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111与三角形有关的线段

课题

11．1．1三角形的边

教学目标

【知识与技能】认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类．

掌握三角形三边不等的关系．并能用于解决有关的问题

【过程与方法】⑴经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单，最基本的几何图形，懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，提高推理能力。

⑵培养学生数学分类讨论的思想。

【情感、态度与价值观】⑴培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值。

⑵通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。

教学重点

掌握三角形三边关系

知识

难点

三角形三边关系的应用

切入关键

实物模型展示,引导学生认识并总结三角形的有关概念,并探究三边关系.

教学方法

学、议、展、评、点、练、结、思．

教具准备

备用课件（ppt）.一些木条;

教学过程

学生学习

教师导学

创设情境

2～3分钟

参与、思考：

1.拿三个木条实物,是不是能摆成三角形?

满足什么样条件能摆成三角形呢?

2.你能摆出几种不用类型的三角形?

课件展示图片，学生欣赏并从中抽象出三角形。

问题：

你能举出日常生活中三角形的实际例子吗？

自学交流3~3分钟

阅读、寻找：

1.自学内容：

教材第1页至第3页.

2.自学要求：

理解边、角、顶点的意义而不是背其定义；

会对三角形分类；明白对于同一事物可采用几种不同的分类标准．理解三角形三边之间的关系，能进行简单说理．

3.归纳总结自学收获,并在书进行分类标记,写出要交流的问题.

让学生感受数学语言的逻辑性，严密性。

渗透能否利用代数中方程思想解决几何问题。

能否用分类讨论方法解决问题。

求出三边后还需用三角形三边之间关系检验。

探究讨论3～4分钟

讨论、体会：

1：

什么是三角形？

“不在同一直线上”去掉行不行？

2.三角形可采用几种不同的分类标准？

如何分类？

3、在一个三角形中，任意两边之和与第三边有着怎样的关系？

说明你的理由；在一个三角形中，任意两边之差与第三边有着怎样的关系？

说明你的理由．

分组讨论,不会的同学问师傅,师徒互讲;

思考下列问题

.在如图所示的△ABC中，假设有一个小虫从点B沿三角形的边爬到点C，图中有几条路线可以选择？

各条路线的长度一样长吗？

你能从中得到什么结论？

展评明理6~8分钟

展评、提高：

知识点一：

三角形概念及分类

１．三角形概念：

由不在同一直线上的三条线段___________________所组成的图形叫做三角形。

如图，线段____、______、______是三角形的边；点A、B、C是三角形的______;_____、______、_______是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

图中三角形记作__________读作“三角形ABC”。

２．等腰三角形ABC中，AB=AC,腰是__________，

底是_________,顶角指_______，底角指_____________.

等边三角形DEF是特殊的_______三角形，DE=____=_____

2.三角形按角分类可分为______、_____、______。

按角分类:

三角形直角三角形

斜三角形锐角三角形

钝角三角形

3.三角形按边分类:

按“有几条边相等”将三角形分类。

三边都相等的三角形叫做等边三角形；

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。

按边分类:

三角形不等边三角形

等腰三角形底和腰不等的等腰三角形

等边三角形

显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。

知识点二：

三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形

思考下列问题

发现：

两点之间线段最短，是上述结论成立的依据．

（1）三角形任意两边之和大于第三边；

符号语言：

如图3，AB+BC＞AC、AB+AC＞BC、CB+AC＞AB．

图3

（2）三角形任意两边之差小于第三边．

从中你可以得出结论：

三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

知识点应用：

问题1：

图１中有几个三角形？

请用符号表示出来．

问题2：

有四根长度分别是2cm，3cm，4cm，5cm的木棒，选取其中的三根围成一个三角形，有几种方法？

谈谈你的看法！

任意两边之和大于第三边．

问题3：

如图２，点P是△ABC内部一点，连接BP延长后交AC于点D．

（1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；

（2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系．

〔解答〕

（1）在△ABD中，AB+AD＞BD，

在△BCD中，BC+CD＞BD，

两式相加可以得到AB+AD+CD+BC＞2BD．

（2）在△ABD中，AB+AD＞BP+PD，在△PDC中，PD+DC＞PC，两式相加得到AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，即，AB+AC＞BP+PC．

