是实数}便是集合{
，其中x是实数}的简略表示,不难明白这个集合实际上是由全体非负实数构成的．集合表示方式中的竖线“|”也可用冒号“：
”或分号“；”来代替．
（3）列举法：
也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合．例如{
}表示由元素
构成的集合．如果确实不至于发生混淆，在用列举的办法表示集合时容许某种省略．例如，有时我们可以用{1，2，3，…}表示全体正整数构成的集合，用{1，3，5，…}表示全体正奇数相成的集合．但我们并不鼓励这种做法，因为后面的规律不是很清楚，容易产生误解．我们再三提请读者注意：
不管你用任何一种方式定义集合，最重要的是不允许产生歧义，也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的．
在本书中，我们用：
表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；
Z表示全体整数构成的集合，称为整数集；
Q表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；
R表示全体实数构成的集合，称为实数集；
并且假定读者熟知这些集合．
以下是一些常用的记号：
∈：
表示元素与集合的关系，如：
x∈X，x∈{x}等
：
表示集合与集合的关系，如：
A
B（等价于
）
（这个记号即是通常数学课本中的
）
：
表示与上述相反的含义．
=：
表示两个集合相等，如：
A=B（等价于
）
以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也是自明的．
定理1.1.1 设A，B，C都是集合，则
（l）A＝A；
（2）若A＝B，则B＝A；
（3）若A＝B，B=C，则A＝C．
定理1.1.2 设A，B，C都是集合，则
（l）A
A；
（2）若A
B，B
A，则A＝B；
（3）若A
B，B
C，则A
C．
证明（l）显然．
（2）A
B意即：
若x∈A，则x∈B；
B
A意即：
若x∈B，则x∈A．这两者合起来正好就是A＝B的意思．
（3）x∈A．由于A
B，故x∈B；又由于B
C，从而x∈C．
综上所述，如果x∈A就有x∈C．此意即A
C．
因为空集
不含任何元素，所以它包含于每一个集合之中．由此我们可以得出结论：
空集是惟一的．
设A，B是两个集合．如果A
B，我们则称A为B的子集；
如果A是B的子集，但A又不等于B，即A
B，A≠B，也就是说A的每一个元素都是B的元素，但B中至少有一个元素不是A的元素，这时，我们称A为B的真子集.
我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，并且为了强调这一特点，这类集合常称为集族.例如，A={{1},{1,2},{1,2,3}}是一个集族.它的三个元素分别为:
{1},{1,2},{1,2,3}及
.
设X是一个集合，我们常用P（X）表示X的所有子集构成的集族，称为集合X的幂集．例如，集合{1,2}的幂集是P={{1},{1,2},{2},
}.
本章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论．在这种集合论中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的．正因为如此，历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解朴素的集合已是足够的了，只是要求他们在运用的时候保持适当的谨慎，以免导致逻辑矛盾．例如，我们应当知道一个集合本身不能是这个集合一个元素．即：
若A是集合则A∈A不成立．这一点是容易理解的．例如，由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学生．因此，我们不能说“所有集合构成的集合”，因为如果有这样一个“集合”的话，它本身既是一个集合，就应当是这个“所有集合构成的集合”的一个元素了．也因此，我们应当能够了解一个元素a和仅含一个元素a的单点集{a}是两回事，尽管我们有时为了行文的简便而在记号上忽略这个区别．
作业：
掌握集合、元素的概念、表示法
熟练区分“∈”与“
”的意义
§1.2 集合的基本运算
在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种运算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本关联．
定义1.2.1 设A与B是两个集合．
集合{x|x∈A或x∈B}称为集合A与集合B的并集或并，记作AUB，读为A并B．
集合{x|x∈A且x∈B}称为集合A与集合B的交集或交，记作A∩B，读为A交B．若A∩B=
，则称集合A与集合B无交或不相交；反之，若
A∩B≠
，则称集合A与集合B有（非空的）交．
集合{x|x∈A且x
B}称为集合A与集合B的差集，记作A＼B或A－B，读为A差B，或A减B．
关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律．
定理1.2.1 设A，B，C都是集合．则以下等式成立：
（1）幂等律
A∪A＝A
A∩A=A
（2）交换律
A∪B＝B∪A A∩B=B∩A
（3）结合律
（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）
（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）
（4）分配律
（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C）
（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C）
（5）DeMongan律
A-（BUC）=（（A-B）∩（A-C）
A-（（B∩C）＝（A-B）U（A-C）
集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联．
定理1.2.2 设A，B是两个集合．下列三个条件等价：
（l）A
B；
（2）A∩B＝A；
（3）A∪B＝B．
定义1.2.2 设X是一个基础集．对于X的任何一个子集A，我们称X－A为A（相对于基础集X而言）的补集或余集记作
．
我们应当提醒读者，补集
的定义与基础集的选取有关．所以在研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个工作过程中基础集必须保持不变．
定理1.2.3 设X是一个基础集．若A，B为X的子集，则
以上证明均只须用到集合的各种定义,此处不证,略去.
