013•江西）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 x2﹣5x+6=0（答案不唯一） ．
考点：
根与系数的关系．3797161
专题：
开放型．
分析：
根据S△ABC=3，得出两根之积，进而根据根与系数的关系写出一个符合要求的一元二次方程即可．
解答：
解：
∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，
∴一元二次方程的两个根的乘积为：
3×2=6，
∴此方程可以为；x2﹣5x+6=0，
故答案为：
x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．
点评：
此题主要考查了根与系数的关系以及直角三角形的面积，根据已知得出两根之积进而得出答案是解题关键．
16．（3分）（2013•江西）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是 2，3，4 ．
考点：
垂径定理；等边三角形的判定与性质．3797161
分析：
分类讨论：
如图1，根据圆周角定理可以退出点C在以点O为圆心的圆上；
如图2，根据已知条件可知对角∠AOB+∠ACB=180°，则四个点A、O、B、C共圆．分类讨论：
如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边△MAO的性质来求OC的长度．
解答：
解：
如图1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠ACB=
∠AOB=60°，
∴点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上．
∴OC=AO=BO=2；
如图2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴四个点A、O、B、C共圆．
设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．
连接OM、AM、AB、MB．
∵∠ACB=60°，
∴∠AMB=2∠ACB=120°．
∵AO=BO=2，
∴∠AMO=∠BMO=60°．
又∵MA=MO，
∴△AMO的等边三角形，
∴MA=AO=2，
∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，
∴OC可以取整数3和4．
综上所述，OC可以取整数2，3，4．
故答案是：
2，3，4．
点评：
本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质．此题需要分类讨论，以防漏解．在解题时，还利用了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系．
三、（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）
17．（6分）（2013•江西）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
考点：
作图—复杂作图．3797161
分析：
（1）根据圆周角定理：
直径所对的圆周角是90°画图即可；
（2）与
（1）类似，利用圆周角定理画图．
解答：
解：
（1）如图所示：
点P就是三个高的交点；
（2）如图所示：
CT就是AB上的高．
点评：
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是90°．
18．（6分）（2013•江西）先化简，再求值：
÷
+1，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值．
考点：
分式的化简求值．3797161
分析：
首先将原式能分解因式的分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，最后根据分式的性质，选出有意义的x的值，即可得到原式的值．
解答：
解：
÷
+1
=
÷
+1
=
×
+1
=
+1
=
，
当x=0或2时，分式无意义，
故x只能等于1，
原式=
．
点评：
此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
19．（6分）（2013•江西）甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（ ）
A、乙抽到一件礼物
B、乙恰好抽到自己带来的礼物
C、乙没有抽到自己带来的礼物
D、只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．
考点：
列表法与树状图法；随机事件．3797161
专题：
图表型．
分析：
（1）根据必然事件、随机事件的定义对各选项分析判断后利用排除法求解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
解答：
解：
（1）A、乙抽到一件礼物是必然事件；
B、乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件；
C、乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件；
D、只有乙抽到自己带来的礼物是随机事件；
故选A；
（2）设甲、乙、丙三人的礼物分别记为a、b、c，
根据题意画出树状图如下：
一共有6种等可能的情况，三人抽到的礼物分别为（abc）、（acb）、（bac）、（bca）、（cab）、（cba），
3人抽到的都不是自己带来的礼物的情况有（bca）、（cab）有2种，
所以，P（A）=
=
．
点评：
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（6分）（2013•江西）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=
（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
考点：
反比例函数综合题．3797161
分析：
（1）根据矩形性质得出AB=CD=2，AD=BC=4，即可得出答案；
（2）设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），得出k=2（6﹣x）=6（4﹣x），求出x，即可得出矩形平移后A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可．
解答：
解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．
∴AB=CD=2，AD=BC=4，
∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；
（2）A、C落在反比例函数的图象上，
设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），
∵A、C落在反比例函数的图象上，
∴k=2（6﹣x）=6（4﹣x），
x=3，
即矩形平移后A的坐标是（2，3），
代入反比例函数的解析式得：
k=2×3=6，
即A、C落在反比例函数的图象上，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y=
．
点评：
本题考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）（2013•江西）生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：
A、全部喝完；B、喝剩约
；C、喝剩约一半；D开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）参加这次会议的有多少人？
在图
（2）中D所在扇形的圆心角是多少度？
并补全条形统计图；
（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？
（计算结果请保留整数）
（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用
（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有多少瓶？
（可使用科学记算器）
考点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．3797161
分析：
（1）根据扇形统计图和条形统计图中B所代表的数据求出总人数，即可得出C代表的人数；
（2）根据
（1）中所求，得出浪费掉的总量进而得出平均数；
（3）根据每次会议人数约在40至60人之间可以为50人，利用
（2）中所求，进而求出总数．
解答：
解：
（1）参加这次会议的人数：
25÷50%=50，
D所在扇形的圆心角：
360°×
×100%=36°，
C的人数：
50﹣25﹣10﹣5=10，如图所示：
（2）（500×
×25+500×
×10+500×5）÷50≈183（毫升）；
（3）183×60×
÷500≈1098（瓶），
答：
浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有1098瓶．
点评：
此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．
22．（8分）（2013•江西）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）求点B的坐标．
考点：
切线的判定与性质；坐标与图形性质．3797161
专题：
计算题．
分析：
（1）由AO=2，P的纵坐标为2，得到AP与x轴平行，即PA与AO垂直，即可得到AP为圆O的切线；
（2）连接OP，OB，过B作BQ垂直于OC，由切线长定理得到PA=PB=4，PO为角平分线，进而得到一对角相等，根据AP与OC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到OC=CP，设OC=x，BC=BP﹣PC=4﹣x，OB=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OC与BC的长，在直角三角形OBC中，利用面积法求出BQ的长，再利用勾股定理求出OQ的长，根据B在第四象限，即可求出B的坐标．
解答：
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