广东中考数学总复习：第2部分-专题突破-专题十三-几何动态综合题.doc

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专题十三　几何动态综合题

考情分析　2013～2017年解答题第23题均为几何动态综合题，分值为9分．一般以特殊平行四边形或三角形为背景，考查线段长度、角度、点的坐标、菱形或平行四边形的判定、直角或等腰三角形的存在性、与面积有关的函数关系式及最值，涉及解直角三角形、三角形的面积公式、勾股定理、二次函数的性质及最值等．题目一般有3～4问，第一问较为简单，熟练运用基础知识即可；后几问综合性较强，经常用到分类讨论、数形结合思想．

类型点动型综合题

例1　如图1，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0,10），（8,4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从（1,0）出发在x轴正半轴上运动，当点P第一次回到A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）求正方形边长及顶点C的坐标；

（2）当点P在AB上时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出当t为何值时S最大；

（3）如果点P，Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？

若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

图1

思路点拨　解决几何动态问题的关键是“化动为静”，找出几何图形中的自变量与时间t或线段长x的关系，并用函数关系式表示出来，再结合已知条件和图象性质求解．

训练　1.如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm.点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．

图2

（1）当t为何值时，PQ∥BC?

（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；

（3）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？

2.（2017宜昌）正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.

（1）当OM经过点A时，

①请直接填空：

ON__________（可能，不可能）过D点；（图3仅供分析）

②如图4，在ON上截取OE＝OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，EH⊥CD于H，求证：

四边形EFCH为正方形．

（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG＝1.在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO＝4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．

图3　　　　　　图4　　　　　　备用图

类型线动型综合题

例2　如图5，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm.点M从点A出发，在AC上以每秒2cm的速度匀速向点C运动，同时直线PQ从点B出发，沿BA的方向以每秒1cm的速度匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F.连接PM，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．

图5

（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？

（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；

（3）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

训练　3.如图6，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm.长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts.

图6

（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式；（写出自变量t的取值范围）

（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？

若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

4.如图7，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BC＝20cm，AD＝10cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线l从点A沿AD出发，以每秒1cm的速度沿AD方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于M，N，E.当点P到达点C时，点P与直线l同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）在运动过程中（点P不与B，C重合），连接PN，求证：

四边形MBPN为平行四边形；

（2）如图8，以MN为边向下作正方形MFGN，FG交AD于点H，连接PF，PG，当0＜t＜时，求△PFG的面积最大值；

（3）在整个运动过程中，观察图8,9，是否存在某一时刻t，使△PFG为等腰三角形？

若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

图7　　　　　　　图8　　　　　　　图9

类型形动型综合题

例3　已知：

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图10摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm.如图11，△DEF从图10的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？

若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上？

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

图10　　　　　　　　　　图11　

训练　5.如图12所示，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿射线AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s，同时，点Q从点C出发，沿射线CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动，如图13所示，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．

（1）当t＝__________时，PQ∥MN；

（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使得PQ＝QM，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

图12　　　　　　　图13

6.已知矩形OABC的顶点O（0,0），A（4,0），B（4，－3）．动点P从O出发，以每秒1个单位的速度，沿射线OB方向运动．设运动时间为t秒．

（1）求P点的坐标；（用含t的代数式表示）

（2）如图14，以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2，且边PQ⊥y轴．设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S，当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时，运动停止．

①当t＜4时，求S与t之间的函数关系式；

②当t＞4时，设直线MQ，MN分别交矩形OABC的边BC，AB于D，E，是否存在这样的t，使得△PDE为直角三角形？

若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

图14

参考答案

例1　解：

（1）如图1，过点B作BF⊥y轴于F，BE⊥x轴于E，过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，

图1

∵A（0,10），∴OA＝10.

∵B（8,4），∴BF＝8，OF＝4.

∴AF＝10－4＝6.

∴AB＝＝10.

∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＋∠CBH＝90°.

∵∠BAF＋∠ABF＝90°，∴∠BAF＝∠CBH.