作业:
熟记这两节的各种公式.
掌握证明两个集合A=B与A
B的基本方法
（
）
§1.3 关系
我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系．为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念．
定义1.3.1 设X和Y是两个集合．集合
{（x，y）|x∈X，y∈Y}
称为X与Y的笛卡儿积，记作X×Y，读为X叉乘Y．其中（x，y）是一个有序偶，x称为（x，y）的第一个坐标，y称为（x，y）的第二个坐标．X称为X×Y的第一个坐标集，Y称为X×Y的第二个坐标集．集合X与自身的笛卡儿积X×X称为X的2重（笛卡儿）积，通常简单记作
．
有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的，有时容易混淆．因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明，以避免误解．
给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合，这个办法对于读者并不陌生．以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合，通过直线构作平面时，用的都是这个办法．
我们应当注意，一般说来集合X与集合Y的笛卡儿积X×Y完全不同于集合Y与集合X的笛卡儿积Y×X．
定义1.3.3 设X，Y是两个集合．如果R是X与Y的笛卡儿积X×Y的一个子集，即R
X×Y，则称R是从X到Y的一个关系．
定义1.3.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系，即R
X×Y．如果（x，y）∈R，则我们称x与y是R相关的，并且记作xRy．如果A
X，则Y的子集
{y∈Y|存在x∈A使得xRy}
称为集合A对于关系R而言的象集，或者简单地称为集合A的象集，或者称为集合A的R象，并且记作R（A），R（X）称为关系R的值域．
关系的概念是十分广泛的．读者很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数（映射），等价，序，运算等等概念都是关系的特例．这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的关系，一个是X×Y本身，另一个是空集φ．请读者自己对它们进行简单的考查．
定义1.3.5 设R是从集合X到集合Y的一个关系，即R
X×Y．这时笛卡儿积Y×X的子集
{（y，x）∈Y×X|xRy}
是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记作
．如果B
Y，X的子集
（B）是集合B的
象,我们也常称它为集合B对于关系R而言的原象，或者集合B的R原象．特别，关系
的值域
（Y）也称为关系R的定义域．
定义1.3.6 设R是从某个X到集合Y的一个关系，即R
X×Y，S是从集合y到集合Z的一个关系，即S
Y×Z．集合{（x，z）∈X×Y|存在y∈Y使得xRy并且ySz}是笛卡儿积X×Z的一个子集，即从集合X到集合Z的一个关系，此关系称为关系R与关系S的复合或积，记作S
R．
定理1.3.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系．则：
证明（略）
定理1.3.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从某个Y到集合Z的一个关系．则对于X的任意两个子集A和B，我们有：
（1）R（A∪B）＝R（A）∪R（B）；
（2）R（A∩B）
R（A）∩R（B）；
（3）（S
R）（A）＝S（R（A））．
证明（略）
在本节的最后我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念，它是两个集合的笛卡儿积的概念的简单推广．
定义1.3.7 设
是n＞1个集合．集合
称为
的笛卡儿积，并且记作
或者
其中
为有次序的n元素组，
（i=1,2,…n）称为n元素组
的第i个坐标，
（i＝1，2，…，n）称为笛卡儿积
的第i个坐标集．
n＞1个集合X的笛卡儿积X×X×…×X常简单地记作
n个集合的笛卡儿积的概念读者必然也不会感到陌生，在线性代数中n维欧氏空间作为集合而言就是n个直线（作为集合而言）的笛卡儿积．
需要提醒读者的是，如果你在给定的n个集合中交换了集合的次序，一般说来得到的笛卡儿积会是完全不同的集合．至今我们并未定义“0个集合的笛卡儿积”，此事将来再以某种方式补充．（参见§9．1）
作业:
理解“关系”的概念,掌握“关系”与“映射”的异同,“映射”与“函数”的异同.（映射要求象惟一,关系没要求.函数要求定义域与值域是数域,而映射不一定）
掌握运算乘积的概念与性质
掌握集合的笛卡儿积中元素的形式
§1.4 等价关系
初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间．
定义1.4.1 设X是一个集合．从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△（X）或△．
