几种常见不等式的解法.docx

几种常见不等式的解法.docx

《几种常见不等式的解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几种常见不等式的解法.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

几种常见不等式的解法

题目高中数学复习专题讲座一几种常见解不等式的解法高考要求

不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的

重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年

年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式重难点归纳

解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题

原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题

（1）熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）的解法

（2）掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法

（3）掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法

（4）掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法

（5）在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式

（6）对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论典型题例示范讲解

例1已知f（x）是定义在[—1,1:

上的奇函数，且f

（1）=1，若m、n€[—

丄f（m）f（n）门

1,1],m+nM0时——>0

mn

（1）用定义证明f（x）在[—1,1]上是增函数；

11

⑵解不等式f（x+）vf（）；

2x1

⑶若f（x）wt2—2at+1对所有x€[—1,1],a€[—1,1]恒成立，求实数t的取值范围

命题意图本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析

能力与化归能力

知识依托本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用

11

错解分析

（2）问中利用单调性转化为不等式时，x+—€:

—1,1],——

2x1

€[—1,1]必不可少，这恰好是容易忽略的地方

技巧与方法

（1）问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件

不等式是关键，（3）问利用单调性把f（x）转化成“1”是点睛之笔

（1）证明较任取X1VX2，且xi,X2€[—1,1],贝yf（xi）—f（x2）=f（xi）+f（—

f（Xjf（X2）、

X2）=•（X1—X2）

X1x2

1

一f（x1）f（X2）cF

…X1+（—X2）M0,由已知-->0,又X1—X2<0,

x1x2

二f（X1）—f（X2）<0，即f（x）在[—1,1]上为增函数

⑵解•••f（x）在[—1,1]上为增函数，

1X-1

2

13

二11解得{x|—wx<—1,x€R}

x12

11

x

2x1

⑶解由⑴可知f（x）在[—1,1]上为增函数，且f

（1）=1,

故对x€[—1,1],恒有f（x）<1,

所以要f（x）wt2—2at+1对所有x€[—1,1],a€[—1,1]恒成立，即要t2—2at+1>1成立，

故t2—2at>0，记g（a）=t2—2at,对a€[—1,1],g（a）>0,

只需g（a）在[—1,1]上的最小值大于等于0,g（—1）>0,g

（1）>0,

解得，t<—-或t=0或t>-

t的取值范围是{t|tw—-或t=0或t>2}

例-设不等式x2—2ax+a+2w0的解集为M,如果M[1,4],求实数a的取值范围

命题意图考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关

系

知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集

合之间的关系，以及分类讨论的数学思想

错解分析M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关

系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错

技巧与方法该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方

程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使

题目更加明朗

解M[1,4]有两种情况其一是M=，此时A<0;其二是M

丰，此时A=0或A>0,分三种情况计算a的取值范围

设f（x）=x2—2ax+a+2，有A=（-2a）2—（4a+2）=4（a2—a-2）

⑴当Av0时，一1vav2,M=?

:

1,4:

（2）当A=0时，a=—1或2

当a=—1时M={—1}:

1,4];当a=2时，m={2}?

:

1,4].

（3）当A>0时，av—1或a>2设方程f（X）=O的两根X1,X2,且X1vX2,

f

（1）0,且f（4）0

1a4,且0

那么M=[X1,X2],M[1,4]1WX1VX2<4

解原不等式可化为（a1）x3^2>0,

x2

a2

①当a>1时，原不等式与（x—）（x—2）>0同解

a1

a2.1

由于112

a1a1

a2

•••原不等式的解为（一8,）U（2,+8）

a1

ab

集是（，2），则f（x）•g（x）>o的解集是

3已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是

4已知适合不等式|x2-4x+p|+|x—3|W5的x的最大值为3

x

⑵若f（x）=^，解关于

（1）求p的值；

一1x

x的不等式f-1（x）>logp（k€R+）k

5设f（x）=ax2+bx+c,若f

（1）=7，问是否存在a、b、c€R，使得不等

2

式x2+1

22

6已知函数f（x）=x2+px+q,对于任意B€R，有f（sin0）<0，且f（sin0

+2）>2

（1）求p、q之间的关系式；

⑵求p的取值范围；

⑶如果f（sin0+2）的最大值是14,求p的值并求此时f（sin0）的最小

值

1

7解不等式loga（x-）>1

x

8设函数f（x）=ax满足条件当x€（-o,0）时，f（x）>1;当x€（0,

9

1］时，不等式f（3mx—1）>f（1+mx—x2）>f（m+2）恒成立，求实数m的取值范围

由f（x）•g（x）>0可得

答案[—2,2]