又AB＝BC，∠AFB＝∠BHC＝90°，

∴△ABF≌△BCH.

∴BH＝AF＝6，CH＝BF＝8.

∴OG＝FH＝8＋6＝14，CG＝8＋4＝12.

∴点C的坐标为（14,12）．

（2）如图1，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，

∴PM∥BF.

则△APM∽△ABF，∴＝＝.

∴＝＝.∴AM＝t，PM＝t.

∴PN＝OM＝10－t，ON＝PM＝t.

∴S＝PN·OQ＝×（1＋t）＝－t2＋t＋5＝－2＋（0≤t≤10）．

∴当t＝时，S取到最大值．

（3）OP与PQ可以相等，根据等腰三角形的相关性质可知，相等时P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半．

①当P在AB上时，如图1，t＝（t＋1），t＝；

②当P在BC上时，如图2，

图2

则PB＝t－10，sin∠ABF＝sin∠BPM＝＝，

∴＝.∴BM＝（t－10）．

∴ON＝BF＋BM＝8＋（t－10）＝（t＋1）．解得t＝－15（舍去）；

③当P在CD上时，如图3，过点C作CR⊥PN于R，则PC＝t－20，

图3

cos∠PCR＝cos∠BCH＝＝，

∴＝.

∴CR＝NG＝（t－20）．

∴ON＝OG－NG＝14－（t－20）＝（t＋1），

解得t＝.

综上所述，当t＝或时，OP与PQ相等．

训练　1.解：

（1）∵∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，

∴AB＝10cm.

∵BP＝t，AQ＝2t，∴AP＝AB－BP＝10－t.

∵PQ∥BC，∴＝.

∴＝，解得t＝.

即当t＝时，PQ∥BC.

（2）∵S四边形PQCB＝S△ACB－S△APQ＝AC·BC－AP·AQ·sinA，

∴y＝×6×8－×（10－t）·2t·＝24－t（10－t）＝t2－8t＋24.

即y关于t的函数关系式为y＝t2－8t＋24.

（3）△AEQ为等腰三角形分三种情况讨论：

①如果AE＝AQ，那么10－2t＝2t，解得t＝；

②如果AE＝QE，如图4，过点E作EF⊥AQ于F，

图4

则F为AQ的中点，∴AF＝AQ＝t.

又AC⊥BC，∴EF∥BC.

∴sin∠AEF＝sinB＝＝＝.

即＝，解得t＝；

③如果AQ＝QE，可作QM⊥AE于M，

同理可得cosA＝＝，即＝，解得t＝.

故当t为秒或秒或秒时，△AEQ为等腰三角形．

2．

（1）①解：

不可能．

【提示】若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，

∴OA2＞AD2，OD2＞AD2.∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2.

∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过D点．

②证明：

∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°，且∠HCF＝90°.

∴四边形EFCH为矩形．

∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.

在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.

∵∠EFO＝∠B，OE＝OA，

∴△OFE≌△ABO.∴EF＝OB，OF＝AB.

又OF＝CF＋OC＝AB＝BC＝OB＋OC＝EF＋OC，∴CF＝EF.

∴四边形EFCH为正方形．

（2）解：

如图5，∵∠POK＋∠BOG＝∠OGB＋∠BOG＝90°，

图5

∴∠POK＝∠OGB.

∵∠PKO＝∠OBG，∴△PKO∽△OBG.

∵S△PKO＝4S△OBG，

∴＝2＝4.∴OP＝2.

∴S△POG＝OG·OP＝×1×2＝1.

∵S四边形PKBG＝S△POG＋S△PKO＋S△OBG＝1＋5S△OBG，

∴只需求出S△OBG的最大值．

设OB＝a，BG＝b，则a2＋b2＝OG2＝1，∴b＝.

∴S△OBG＝ab＝a＝

＝.

∴当a2＝时，△OBG有最大值为，此时S△PKO＝4S△OBG＝1.

