261锐角三角函数.docx

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261锐角三角函数

26.1锐角三角函数第1课时

邢台市内丘县侯家庄中学杜利敏

一，教学目标：

（一）知识与技能：

1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角固定时,它的对边与邻边的比值是固定值,引出正切的概念.

2.理解锐角正切的概念并能根据正切的概念进行计算.

3.会计算特殊角的正切值.

（二）过程与方法

1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现实生活与数学的联系.

2.经历正切概念的形成过程,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力,养成善于观察、勤于思考的良好习惯,同时培养学生的归纳推理能力.

（三）情感态度与价值观

1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.

2.通过主动探究,合作交流,培养学生的合作意识,同时体验成功的快乐.

二，教学重点与难点

【重点】　理解正切函数的意义,并会求锐角的正切值.

【难点】　理解直角三角形中的锐角,它的对边与邻边的比值是固定值.

三，教学准备

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　预习教材P104,106.

四，教学过程

复习提问:

1.直角三角形有哪些特殊性质?

2.有一个锐角是30°的直角三角形有什么特殊性质?

3.有一个锐角是45°的直角三角形有什么特殊性质?

导入:

【课件展示】　如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?

（结果保留两位小数）

教师提问:

该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?

（事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在RtΔABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5km,求BC长度的问题）

【师生活动】　教师提示学生将实际问题转化为数学问题,学生思考回答,教师点评.

[过渡语]　解决此问题,需要用到将要学习的直角三角形边角之间的关系,即锐角三角函数,今天我们学习第一种锐角三角函数——锐角的正切.

[设计意图]　通过问题情境提出如何求轮船距灯塔的距离,激发学生学习和探求新知识的欲望.通过复习和本节课有关的直角三角形的知识导入新课,为本节课的学习做好铺垫.通过导入把实际问题转化为数学问题,让学生初步感知直角三角形中边角之间存在着某种关系,体会生活与数学之间的密切联系.

新知构建：

共同探究　直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值

【课件展示】

如图所示,在RtΔABC中和RtΔA'B'C'中,∠C=∠C'=90°.当∠A=∠A'时,与具有怎样的关系?

思路一

教师引导思考:

（1）如何证明线段成比例?

（三角形相似）

（2）根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?

（∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,∴RtΔABC∽RtΔA'B'C'）

（3）由三角形相似的性质可以得到与之间的关系吗?

∵RtΔABC∽RtΔA'B'C',

∴

（4）你能用语言叙述这个结论吗?

（当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关）

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示后,教师作出点评.

【师生活动】　学生尝试叙述结论,教师归纳完整.

结论:

当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关.

[过渡语]　在上图中的两个直角三角形中,相等的角所对的直角边与邻边的比值是相等的,在下图中,上述结论是否还正确呢?

【课件展示】

思路二

教师展示课件后,小组合作交流,共同探究,写出结论,说明理由.教师对有困难的学生进行分析指导,对学生的展示进行点评.

如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为C,C'.与具有怎样的关系?

【师生活动】　学生类比上边的思考方法,独立思考后,小组内交流答案,教师及时发现问题,及时帮助解决问题.

追问:

根据以上两个图形中角的对边与邻边的比的探究,你能得到什么结论?

【师生活动】　学生独立思考后回答,教师点评,规范归纳的结论.

【课件展示】　在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A（小于90°）确定时,以∠A为锐角的RtΔABC的两条直角边的比是确定的.

[设计意图]　通过教师引导或独立思考后小组合作交流,让学生感知并证明锐角一定时,它的对边和邻边的比是定值,为引出正切的概念做好铺垫,同时培养学生观察、思考及合作交流的能力.

形成概念

　[过渡语]　在直角三角形中,锐角的度数一定时,它所对的直角边与邻边的比是固定值,那么这个固定值被定义为什么呢?

【课件展示】　如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=

.

大家谈谈:

（1）∠A的正切tanA表示的是tan与A的乘积还是一个整体?

（tanA表示的是一个整体）

（2）当∠A的大小变化时,tanA是否变化?

（tanA随着∠A的大小变化而变化）

（3）tanA有单位吗?

（tanA是一个比值,没有单位）

（4）∠B的正切怎么表示?

tanA与tanB之间有怎样的关系?

（5）要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?

（需要知道这个锐角的对边和邻边）

（6）若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗?

（根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解）

【师生活动】　学生独立思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点评.

[设计意图]　在解决一系列的问题中,经历建立数学概念的过程,让学生全面理解正切的概念、写法和意义,教师强调概念中注意的事项,使学生加深对正切概念的理解和掌握.

例题讲解

　（教材105页例1）在RtΔABC中,∠C=90°.

（1）如图

（1）所示,∠A=30°,求tanA,tanB的值.

（2）如图

（2）所示,∠A=45°,求tanA的值.

【师生活动】　学生独立思考完成,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师巡视、观察学生的解答情况,对发现的问题及时解决,并对学生的展示进行点评和规范做题步骤.

[设计意图]　学生独立完成该问题的理解和解答,巩固了对正切的概念的理解和应用,为下节课学习特殊角的三角函数值做好铺垫,同时教师规范学生的解题过程,让学生体会数学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力.

课堂小结：

1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与邻边的比值是一个固定值.

2.正切的定义:

在RtΔABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA。

五，检测反馈：

1.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,三边分别为a,b,c,则tanA等于（　　）

2.把ΔABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值（　　）

A.不变B.缩小为原来的

C.扩大为原来的3倍D.不能确定

解析:

因为ΔABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正切值也不变.故选A.

3.已知RtΔABC中,∠C=90°,tanA=,BC=12,则AC等于　　　　. 

tan30°

4.计算2tan45°+3

解析:

根据正切定义可得tanA=,所以AC=9.故填9

tan80°

5.tan30tan60°

6.tan10°

六，归纳小结（主要由学生完成）

1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与邻边的比值是一个固定值.

2.正切的定义:

在RtΔABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=

.

板书设计

26.1锐角三角函数第1课时

共同探究　直角三角形中锐角一定时，它的对边与邻边的比是定值

形成概念

例题讲解

七，作业布置：

必做题：

教材第106页习题A组第1,2题.

选做题：

教材第106页习题B组第1,2题.

八，教学反思：

成功之处：

本节课通过复习特殊角直角三角形的性质,为探究锐角的正切概念做好铺垫,同时以具体情境引入新课,让学生体会数学与生活息息相关,激发学生学习兴趣,并初步感受直角三角形中边角之间的关系.然后通过学生自主探究、合作交流等数学活动,归纳出结论:

直角三角形中锐角一定时,它的对边与邻边的比相等.从而自然引出正切的概念,顺理成章完成知识的迁移,培养了学生发现问题、探究思考与合作交流的能力.在课堂上,学生参与意识较强,课堂气氛活跃,让不同的学生得到不同的发展,突出了学生在课堂上的主体作用.

不足之处：

本节课通过探究直角三角形中锐角的对边和邻边的比是固定值,由此归纳总结正切定义.在教学设计中,注重知识间的联系,由前边所学知识自然推导结论,由结论自然导出正切概念,但在授课过程中忽略了学生的认知能力,部分学生对正切的理解有困难.在以后的教学中,给出正切定义后,应给出几个简单的练习题,加深学生对概念的理解和掌握。