1与三角形有关的线段和角 教案.docx

1与三角形有关的线段和角 教案.docx

《1与三角形有关的线段和角 教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1与三角形有关的线段和角 教案.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

1与三角形有关的线段和角教案

与三角形有关的线段和角

适用学科

初中数学

适用年级

初二

适用区域

人教版

课时时长（分钟）

120

知识点

三角形的概念；三角形三边的关系定理及推论；三角形中的主要线段；三角形内角和定理；三角形的外角性质.

教学目标

1.了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；

2.理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；

3.认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；

4.了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；

5.掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题.

教学重点

1.三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系；

2.三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；

3.三角形的外角和三角形外角的性质.

教学难点

1．用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；

2．三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角.

【知识导图】

【教学建议】

建议采用多媒体辅助教学，利用几何画板对三角形三边关系进行直观演示，通过两边之和小于、等于、大于第三边三种情况的演示.直观、生动地反映三角形三边关系.还有以及通过在不同的三角形中，各线段（中线、高、角分线）位置差别的比较，形成对基本概念的准确把握.

1、三角形是我们早已熟悉的图形，例举出日常生活中的三角形物体；

2、根据对三角形的了解画出一个三角形，复习已经学过的关于三角形的相关知识：

三角形的面积公式、三角形的稳定性等.

1、不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

2、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点.

3、三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

1．三角形三边的关系

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

2．三角形的高

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D.

注意：

高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.

再画出这个三角形AB、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图.

再画出一个直角三角形三边上的高，上面的结论还成立.

请画出下列三角形的高

3．三角形的中线

如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝

BC或2BD=2DC=BC.

在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点.

三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心.

请画出下列三角形的中线

3．三角形的角平分线

如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝

∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC.

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的.三角形三个角的平分线相交于一点.

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立.

请画出下列三角形的角平分线

1．三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°

内角和的证明：

已知△ABC，求证：

∠A+∠B+∠C=180°。

证明：

过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，

又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

即：

三角形的内角和等于180°.

2．直角三角形的两个锐角互余

由三角形内角和定理容易得到：

直角三角形的两个锐角互余，这是直角三角形的一个重要性质，运用它可以解决直角三角形中交的计算问题.

3．三角形外角的概念及性质

概念：

∠ACD叫做△ABC的外角。

也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

注意：

每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。

研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.

性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角.

如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

∵CM∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2

又∠ACD=∠1+∠2

∴∠ACD=∠A+∠B

【题干】已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（　）

A．2aB．－2bC．2a＋2bD．2b－2c

【答案】D.

【解析】根据三角形的三边关系，a+b-c＞0，b-a-c＜0，化简可得.

【题干】下列判断正确的是（　）

（1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线；

（2）三角形的中线、角平分线都是线段；

（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线；

（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．

A．

（1）

（2）（3）（4）B．

（2）（3）（4）

C．（3）（4） D．

（2）（3）

【答案】D.

【题干】将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（　　）

A．120°B．105°C．90°D．75°

【答案】B

【题干】一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（　　）

A．1≤x≤3B．1＜x≤3C．1≤x＜3D．1＜x＜3

【答案】D.

【解析】解：

根据题意得：

2﹣1＜x＜2+1，即1＜x＜3．故选D．

【题干】如图，△ABC中，∠C=90°，D、E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法中不正确的是（　）

A．BC是△ABE边AE上的高 B．BE是△ABD的中线

C．BD是△EBC的角平分线D．∠ABE=∠EBD=∠DBC

【答案】D.

【解析】略

1．如右图，在ΔABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是；

2．已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是　（　　）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

B．直角三角形D．锐角三角形或钝角三角形

3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（　）

 A．两点之间线段最短　B．矩形的对称 

C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性

4．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）

C．

B．

C．

D．

5．如图，图中三角形的个数是（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

答案与解析

1.【答案】80°

【解析】∵AD平分∠BAC，∠BAD=30°，

∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，

∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-60°=80°．

故答案为：

80°．

2.【答案】B.

3.【答案】D.

【解析】根据三角形稳定性可知

4.【答案】D.

【解析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高.

5.【答案】C

1.如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（　　）

A．点M在AB上

B．点M在BC的中点处

C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远

D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远

2.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

3.如图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形各边的长．

答案与解析

1.【答案】C.

【解析】解：

∵∠C=100°，∴AB＞AC，

如图，取BC的中点E，则BE=CE，

∴AB+BE＞AC+CE，

由三角形三边关系，AC+BC＞AB，

∴AB＜

AD，

∴AD的中点M在BE上，

即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．

故选：

C．

2.【答案】解：

∵∠BAE+∠BAC=180°，∠CBF+∠ABC=180°，∠ACD+∠ACB=180°，

∴∠BAE+∠BAC+∠CBF+∠ABC+∠ACD+∠ACB=3×180°=540°，

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°，

即三个外角的和于360°．

【解析】根据平角的性质求出三角形三个外角及三个内角的度数，再由三角形的内角和为180°即可求解．

3.【答案】　解：

设AB=AC=2x，则AD=CD=x，

（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2x＋x=30，

　　∴x=10，2x=20，BC=24－10=14，三边分别为：

20cm，20cm，14cm．

（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30，有2x＋x=24

∴x=8，BC=30－8=22，三边分别为：

16cm，16cm，22cm．

【解析】因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．

1.如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=.

