常见不等式通用解法.doc
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常见不等式通用解法总结
一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式
①基础一元二次不等式
如,,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。
当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。
的解为
当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。
的解为
当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。
②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元)
如,令,原不等式就变为,再算出t的范围,进而算出x的范围
又如,令,再对a进行分类讨论来确定不等式的解集
③含参数的一元二次不等式
解法步骤总结:
序号
步骤
1
首先判定二次项系数是否为0,为0则化为一元一次不等式,再分类讨论
2
二次项系数非0,将其化为正的,讨论判别式的正负性,从而确定不等式的解集
3
若可以直接看出两根,或二次式可以因式分解,则无需讨论判别式,直接根据不同的参数值比较两根大小
4
综上,写出解集
如不等式,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论的正负性即可。
此不等式的解集为
又如不等式,发现其可以通过因式分解化为,所以只需要判定和的大小即可。
此不等式的解集为
又如不等式,注意:
有些同学发现其可以因式分解,就直接写成,然后开始判断两根和的大小关系,这样做是有问题的。
事实上,这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式,所以参数是有可能为0的。
讨论完的情况再讨论和的情况。
所以此不等式的解集应该是:
注意,和时解区间的状况不同,一种为中间,一种为两边。
二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式
这种问题的一般形式是(或)
步骤:
①将不等式化为标准式,一段为0,另一端为一次因式的乘积(注意!
系数为正)或二次不可约因式(二次项系数为正)。
②画出数轴如下,并从最右端上方起,用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。
③记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集。
例如,求不等式的解集,画出图如下,发现解集为
为什么数轴标根法是正确的呢?
对于不等式来说,要满足四项相乘为正,说明①四项均正,解集为②两正两负,只能是正,负,此时解集为③四项均负,解集为。
综上,解集为这三种情况的并集。
当不等式左侧有奇数项的时候同理。
由此可知,遇到奇数个一次项系数为负的情况,如果不把系数化为正的,结果一定是错误的。
注意,这种方法要灵活使用,若不等式为,使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样,因为是偶次项,必然非负,所以在“穿针引线”时,可以忽略,或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。
的示意图见下。
三、解分式不等式
分式不等式的解题思路,前面讲了一些不等式的求解,都是讲不等式的一边化为0,另一边为含x的多项式。
把一个分式不等式经过移项和通分处理,最终总能化为(或的形式),此时解就可以解出原不等式的解集。
特别地,若要解,则解即可。
例如,移项化简得,使用穿针引线法得到解集为,一定要注意分母不为零,而分子可以为零。
例:
一道比较复杂的题,求的解集,现写出此题的完整解题过程。
解:
原不等式通过移项通分可化为,由于,所以可以进一步化为,两根为和。
当时,解集为两根的两边,显然有,所以此时解集为
当时,解集为两根中间,此时必须根据的取值判断两根范围。
①当时,,此时解集为
②当时,,此时解集为
③当时,,此时解集为
至此,的所有值都讨论完毕,所以这道题讨论到这样就结束了
当然,如果这道题不给的限制条件,只需要再讨论一下时的解集情况即可。
补充内容:
一类经典但易错的分式不等式问题
①求的解集
②求的解集
③求的解集
④求的解集
⑤求的解集
解答:
①②③④⑤,注意①②的区别
四、绝对值不等式
对于含有绝对值的不等式,解题思想为
①直接脱去绝对值符号
,
②构造函数,数形结合
③在不等式的一端有多个绝对值时,使用零点分段法分类讨论(分类讨论思想随处可见)
④平方法(不等式两边都是非负时才能用,慎用)
例:
图形法某经典问题,解不等式,先画出的图像如下,然后分类讨论的取值,通过观察和的图像,来确定不等式的解集情况。
①当时,的图像在的图像上方,除了点,此时显然不等式无解
②当时,的图像与的图像交点为,此时的解集为
③当时,的图像与的图像交点横坐标为,此时解集为
④当时,的图像与的图像交点横坐标为,此时解集为
当然此题使用也可以做,化成,只是在讨论的时候需要细心,考虑到的所有取值。
绝对值不等式的零点分段法,以及特别的做题技巧
例如,发现不等号左边有两个绝对值,所以应该根据两个不同的零点分段讨论
①当时,原不等式化为,解得
②当时,原不等式化为,显然无解
③当时,原不等式化为,解得
综上,原不等式的解集为三种情况下的并集(注意,为什么是并集而不是交集?
),
技巧:
可以将绝对值看成距离,也就是将看成数轴上点到点1的距离,将看成到-2的距离,若画出数轴,发现位于区间的点(绿色点)到区间端点的距离之和为3,位于区间之外的点到区间端点的距离之和大于3,特别地,在2处和-3处距离之和为5,所以令继续远离区间,发现距离之和大于5。
也就是说的取值范围是
同理,遇到减号的情况,例如,发现其取值范围是
此技巧常用于填空题,既可以求不等式解集,又可以求参数的范围。
例1:
若存在实数使得不等式成立,则的取值范围是?
(答案)
例2:
不等式的解集是?
(答案)
五、无理不等式
无理不等式能出的考题较少,主要是要注意偶次根号下式子要非负。
(终于可以用平方法了,但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用)。
对于奇次根号,由于不需考虑根号下式子的正负性,直接打开根号即可。
或(注意这里为什么没有写?
)