定义1.4.2 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果△（X）
R，即对于任何x∈X，有xRx；关系R称为对称的，如果
，即对于任何x，y∈X，如果xRy则yRx；关系R称为反对称的，如果
，即对于任何x，y∈X，xRy和yRx不能同时成立；关系R称为传递的，如果R
R
R，即对于任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz．
集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系．
容易验证集合X中的恒同关系△（X）是自反、对称、传递的,因此是X中的一个等价关系．
集合X的幂集P（X）中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P（X）×P（X）的子集
{（A，B）|A，B∈P（X），A=B}
从定理1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系．
集合X的幂集P（X）中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P（X）×P（X）的子集
{（A，B）|A，B∈P（X），A
B}
根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P（X）中的一个等价关系．
集合X的幂集P（X）中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“真子集关系”可以理解为集合P（X）×P（X）的子集
{（A，B）|A，B∈P（X），A
B,A≠B}
根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P（X）中的一个等价关系．
实数集合R中有一个通常的小于关系＜，即R×R的子集
{（x，y）|x，y∈R，x＜y}
容易验证关系＜是反对称的，传递的，但不是自反的．
设p是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系≡p如下：
={（x，y）∈Z×Z|存在n∈Z使得x－y=np}
关系
常称为模p等价关系，容易验证模p等价关系
是自反的，对称的，传递的，因此是Z中的一个等价关系．
定义1.4.3 设R是集合X中的一个等价关系．集合X中的两个点x，y，如果满足条件：
xRy，则称x与y是R等价的，或简称为等价的；对于每一个x∈X，集合X的子集：
{y∈X|xRy}称为x的R等价类或等价类，常记作
或[x]，并且任何一个y∈
都称为R等价类
的一个代表元素；集族{
|x∈X}称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记作X／R．
我们考虑整数集合Z中的模2等价关系
易见，1
3和2
8．因此1与3是
等价的，2和8也是
等价的．整数2所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素．此外易见，商集Z/
有且仅有两个元素：
一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合．
下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.
定理1.4.1 设R是非空集合X中的一个等价关系．则：
（1）如果x∈X，则x∈
，因而
；
（2）对于任意x，y∈X，或者
=
，或者
证明
（1）设x∈X，由于R是自反的，所以xRx，因此x∈
∴
≠
．
（3）对于任意x，y∈X，如果，设z∈[x]∩[y].此时有zRx,且zRy．由于R是对称的，所以xRz．又由于R是传递的，所以xRy．
对于任何一个t∈
，有tRx，由上述xRy和R的传递性可见tRy，即t∈
．这证明
同理可证
．因此
=
（注意:
要证或者…或者…,应从以下入手:
否定掉一个,去证另一个）
在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p的等价关系
将整数集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作
，称为整数x的模p同余类．
让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：
首先将固定向量定义为平面（或n维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合（暂时记为X）中定义一个关系～，使得两个固定向量x和y～相关（即x～y）当且仅当x能通过平面（或n维欧氏空间）的一个平移与y重合．容易验证这个关系～是X中的一个等价关系．每一个～等价类便称为一个自由向量．
作业:
熟练掌握等价关系,等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成
§1.5 映射
数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线性代数中的线性变换概念等等都是读者所熟知的概念．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的映射概念．