问题4：

一个三角形有两边相等，周长是24，且一边是4，求其他两边长．

A组展示讲析概念及分类:

注意强调“不在同一直线”、“首尾顺次相接”、“两条边相等”的含义、

分类依据和标准；

Ｂ组展示及讲评三角形三边的关系；

（1）在一个三角形中，任意两边之和与第三边有着怎样的关系？

说明你的理由；

（2）在一个三角形中，任意两边之差与第三边有着怎样的关系？

说明你的理由．

图１

图２

Ｃ组展示知识点应用；

点讲导学8~10分钟

倾听、顿悟：

1、三角形三边之间的关系定理：

___________________,理论依据是__________________________.

2.三角形分类:

按有没有直角;按有没有相等的边;

3、记住：

三角形三边之间的关系定理的推论：

三角形的两边之差大于第三边；

4、例用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？

为什么？

两点之间线段最短，是上述结论成立的依据．

分析：

（1）等腰三角形三边的长是多少？

若设底边长为x㎝，则腰长是多少？

（2）“边长为4㎝”是什么意思？

巩固提高9~10分钟

自信、成功：

（注意学生语言表述和用词准确性指导与点拨）

1．下列长度的三条线段能否围成三角形？

为什么？

⑴2，4，7⑵6，12，6⑶7，8，13

２、现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架（不计接头），则在下列四根木棒中应选取（）

A．10cm长的木棒B．40cm长的木棒C．90cm长的木棒D．100cm长的木棒

３．已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是____．若x是奇数，则x的值是______；这样的三角形有______个；若x是偶数，则x的值是______；这样的三角形又有________个．

４、已知一个等腰三角形两边长是4cm和9cm，求它的周长？

５、已知一个等腰三角形两边长是5cm和9cm，求它的周长？

６．下列说法：

（1）等边三角形是等腰三角形；

（2）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；

（3）三角形的两边之差大于第三边；

（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个

７．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）

A．3cm，12cm，8cmB．6cm，8cm，15cm

C．2.5cm，3cm，5cmD．6.3cm，6.3cm，12.6cm

８、已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（）

A．12B．12或15C．15D．15或18

９、已知等腰三角形的一边长等于5，周长为16，求另一边长．

已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+│c-3│=0，

且a为方程│x-4│=2的解，求△ABC的周长，判断△ABC的形状．

练习一：

1、如图．下列图形中是三角形的有_______________？

2、图3中有几个三角形？

用符号表示这些三角形．

练习二：

1、下列长度的三条线段能否组成三角形？

为什么？

（1）3，4，8；

（2）5，6，11；（3）5，6，10

2、有四根木条，长度分别是12cm、10cm、8cm、4cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是_______个。

3、如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（）

A、1B、9C、3D、10

4、阅读教科书例题，仿照例题解法完成下面这个问题：

一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长。

拓展部分

1、一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（）

A、7B、9C、12D、9或12

2、若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：

4：

5，则三边长分别为___________.

3、（选做）若△ABC的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是___________.

提高部分:

已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3，5，x为边能组成______个三角形。

归纳小结

1～2分钟

总结、反思：

1、三角形定义：

_________________________

2、三角形进行分类：

3、三角形三边之间的关系定理：

______________,理论依据是___________________.三角形三边之间的关系定理的推论：

_______________。

本节课我们学习了三角形的概念及基本要素，重点研究了三角形的三边关系．

（1）从三角形三边关系的研究中可知，三角形的三边相互制约——任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边．

（2）判断a、b、c三条线段能否组成一个三角形，应注意：

a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b．三个条件缺一不可．当a是a、b、c三条线段中最长的一条时，只要b+c＞a，就有任意两条线段的和大于第三边．

本节课你学到了什么？

还有什么疑惑？

知识方面;

能力方面;

思想方面;

技巧情感

布置作业

学习、进步：

课本8页1、2、6、7。

板书设计

课题

知识点一：

三角形概念及分类知识点应用：

知识点二：

三角形三边的不等关系，

课后点评与反思

课题

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

教学目标

【知识与技能】理解三角形的高、中线与角平分线的概念,掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质，会画三角形的高、中线和角平分线,利用其解决相关问题；

【过程与方法】会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线,通过画图了解三角形的三条高（及所在直线）交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点.

