高考数学大一轮复习 第10章 概率学案 文 新人教版.docx
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高考数学大一轮复习第10章概率学案文新人教版
2019-2020年高考数学大一轮复习第10章概率学案文新人教版
一、随机事件及其概率
1．事件的分类
2．频率与概率
（1）在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝
为事件A出现的频率．
（2）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）．
【拓展延伸】 频率与概率的区别
频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．
二、事件的关系与运算
名称
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）
B⊇A
（或A⊆B）
相等关系
若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件
（和事件）
某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
A∪B
（或A＋B）
交事件（积事件）
某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
A∩B（或AB）
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
【拓展延伸】 1.并（和）事件的三层含义
①事件A发生，事件B不发生；②事件A不发生，事件B发生；③事件A，B都发生．即事件A，B至少有一个发生．
2．互斥事件的三种情形
①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B都不发生．
三、概率的几个基本性质
1．概率的取值范围：
0≤P（A）≤1.
2．必然事件的概率：
P（E）＝1.
3．不可能事件的概率：
P（F）＝0.
4．概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．
5．对立事件的概率：
若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）．
【拓展延伸】 概率加法公式的推广
1．当一个事件包含多个结果时要用到概率加法公式的推广，即P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．
2．P（
）＝1－P（A1∪A2∪…∪An）＝1－P（A1）－P（A2）－…－P（An）．
注意涉及的各事件要彼此互斥．
[基础能力提升]
1．下列说法正确的是（ ）
①事件发生的频率与概率是相同的；
②随机事件和随机试验是一回事；
③在大量重复试验中，概率是频率的稳定值；
④两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生．
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【解析】 由概率与频率的关系可知①错误，③正确，因为随机试验与随机事件不同，故②错误，所以选B.
【答案】 B
2．一个人做掷骰子（均匀的正方体形状的骰子）游戏，在他连续掷5次都掷出奇数点朝上的情况下，掷第6次，奇数点朝上的概率是（ ）
A.
B．
C.
D.
【解析】 由于每次试验出现哪个结果是等可能的，故掷第6次，奇数点朝上的概率为
.
【答案】 A
3．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
【解析】 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．
∴②中两事件是对立事件．
【答案】 B
4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65
C．0.35D．0.5
【解析】 “抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，
∴所求概率P＝1－P（A）＝0.35.
【答案】 C
1．一个技巧——从集合角度理解互斥和对立事件
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的，集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件
所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．两种方法——解决互斥事件的概率
（1）直接法：
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
（2）间接法：
先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（
）求解，即运用逆向思维（正难则反）．
（文）第二节 古典概型
[基础知识深耕]
一、基本事件的特点
1．任何两个基本事件是互斥的．
2．任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
【方法技巧】 古典概型中基本事件的探求方法
（1）枚举法：
适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
（2）树状图法：
适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有序的，如（1,2）与（2,1）不同．有时也可以看成是无序的，如（1,2）（2,1）相同．
二、古典概型
1．定义
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2．古典概型的概率公式
P（A）＝
.
【方法技巧】 巧用集合中的元素个数求古典概型的概率
从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P（A）＝
＝
.
[基础能力提升]
1．下面关于古典概型的说法正确的个数为（ ）
①我们所说的试验都是古典概型；
②“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”；
③掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件；
④从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 依据“有限性和等可能性”可知①②③④均错误．
【答案】 A
2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有
（ ）
A．（男，女），（男，男），（女，女）
B．（男，女），（女，男）
C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D．（男，男），（女，女）
【解析】 由基本事件的特点可知，该问题的所有可能基本事件为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）．
【答案】 C
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）
A.
B．
C.
D.
【解析】 甲、乙、丙三名同学站成一排，有6个基本事件，其中甲站在中间的基本事件有2个，故所求概率为P＝
＝
.
【答案】 C
4．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
【解析】 从1,2,3,4中随机取两个数，不同的结果为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共有6个基本事件．满足一个数是另一个数两倍的取法有{1,2}，{2,4}共两种，∴所求事件的概率P＝
＝
.
【答案】
1．一个判断标准——古典概型的判断
试验结果有限且等可能．
2．两种常用方法——古典概型计数法
（1）列举法；
（2）树状图法．
第三节 几何概型
[基础知识深耕]
一、几何概型
1．定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．特点
（1）无限性：
试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
（2）等可能性：
每个试验结果发生的可能性是均等的
【拓展延伸】 古典概型与几何概型的异同点
几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的，一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．
二、几何概型的概率公式
P（A）＝
.