4解⑴•••适合不等式|x2—4x+p|+|x—3|W5的x的最大值为3,

•-x—3W0,•-|x—3|=3—x

若|x2—4x+p|=—x2+4x—p,则原不等式为x2—3x+p+2>0,其解集不可能为｛x|xw3｝的子集，二X2—4x+p|=x2—4x+p

••原不等式为x2—4x+p+3—x<0,即x2—5x+p—2<0,

令x2—5x+p—2=（x—3）（x—m），可得m=2,p=8

七‘1x,1x,

••有log8>log8，…Iog8（1—x）vIog8k,「.1—xvk,「.x>1—k

1xk

•••—1vxv1,k€R+，•当0vkv2时，原不等式解集为｛x|1—kvxv1｝；当k>2时，原不等式的解集为｛x|—1vxv1｝

7713

5解由f

（1）=2得a+b+c=2，令x2+2=2x2+2x+r=—1,

由f（x）w2x2+2x+-推得f（—1）<3

22

1333

由f（x）>x2+推得f（—1）>,•f（—1）=,•a—b+c=,

2222

55

故2（a+c）=5,a+c=且b=1,•f（x）=ax2+x+（—a）

22

51

依题意ax2+x+（—a）>x2+对一切x€R成立，

22

•a工1且A=1—4（a—1）（2—a）<0，得（2a—3）2<0,

•f（x）=3x2+x+1

2

33

易验证x2+x+1<2x2+2x+对x€R都成立

22

3

•••存在实数a=,b=1,c=1,

2

13

使得不等式x2+-

22

6解⑴T—1wsinBw1,1

<0，当x€［1,3［时，f（x）>0,二当x=1时f（x）=0•1+p+q=0,•q=—

（1+p）

⑵f（x）=x2+px—（1+p）,

当sin0=—1时f（—1）w0,•1—p—1—pw0,•p》0

⑶注意到f（x）在］1,3］上递增，•x=3时f（x）有最大值

即9+3p+q=14,9+3p—1—p=14,「.p=3

此时，f（x）=x2+3x—4,即求x€［—1,1］时f（x）的最小值

325

又f（x）=（x+-）2—-5，显然此函数在［—1,1］上递增

24

••当x=—1时f（x）有最小值f（—1）=1—3—4=—6

1

7解

（1）当a>1时，原不等式等价于不等式组

1

1

由此得1—a>丄

x

1

因为1—av0，所以xv0,•一

1

vxv0

（2）当0vav1时，原不等式等价于不等式组

1

由①得x>1或xv0,由②得0vxv一

1a

1

综上，当a>1时，不等式的解集是｛x|一v

1a

•••1vxv

xv0｝，当0vav1时，不等

1

式的解集为{x|1vxv}

1a

8解由已知得0vav1,由f（3mx—1）>f（1+mx—x2）>f（m+2）,x€（0,1］恒成立

3mx1

1mx

mx

在x€（0,1］恒成立

整理，当x€

（0,1）时,

2

x

m（x1）x2

2x1

恒成立,

1

1x2

即当x€（0,1］时,

2x恒成立,

x21

x1

且x=1时,

2mx

m（x

1）

2

x

2

x

恒成立,

1

..1x2

2x

1

•mv-

2x

11

在x€（0,-

2x2

x2

恒成立mv0

1］上为减函数，•v—1,

2x

x21

又•••（x1）

x1

x21

•m>-——1恒成立

x1

12

2，在x€（0,1］上是减函数，•••

Jv—1

x1

m>—1

当x€（0,1）时,

1x2

x2x1恒成立

m€（—1,0）

,2mx

当x=1时，

m（x

1）

2

X

2

X

，即是

1

m€（—1,0），使x€（0,1］时，

f（3mx—1）>f（1+mx—x2）>f（m+2）恒成立，m的取值范围是

•••①、②两式求交集

（—1,0）

课前后备注