2.如图，在△ABC中，D是BC上一点，试说明下列不等式成立的理由.　AB＋BC＋AC>2CD.

3.如图．

（1）将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．

（2）若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2、∠A与∠1之间的关系式（不必证明）；

（3）若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式（不必证明）．

答案与解析

1．【答案】66.5°

【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，

∴∠EAC=

∠DAC，∠ECA=

∠ACF；

又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），

∴

∠DAC+

∠ACF

=

（∠B+∠2）+

（∠B+∠1）

=

（∠B+∠B+∠1+∠2）=

（外角定理），

∴∠AEC=180°-（

∠DAC+

∠ACF）=66.5°；

故答案是：

66.5°．

2.【答案】AB＋BC＋AC=AB＋BD＋CD＋AC>AD＋AC＋CD>CD＋CD=2CD.

3．解：

（1）延长BE、CD，交于点P，则△BCP即为折叠前的三角形．由折叠的性质知∠DAE＝∠DPE.连接AP.由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP＋∠EPA，∠2＝∠DAP＋∠DPA，则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A；

（2）图②中，∠2＝2∠A；图③中，∠1＝2∠A；

（3）图④中，∠2－∠1＝2∠A.

1、对于三角形的概念学生在之前已有所接触，要注意三角形按边分类的分法，这是学生容易出错的地方，本节的重点和难点是“两边的和大于第三边，两边的差小于第三边”.

2、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法.

3、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律.

4、探索和证明与三角形的角有关的结论，并运用这些结论解决问题.（三角形的内角和等于180°，直角三角形的两个锐角互余.）

5、用平行线的性质与平角的定义给出这个结论的证明.

6、三角形的外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

7、注意性质的灵活应用，及在计算中的应用.

1.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）

A．17B．15C．13D．13或17

2.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影=________．

3．已知a、b、c、是的三边长，化简：

|a＋b－c|+|b－a－c|______．

4.下列命题：

①三角形的三个内角中最多有一个钝角；②三角形的三个内角中至少有两个锐角；③有两个内角分别为50°和20°的三角形一定是钝角三角形；④直角三角形中两锐角之和为90°.其中是真命题的有（　　）

答案与解析

1.【答案】A.

【解析】①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选A．

2.【答案】1cm2

3.【答案】2a

4.【答案】D

1．以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（　）

A．1个　　　　　　　　　　　　　　　  B．2个

C．3个　　　　　　　　　　　　　　　 D．4个

1.若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为　　（只需填一个整数）

2.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，已知∠ABC＝42°，∠A＝60°，求∠BFC的度数．

4.如图，草原上有4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，现在要建立一个维修站H，问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和最小？

答案与解析

1.【答案】C．

【解析】根据三角形的三边关系

2.【答案】4

【解析】解：

根据三角形的三边关系可得：

3﹣2＜x＜3+2，

即：

1＜x＜5，

所以x可取整数4．

3.【答案】

解：

∵∠ABC＝42°，∠A＝60°，

∴∠ACB＝78°.

∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，

∴∠FBC＝

∠ABC＝21°，∠FCB＝

∠ACB＝39°.

∴∠BFC＝180°－（∠FBC＋∠FCB）＝120°.

4.【答案】H建在段AC与BD的交点处，理由是：

　AC＋BD

1.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数．

2.如图1，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.

（1）猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；

（2）如果∠BAC是钝角，如图2，

（1）中的结论是否还成立？

3.如图①，有一块

直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________；

（2）如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？

若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．

答案与解析

1.【答案】解：

根据题意，得∠1＝∠2＝30°.

∵∠ACD＝60°，

∴∠ACB＝30°＋60°＝90°.

∵∠CBA＝75°－30°＝45°，

∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA＝180°－90°－45°＝45°.

2.【答案】解：

（1）∠1＝∠2.理由如下：

∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴△ABD和△BCE都是直角三角形．

∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.

∴∠1＝∠2.

（2）结论仍然成立．理由如下：

∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠D＝∠E＝90°.

∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.

∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.

3.【答案】

（1）150°　90°

（2）不变化．因为∠A＝30°，所以∠ABC＋∠ACB＝150°.因为∠X＝90°，所以∠XBC＋∠XCB＝90°，所以∠ABX＋∠ACX＝（∠ABC－∠XBC）＋（∠ACB－∠XCB）＝（∠ABC＋∠ACB）－（∠XBC＋∠XCB）＝150°－90°＝60°.