【情感、态度与价值观】采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神。

教学重点

会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线及其性质

知识

难点

（1）三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.

（2）钝角三角形高的画法.（3）不同的三角形三条高的位置关系.

切入关键

经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线,引导学生在操作中认识并归纳其性质；

教学方法

学、议、展、评、点、练、结、思．

教具准备

备用课件（ppt）

教学过程

学生学习

教师导学

创设情境

2～3分钟

参与、思考：

1、如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有（）个。

2、以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是（）

A．3，3，3B．3，3，6C．3，2，5　D．3，2，6

3、等腰三角形的两边长分别为12cm和8cm，这个等腰三角形的周长是．

我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。

三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。

自学交流3~3分钟

阅读、寻找：

1.自学内容：

课本5页----6页

2.自学要求：

阅读课本内容，仔细观察上表中的内容,并回答下面问题.

（1）什么叫三角形的高?

三角形的高与垂线有何区别和联系?

（2）什么叫三角形的中线?

连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?

（3）什么叫三角形的角平分线?

三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?

学生阅读教材，找出相关定义，便于理解记忆。

将知识点进行在书上标记，明确不懂的问题。

探究讨论3～4分钟

讨论、体会：

1.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线?

根据高、中线和角平分线你能得到哪些结论？

2.如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边上的中线，选择“＞”、“＜”或“=”号填空：

（1）BE___EC

（2）∠CAF___

∠BAC（3）∠AFB___∠C+∠FAB（4）∠AEC___∠B

3.作出下列三角形三边上的高：

互相讲析交流，讲出你会的内容，注重语言表达，讲清思路和方法。

通过观察和操作你发现了哪些规律,并加以总结且与同伴交流.

展评明理6~8分钟

展评、提高：

三角形的

重要线段

意义

图形

表示法

三角形

的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段

1.AD是△ABC的BC上的高线.

2.AD⊥BC于D.

3.∠ADB=∠ADC=90°.

三角形

的中线

三角形中,连结一个顶点和它对边中的

线段

1.AE是△ABC的BC上的中线.

2.BE=EC=

BC.

三角形的

角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段

1.AM是△ABC的∠BAC的平分线.

2.∠1=∠2=

∠BAC.

三个组分别展示高的意，图形，画法及性质，

注意口语的表达和思路方法的展现，操作规范阐述到位

倾听的同学做好欣赏与点评

点讲导学8~10分钟

倾听、顿悟：

1.高与垂线不同，高是线段，垂线是直线;

2.三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心

3.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心;

4.三角形角平分线的交点叫做三角形的内心。

5.三角形的高,中线,角平分线都是线段且所以直线都交于一点.

例:

1.如图,在△ABC中,AE,AD分别是BC边上中线和高,

（1）说明△ABE的面积与△AEC的面积有何关系？

（2）你有什么发现？

同高等底的两个三角形的面积____.

三角形的中线把三角形分成两个面积_______的三角形。

2.在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长

分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长．

1.想一想：

三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

2.三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高所以直线的交点在三角形的外部。

巩固提高9~10分钟

自信、成功：

（注意学生语言表述和用词准确性指导与点拨）

1.在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.（如果所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?

钝角三角形的三条高在那里?

）观察这三条高所在的直线的位置有何关系?

三角形的三条高____________,锐角三角形三条高交点在锐角三角形_____,直角三角形三条高线交点在直角三角形________,而钝角三角形的三条高的交点在钝角三角形__________.

2.在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.（如果所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里）?

观察这三条中线的位置有何关系?

三角形的三条中线都在三角形________,它们__________,这个交点在______________.

3.在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?

无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形,它们的三条角平分线都在_________________,并且________.