∴四边形PKBG的最大面积为1＋1＋＝.

例2　解：

（1）若四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，

∴AP∶AB＝AM∶AC.

∵AB＝AC，∴AP＝AM，即10－t＝2t，解得t＝.

∴当t＝时，四边形PQCM是平行四边形．

（2）∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC.

∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t.

∴＝，即＝，解得BF＝t.

∴FD＝BD－BF＝8－t.

∴y＝S△ABC－S△APM－S△BPQ＝×10×8－×2t×－×t×t＝t2－8t＋40.

（3）假设存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC，

图6

过M作MH⊥AB，交AB于H，如图6所示，

∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，

∴△AHM∽△ADB.∴＝＝.

又AD＝6，∴＝＝.

∴HM＝t，AH＝t.

∴HP＝10－t－t＝10－t.

在Rt△HMP中，

MP2＝2＋2＝t2－44t＋100，

又MC2＝（10－2t）2＝100－40t＋4t2，MP2＝MC2，

∴t2－44t＋100＝100－40t＋4t2.

解得t1＝，t2＝0（舍去）．

∴t＝秒时，点M在线段PC的垂直平分线上．

训练　3.解：

（1）当点P在AC上时，

∵AM＝t，∴PM＝AM·tan60°＝t.

∴y＝t·t＝t2（0

当点P在BC上时，PM＝BM·tan30°＝（4－t），

∴y＝t·（4－t）＝－t2＋t（1≤t<3）．

（2）∵AC＝2，∴AB＝4.∴BN＝AB－AM－MN＝4－t－1＝3－t.∴QN＝BN·tan30°＝（3－t）．

若要四边形MNQP为矩形，需PM＝QN，且P，Q分别在AC，BC上．

即t＝（3－t），∴t＝.

∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形．

（3）由

（2）知，当t＝s时，

四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC.

除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，

△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝.

∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t.∴CP＝2－2t.

∵＝cos30°＝，∴BQ＝＝（3－t）．

又BC＝2，∴CQ＝2－（3－t）＝.

∴＝，解得t＝.

∴当t＝s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

4．

（1）证明：

∵l⊥AD，BC⊥AD，∴l∥BC.∴＝.

∵AB＝AC，∴AM＝AN.

∵∠BAC＝90°，∴ME＝NE.∴MN＝2AE＝2t.

∵BP＝2t，∴MN＝BP.

∴四边形MBPN为平行四边形．

（2）解：

∵四边形MFGN是正方形，

∴FG＝MN＝MF＝2AE＝2t.

∵EH＝MF＝2t，∴DH＝AD－AH＝10－3t.

∴S△PFG＝FG·DH＝×2t×（10－3t）＝－32＋.

∵－3＜0,0＜t＜，

∴当t＝时，S△PFG最大为.

（3）解：

存在，t＝或.

【提示】如图7，过点F作FK⊥BC于K，过点G作GL⊥BC于L，

图7

则FK＝GL＝DH＝10－3t，

PK＝BD－BP－KD＝10－3t，

PL＝PD＋DL＝10－2t＋t＝10－t.

利用勾股定理得：

PF2＝2（10－3t）2，

PG2＝（10－3t）2＋（10－t）2，FG2＝（2t）2.

当PF＝FG时，2（10－3t）2＝（2t）2，解得t＝；

当PF＝PG时，2（10－3t）2＝（10－3t）2＋（10－t）2，

解得t＝5，或t＝0（舍去）；

当t＝5时，点P为BC中点，而F，P，G三点共线，舍去．

当FG＝PG时，（2t）2＝（10－3t）2＋（10－t）2，

解得t＝，或t＝10（舍去）；

综上所述，t＝或时，△PFG为等腰三角形．

例3　解：

（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP＝AQ.

∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC＝180°，∴∠EQC＝45°.∴∠DEF＝∠EQC.∴CE＝CQ.

