中考数学三角函数综合复习.docx
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中考数学三角函数综合复习
四）锐角三角函数
考点精要解析
考点一：
锐角三角函数的概念
1．定义：
在Rt?
ABC中，锐角A的正弦、余弦和正切统称为锐角A的三角函数．
考点二：
特殊角的三角函数
30o，45o，60o特殊角的三角函数
三角函数
锐角
sin
cos
tan
30o
1
2
3
2
3
3
45o
2
2
2
2
1
60o
3
2
1
2
3
考点二：
解直角三角形1．直角三角形的性质
在Rt?
ABC中，∠C=90o，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，斜边中线长为d．
边的关系
2221
a2b2c2（勾股定理）；d2c（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
角的关系
∠A+∠B=90o
边角关系
A的对边aA的邻边bA的对边a
sinA=；cosA=；tanA=斜边c斜边cA的邻边b
2．解直角三角形
（1）定义：
由直角三角形中除直角外的已知元素，求所有未知元素的过程，叫作解直角三角形．
2）解直角三角形的基本类型
类型
已知
解法
两边
两直角边a，b
ca2b2；由tanA=a，求∠A；∠B=90o-∠Ab
一直角边a，斜边c
22a
bca；由sinA，求∠A；∠B=90o-∠A
c
一边一锐角
一直角边a，锐角A
∠B=90o-∠A，bagtanB，ca
sinA
斜边c，锐角A
∠B=90o-∠A，acgsinA，bcgcosA
注：
有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中，化斜为直．
（3）几种常见的三角形：
B
C
A
A
c
ba
图形
a
C
30°
45°
30°
45°
60°
45°
bA
AcB
BDC
BD
C
角度
30°，60°
45°，45°
30°
，45°
60°
，45°
三边
a∶
b∶c＝1∶3∶2
a∶b∶c＝1∶3∶2
之比
辅助线
过A作
AD⊥BC
过A作
AD⊥BC
考点四：
解直角三角形的应用
1．相关概念：
（1）仰角和俯角：
它们都是视线与水平线所成的角，如图4—2—83（a）所示，视线在水平线上方的角叫作仰角，视
线在水平线下方的角叫作俯角．
（2）坡度与坡角：
如图4—2—83（b）所示，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫作坡度（坡比）．用字母i表示，即ih．把坡面与水平面的夹角，记作（叫作坡角），那么ih＝tan．
ll
（3）指北或指南方向线与与目标方向线所成的小于90°的角，叫作方向角．如图4—2—83（c）所示，OA，OB，OC，
OD的方向角分别为：
北偏东30°，南偏东45°（东南方向），南偏西30°，北偏西45°（西北方向）．
2．运用解直角三角形的方法解决简单的实际问题，要善于将实际问题的数量关系归纳为直角三角形的边角关系，然后再进行求解．
高频考点过关
例题1．在平面直角坐标系中
考点一：
锐角三角函数的概念
P是第一象限的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正方向
4
的夹角α的正切值是，则sinα＝，cosα＝
3
答案：
4；3．
55
考点二：
特殊角的三角函数值
例题2．计算：
6tan230°－3sin60°－cos45°．解：
原式＝6×（3）2－3×3－2＝12．
3222
考点三：
解直角三角形例题3．如图4—2—84所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上．若DB＝6，
12
AD＝CD，sin∠CBD＝，求AD的长和tanA的值．23
2
解：
在Rt△DBC中，∠C＝90°，sin∠CBD＝，DB＝6
3
2
∴CD＝DB·sin∠CBD＝6×＝4，
3
洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图4—2—85所示，某日在我国钓鱼岛附近海域有两
艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔
政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）解：
如图4—2—85所示，过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝30°．
2
在Rt△ABD中，BD＝AB?
sin∠BAD＝20×＝102（海里），
2
在Rt△BCD中，BC＝2BD＝202（海里）．
答：
此时船C与船B的距离是202海里．
高频考点过关
4
真题7．（安顺中考）在Rt△ABC中，∠A＝90°，tanA＝，BC＝8，则△ABC的面积为．
3
4
真题8．（扬州中考）在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝，则BC＝．
5
真题9．（杭州中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：
①sinA＝3；
2
13
②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝3，其中正确的结论是．（只需
23
填上正确结论的序号）
真题10．（东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图4—2—88所示，
在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，
则旗杆AB的高度为米．
真题11．（南充中考）如图4—2—89所示，正方形ABCD的边长为22，过A作AE⊥AC，
真题12．（聊城中考）如图4—2—90所示，一只猫头鹰蹲在一
棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进
短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻
找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，
短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C
点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE
上）距D点3米．（参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？
为什么？
0.1米）？
2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到
真题13．（六盘水中考）阅读材料：
关于三角函数还有如下公式：
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
1）计算：
sin15
2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（如图4—2—91（a）所示），小华想用所
学知识来测量该铁塔的高度，如图4—2—91（b）所示，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助
小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据：
3≈1.732，2≈1.,414）
4—2—91
真题14．（苏州中考）如图4—2—92所示，在一笔直的海岸线
l上有A，B两个观测站，A
在B的正东方向，AB＝2（单位：
km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B
测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）
创新思维训练
创新1．将一副三角板拼成图4—2—93所示的图形，DE与AC相较于F，AB∥CE，BC＝2，
创新2．如图4—2—94所示，在△ABC中，AD⊥BC．
（1）若tanB＝sinC，
5
①求证：
AC＝BD；②若cos∠DAC＝，BC＝15，求AD的值．
13
（2）若∠B＝45°，求tan∠BAD的值．
创新3．定义：
如图4—2—95（a）所示，在Rt△ABC中，直角三角形的斜边与锐角α的邻边
的比叫作角α的正割，记作secα．即secα＝
斜边
∠的邻边
AB
AC
根据正割的定义，解决下列问题：
1）sec60°＝．
3
2）如图4—2—95（a）所示，已知tanA＝，求secA的值．
4
3）如图4—2—95（b）所示，在Rt△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AD＝1，
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