4.课本5页练习1.2题

总结：

三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。

拓展部分

1．三角形的角平分线是（）．

A．直线B．射线C．线段D．以上都不对

2．下列说法：

①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个

3、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，写出图中所有相等的角和相等的线段。

4.已知AB=5，AC=3，AD是中线，则三角形ABD与三角形ADC的周长相差多少？

归纳小结

1～2分钟

总结、反思：

1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。

2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。

通过本节课的学习，你在知识上有什么收获？

你是通过什么方法学习了这些知识？

还有什么疑惑？

布置作业

学习、进步：

教科书8页:

3.4题;28页8.9题

板书设计

11.1.2与三角形有关的线段

图表:

例题

三角形的高，

角平分线，

中线定义

归纳

课后点评与反思

课题

11.1.3三角形的稳定性

教学目标

【知识与技能】通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，掌握稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用;

【过程与方法】通过观察、操作、交流等活动获得必需的数学知识，发展空间观念和推理能力。

【情感、态度与价值观】采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神,激发学生的学习兴趣．

教学重点

了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用

知识

难点

准确使用三角形稳定性在生产生活之中应用

切入关键

使用模型,让学生通过观察、操作、交流等活动获得对三角形具有稳定性的认识

教学方法

学、议、展、评、点、练、结、思．

教具准备

备用课件（ppt）

教学过程

学生学习

教师导学

创设情境

2～3分钟

参与、思考：

看一看，想一想

盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么这样做呢？

实物演示：

用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

三角形不变形，四边形易变形。

自学交流3~3分钟

阅读、寻找：

认真看课本（P６-７练习前）

1回答“探究”中的问题，理解三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性；

2能找出找出P6插图中的三角形或四边形，分析他们在实际生产和生活中的作用.

学生看书，教师巡视，督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难.

如有疑问，立即请教同学

探究讨论3～4分钟

讨论、体会：

议一议：

具有稳定性的图形是

（1）、（4）、（6）吗？

为什么？

他们的共同特征是什么？

不具有稳定性的图形有哪些？

为什么？

从上面实验过程你能得出什么结论？

三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。

与同伴交流。

师引申、拓展，要使练习中

（2）、（3）、（5）具有稳定性，至少要加几根木条：

引导学生回答：

（2）——加根

（3）——加根

（5）——加根

展评明理6~8分钟

展评、提高：

知识点一三角形稳定性和四边形不稳定的应用

1.如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条，这样做的数学道理是；

2、造房子的屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了______________，而活动接架则应用了四边形的_______。

知识点二：

通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段

1．如图：

（1）在△ABC中，BC边上的高是________

（2）在△AEC中，AE边上的高是________

（3）在△FEC中，EC边上的高是_________

（4）若AB=CD=2cm,AE=3cm,则S△AEC＝_______,CE=_______。

2.以下列各组线段长为边,能组成三角形的是（）

A.1cm,2cm,4cm;B.8cm,6cm,4cmC.12cm,5cm,6cm;D.2cm,3cm,6cm

3.已知等腰三角形的两边长分别为6cm和3cm,则该等腰三角形的周长是（）

A.9cmB.12cmC.12cm或15cmD.15cm

３.如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取

一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离

不可能是（）

A.20米B.15米C.10米D.5米

４、如图，点D是BC边上的中点，如果AB=3厘米，AC=4厘米，

则△ABD和△ACD的周长之差为________，面积之差为__________。

三个组分别展示：

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三角形稳定性和四边形不稳定的应用，三角形的边和相关线段

点讲导学8~10分钟

倾听、顿悟：

1、下列图形中具有稳定性的是（）

A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。

要使多边形具有稳定性应该怎么做？

巩固提高9~10分钟

自信、成功：

（注意学生语言表述和用词准确性指导与点拨）

三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例

１、钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

２、资源与评价相应练习

归纳小结

1～2分钟

总结、反思：

通过本节课的学习，你在知识上有什么收获？

你是通过什么方法学习了这些知识？

有什么感想？

（三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。

）

布置作业

学习、进步：

课本P９――9、10

板书设计

11.1.3三角形的稳定性

三角形具有稳定性

四边形不稳定性

课后点评与反思