【拓展延伸】 在几何概型中，如果A是随机事件，
（1）若A是不可能事件，则P（A）＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P（A）＝0不能推出A是不可能事件．
（2）若A是必然事件，则P（A）＝1肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因此由P（A）＝1不能推出A是必然事件．
[基础能力提升]
1．下列说法正确的是（ ）
①在一个正方形区域内任取一点的概率是零．
②几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．
③在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．
④随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．
A．①②B．②③
C．③④D．①②③④
【解析】 由几何概型的特征可知①②③④均正确．
【答案】 D
2．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】 试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝
.
【答案】 C
图1031
3．如图1031，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）
A.
B．
C.
D.
【解析】 “点Q取自△ABE内部”记为事件M，由几何概型得P（M）＝
＝
＝
.
【答案】 C
4．如图1032所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撤300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为________．
图1032
【解析】 由几何概型得
＝
，
即S椭圆＝16.32.
【答案】 16.32
1．一个区别——古典概型同几何概型的区别
区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．
2．三种转化——长度型、面积型及体积型几何概型
（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；
（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．
2019-2020年高考数学大一轮复习第10章第1节随机事件的概率课时提升练文新人教版
一、选择题
1．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
（1）恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
（2）至少有一个是奇数和两个都是奇数；
（3）至少有一个是奇数和两个都是偶数；
（4）至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．
（1） B．
（2）（4） C．（3） D．
（1）（3）
【解析】 （3）中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：
“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．易知其余都不是对立事件．
【答案】 C
2．从存放号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
A．0.53B．0.5
C．0.47D．0.37
【解析】 取到号码为奇数的卡片的次数为：
13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为
＝0.53.故选A.
【答案】 A
3．（xx·山西重点中学联考）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
【解析】 对于A，两事件是包含关系，对于B，两事件是对立事件，对于C，两事件可能同时发生．
【答案】 D
4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】 从5个球中任取3个共有10种方法．
又“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”，因而所求概率P＝1－
＝
.
【答案】 D
5．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是
，那么概率是
的事件是
（ ）
A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
【解析】 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.
【答案】 A
6．（xx·陕西高考）对一批产品的长度（单位：
毫米）进行抽样检测，图1012为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25）上为一等品，在区间[15,20）和[25,30）上为二等品，在区间[10,15）和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（ ）
图1012
A．0.09B．0.20
C．0.25D．0.45
【解析】 由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
【答案】 D
二、填空题
7．若A、B为互斥事件，P（A）＝0.4，P（A∪B）＝0.7，则P（B）＝________.
【解析】 因为A、B为互斥事件，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B），故P（B）＝P（A∪B）－P（A）＝0.7－0.4＝0.3.
【答案】 0.3
8．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P（A）＝
，P（B）＝
，则出现奇数点或2点的概率为________．
【解析】 由题意知“出现奇数点”的概率是事件A的概率，“出现2点”的概率是事件B的概率，事件A，B互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P（A）＋P（B）＝
＋
＝
.
【答案】
9．某城市xx年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市xx年空气质量达到良或优的概率为________．
【解析】 由题意可知xx年空气质量达到良或优的概率为P＝
＋
＋
＝
.
【答案】
三、解答题
10．（xx·唐山模拟）某种水果的单个质量在500g以上视为特等品，随机抽取1000个水果，结果有50个特等品，将这50个水果的质量数据分组，得到下面的频率分布表：
（1）估计该水果的质量不少于560g的概率；
（2）若在某批该水果的检测中，发现有15个特等品，据此估计该批水果中没有达到特等品的个数．
分组
频数
频率
[500,520）
10
[520,540）
0.4
[540,560）
0.2
[560,580）
8
[580,600]
合计
50
1.00
【解】
（1）由已知，可得完整数据的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[500,520）
10
0.2
[520,540）
20
0.4
[540,560）
10
0.2
[560,580）
8
0.16
[580,600]
2
0.04
合计
50
1.00
可得该水果的质量不少于560g的概率
P＝0.16＋0.04＝0.2.
（2）设该批水果中没有达到特等品的个数为x，则有
＝
，解得x＝285.
11．（xx·陕西高考）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）
0
1000
2000
3000
4000
车辆数（辆）
500
130
100
150
120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
【解】
（1）设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A）＝
＝0.15，P（B）＝
＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100（辆），而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为
＝0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
12．（xx·北京高考）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：
小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
[0,2）
6
2
[2,4）
8
3
[4,6）
17
4
[6,8）
22
5
[8,10）
25
6
[10,12）
12
7
[12,14）
6
8
[14,16）
2
9
[16,18]
2
合计
100
图1013
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．（只需写出结论）
【解】
（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10（名），所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－
＝0.9.从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
（2）课外阅读时间落在组[4,6）的有17人，频率为0.17，
所以a＝
＝
＝0.085.
课外阅读时间落在组[8,10）的有25人，频率为0.25，
所以b＝
＝
＝0.125.
（3）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．
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