定义1.5.1 设F是从集合X到集合Y的一个关系．如果对于每一个x∈X存在惟一的一个y∈Y使得xFy，则称F是从X到Y的一个映射，并且记作F：
X→Y．换言之，F是一个映射，如果对于每一个x∈X：
（1）存在y∈Y，使得xFy；
（2）如果对于
∈Y有
和
，则
．
定义1.5.2 设X和Y是两个集合，F：
X→Y（读做F是从X到Y的一个映射）．对于每一个x∈X，使得xFy的唯一的那个y∈Y称为x的象或值，记作F（x）；对于每一个y∈Y，如果x∈X使得xFy（即y是x的象），则称x是y的一个原象（注意：
y∈Y可以没有原象，也可以有不止一个原象）．
由于映射本身便是关系，因此，如果F是从集合X到集合Y的一个映射，那么：
（1）对于任何A
X，象F（A）有定义，并且
F（A）={F（x）|x∈A}
（2）对于任何B
Y，原象
（B）有定义，并且
（B）={x∈X|F（x）∈B}（注意:
（x）与
（{x}）的异同,前者不一定有意义,而后者总存在；前者表示元素，后者表示集合）
（3）如果Z也是一个集合并且G：
Y→Z，则关系的复合G
F作为一个从X到Z的关系有定义；
（4）
作为从Y到X的一个关系有定义，但一般说来
不是一个从Y到X的映射（这要看F是否是一一映射）；
（5）F的定义域有定义，并且它就是X；（意味着X中的每个元素都必须有象）
（6）F的值域有定义，并且它就是F（X）．（F（X）不一定充满Y）
定理1.5.1 设X，Y和Z都是集合．如果F：
X→Y和G：
Y→Z，则G
F：
X→Z；并且对于任何x∈X，有
G
F（x）＝G（F（x））（这实际上是映射的积的本质）
证明（略）（但要理解上式等号左右两边的不同含义,前者是两个映射的积（也是一个映射）作用在x上,后者是F先作用在x上,然后G再作用在F（x）上）．
今后我们常用小写字母f，g，h，……表示映射．
定理1.5.2 设X和Y是两个集合，f:
X→Y．如果A，B
Y
则
（1）
（A∪B）＝
（A）∪
（B）；
（2）
（A∩B）＝
（A）∩
（B）；
（3）
（A-B）＝
（A）-
（B）．
简言之，映射的原象保持集合的并，交，差运算．
证明（略）．
定义1.5.3 设X和Y是两个集合，X→Y．如果Y中的每一个点都有原象（即f的值域为Y，亦即f（X）=Y），则称f是一个满射，或者称f为一个从X到Y上的映射；如果X中不同的点的象是Y中不同的点（即对于任何
，如果
，则有
，则称f是一个单射；如果f既是一个单射又是一个满射，则称f为一个既单且满的映射，或者一一映射．
如果f（X）是一个单点集，则称f是一个常值映射，并且当
f（X）={y}时，我们也说f是一个取常值y的映射．
易见，集合X中的恒同关系△（X）是从X到X的一个一一映射，我们也常称之为（集合X上的）恒同映射或恒同，有时也称之为单位映射，并且也常用记号
或i：
X→X来表示它．根据定义易见，对于任何x∈X，有i（x）=x．概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射．
由于下面的这个定理，一一映射也称为可逆映射．
定理1.5.3 设X和Y是两个集合．又设f:
X→Y．如果f是一个一一映射，则
便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写
：
Y→X），并且是既单且满的．此外我们还有：
和
证明（略）
定理1.5.4 设X，Y和Z都是集合，f:
X→Y，g：
Y→Z．如果f和g都是单射，则gof:
X→Z也是单射；如果f和g都是满射，则g
f:
X→Z也是满射．因此，如果f和g都是一一映射，则g
f:
X→Z也是一一映射．
这个定理的证明留给读者．
定义1.5.4 设X和Y是两个集合，A是X的一个子集．映射f:
X→Y和g：
A→Y如果满足条件g
f即对于任何a∈A有f（a）=g（a），则称g是f的限制，也称f是g的一个扩张，记作
．特别地，恒同映射
：
X→X在X的子集A上的限制
：
A→X称为内射．这时我们有对于任何a∈A，
（a）=a．
将映射定义作为一种特别的关系，从理论上来说是十分清晰的．这样做的本意在于使得在我们的理论系统中除了“集合”和“元素”不再有任何未经定义的对象．如果每一次定义一个映射都要将这个映射写成它的定义域与值域的笛卡儿积的一个子集，这毕竟是件麻烦事；因此我们在定义映射时宁愿采用我们从前惯用的办法：
为定义域中的每一个点指定值域中的一个点作为它的象．以下我们定义往后经常要用到的两个映射作为例子．
定义1.5.5 设
是n＞0个集合，1≤i≤n．从笛卡儿积
到它的第i个坐标集
的投射（或称第i个投射）
：
X→
定义为对于每一个
定义1.5.6 设R是集合X中的一个等价关系．从集合X到它的商集X/R的自然投射：
p:
X→X/R定义为对于每一个x∈X，p（x）=
．
作业:
熟练掌握本节的所有定义与定理；
注意定理1.3.2
（2）与定理1.5.2的区别；
熟练记忆P23习题1.2与定理1.5.2．
§1.6 集族及其运算
设Γ是一个集合．如果对于每一个γ∈Γ，指定了一个集合A，我们就说给定了一个有标集族
，或者在不至于引起混淆的情形下干脆说给定了一个集族
，同时Γ称为（有标）集族
的指标集．
定理1.6.2 设
是一个非空的有标集族，A是一个集合．则
（1）对于任何
升级会员 