由题意知CE＝t，BP＝2t，∴CQ＝t.∴AQ＝8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝10cm，则AP＝10－2t.

∴10－2t＝8－t，解得t＝2.

（2）如图8，过点P作PM⊥BE于M，

图8

∴∠BMP＝90°.

∴sinB＝＝，即＝.

解得PM＝t.

∵BC＝6cm，CE＝t，∴BE＝6－t.

∴y＝S△ABC－S△BPE＝×BC×AC－×BE×PM＝×6×8－×（6－t）×t＝t2－t＋24＝（t－3）2＋.

∵＞0，∴抛物线开口向上．

∴当t＝3时，y最小＝.

（3）假设存在某一时刻t，使点P，Q，F三点在同一条直线上，

如图9，过点P作PN⊥AC于N，

图9

∴∠ANP＝∠ACB＝∠PNQ＝90°.

∵∠PAN＝∠BAC，∴△PAN∽△BAC.

∴＝＝，即＝＝.

解得PN＝6－t，AN＝8－t.

∵NQ＝AQ－AN，∴NQ＝8－t－＝t.

∵∠ACB＝90°，B，C（E），F在同一条直线上，

∴∠QCF＝90°，∠QCF＝∠PNQ.

∵∠FQC＝∠PQN，∴△QCF∽△QNP.

∴＝，即＝，解得t＝1.

训练　5.解：

（1）；

【提示】如图10，由题意得，CQ＝AP＝t，

图10

∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4.∴CP＝4－t.

由平移的性质可得MN∥AB，

∵PQ∥MN，∴PQ∥AB.

∴＝，即＝，解得t＝.

（2）如图11，过点P作PF⊥BC于点F，过点A作AE⊥BC于点E，

图11

由S△ABC＝AB×AC＝AE×BC，

即×3×4＝×5AE，可得AE＝.

∴CE＝＝＝.

∵PF⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥PF.

∴△CPF∽△CAE.

∴＝＝，即＝＝.

∴PF＝，CF＝.

∵PM∥BC，

∴点M到QC的距离h＝PF＝.

∴y＝CQ×h＝×t×＝－t2＋t（0＜t＜4）．

（3）如图12，过点Q作QK⊥PM于点D，QE交AC于点H.

图12

∵PQ＝MQ，∴PK＝KM＝，且KQ⊥BC.

∵∠A＝∠HQC，∠ACB＝∠QCH，

∴△CQH∽△CAB，∴＝，即＝.

∴CH＝t.∴PH＝AC－AP－CH＝4－t－t＝4－t.

易证△PHK∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝.

∴当t＝时，PQ＝QM.

6．解：

（1）设设PN与x轴交于点G，

∵OA＝4，AB＝3，∠OAB＝90°，∴OB＝5.

∵PG∥AB，∴△OPG∽△OBA.

∴＝＝.∴＝＝.

∴OG＝t，PG＝.

∴P点的坐标为.

（2）①当0＜t≤时，S＝t×t＝t2；

当＜t≤时，S＝2×t＝t；

当＜t＜4时，S＝4.

②当QM运动到AB位置时，恰好无公共部分，t＜4＋2，

即t＜.

（ⅰ）当4＜t＜5时，

∠DPE＞∠DBE＝90°，△PDE不可能为直角三角形；

（ⅱ）当t＝5时，

∠DPE＝∠DBE＝90°，此时△PDE是直角三角形；

（ⅲ）当5＜t＜时，如图13，ME＝MN－NE＝2－＝6－t，DM＝MQ－QD＝2－＝5－t.

此时∠DPE＜90°，有∠PDE＝90°或∠PED＝90°两种可能．

若∠PDE＝90°，则＝，

图13

可得＝，

整理得9t2－160t＋675＝0，

解得t＝，应取t＝；

若∠PED＝90°，则＝，

可得＝，

整理得8t2－115t＋425＝0，

注意到Δ＜0，该方程无实数解．

综上所述，符合条件的t的值有两个，t＝5或t＝.