初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑾.docx
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初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑾
初一数学竞赛讲座
第11讲染色和赋值
染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。
就其本质而言，染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。
而凡是能用染色方法来解的题，一般地都可以用赋值方法来解，只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。
赋值方法的适用范围要更广泛一些，我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值，然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。
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一、染色法
将问题中的对象适当进行染色，有利于我们观察、分析对象之间的关系。
像国际象棋的棋盘那样，我们可以把被研究的对象染上不同的颜色，许多隐藏的关系会变得明朗，再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决，这种解题方法称为染色法。
常见的染色方式有：
点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。
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例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片<如下图所示），能否覆盖一个8×8的棋盘？
解：
如下图，将8×8的棋盘染成黑白相间的形状。
如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘，那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格，而1和3都是奇数，因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格，从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数，这与32是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。
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例2如左下图，把正方体分割成27个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。
如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗？
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解：
甲虫不能走遍所有的正方体。
我们如右上图将正方体分割成27个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。
显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的。
甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色。
故它走27步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。
因此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。
由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。
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例38×8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形？
如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。
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解：
如下图，对8×8的棋盘染色，则每一个4×1的长方形能盖住2白2黑小方格，每一个2×2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。
推知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为32，是一个偶数，故这种剪法是不存在的。
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例4在平面上有一个27×27的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×9的正方形。
按下面的规则进行游戏：
每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来。
问：
是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？
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解：
如下图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。
按照游戏规则，每走一步，有两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数增加了一个。
这表明每走一步，每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。
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因为一开始时，81个棋子摆成一个9×9的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。
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如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另一部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。
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例5图1是由数字0，1交替构成的，图2是由图1中任选
减1，如此反复多次形成的。
问：
图2中的A格上的数字是多少？
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解：
如左下图所示，将8×8方格黑白交替地染色。
此题允许右上图所示的6个操作，这6个操作无论实行在哪个位置上，白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。
所以图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和，与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于32，由<31＋A）-32=32，得出A=33。
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例6有一批商品，每件都是长方体形状，尺寸是1×2×4。
现在有一批现成的木箱，内空尺寸是6×6×6。
问：
能不能用这些商品将木箱填满？
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解：
我们用染色法来解决这个问题。
先将6×6×6的木箱分成216个小正方体，这216个小正方体，可以组成27个棱长为2的正方体。
我们将这些棱长为2的正方体按黑白相间涂上颜色<如下图）。
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容易计算出，有14个黑色的，有13个白色的。
现在将商品放入木箱内，不管怎么放，每件商品要占据8个棱长为1的小正方体的空间，而且其中黑、白色的必须各占据4个。
现在白色的小正方体共有8×13=104<个），再配上104个黑色的小正方体，一共可以放26件商品，这时木箱余下的是8个黑色小正方体所占据的空间。
这8个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是容不下这件商品。
因此不能用这些商品刚好填满。
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例76个人参加一个集会，每两个人或者互相认识或者互相不认识。
证明：
存在两个“三人组”，在每一个“三人组”中的三个人，或者互相认识，或者互相不认识<这两个“三人组”可以有公共成员）。
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证明：
将每个人用一个点表示，如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段，否则就连一条蓝色线段。
本题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形。
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设这六个点为A，B，C，D，E，F。
我们先证明存在一个同色的三角形：
考虑由A点引出的五条线段AB，AC，AD，AE，AF，其中必然有三条被染成了相同的颜色，不妨设AB，AC，AD同为红色。
再考虑△BCD的三边：
若其中有一条是红色，则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色，则存在一个蓝色三角形。
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下面再来证明有两个同色三角形：
不妨设△ABC的三条边都是红色的。
若△DEF也是三边同为红色的，则显然就有两个同色三角形；若△DEF三边中有一条边为蓝色，设其为DE，再考虑DA，DB，DC三条线段：
若其中有两条为红色，则显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的，则设其为DA，DB。
此时在EA，EB中若有一边为蓝色，则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色，则又存在一个红色三角形。
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故不论如何涂色，总可以找到两个同色的三角形。
二、赋值法
将问题中的某些对象用适当的数表示之后，再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法。
许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。
常见的赋值方式有：
对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。
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例8一群旅游者，从A村走到B村，路线如下图所示。
怎样走才能在最短时间内到达B村？
图中的数字表示走这一段路程需要的时间<单位：
分）。
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解：
我们先把从A村到各村的最短时间标注在各村的旁边，从左到右，一一标注，如下图所示。
由此不难看出，按图中的粗黑线走就能在最短时间<60分钟）内从A村走到B村。
例9把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
问：
有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
请说明理由。
解：
假设题中所设想的染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。
一共有五条直线，把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来，得到的总和数仍应是一个奇数。
但是，由观察可见，图中每个点都恰好同时位于两条直线上，在求上述总和数时，代表各点的数字都恰被加过两次，所以这个总和应是一个偶数。
这就导致矛盾，说明假设不成立，染色方案不能实现。
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例10平面上n已知A1和An涂上的颜色不同。
证明：
相邻两点间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数。
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证明：
赋予黑点以整数值1，白点以整数值2，点Ai以整数
值为ai，当Ai为黑点时，ai=1，当Ai为白点时，ai=2。
再赋予线段AiAi+1以整数值ai+ai+1，则两端同色的线段具有的整数值为2或4，两端异色的线段具有的整数值为3。
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所有线段对应的整数值的总和为
＝a1＋an＋2 ＝2＋1＋2 设具有整数值2，3，4的线段的条数依次为l，m，n，则
2l＋m＋4n=奇数。
由上式推知，m必为奇数，证明完毕。
例11下面的表1是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变。
改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母<即A变成B，B变成C……Z变成A）。
问：
能否经过若干次操作，使表1变为表2？
如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由。
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SOBR KBDS
TZFP HEXG
HOCN RTBS
ADVX CFYA
表1 表2
解：
不能。
将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替<即A用1，B用2……Z用26代替）。
这样表1和表2就分别变成了表3和表4。
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每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：
1→2，2→3，…，25→26，26→1。
19 15 2 18
20 26 6 16
8 15 3 14
1 4 22 24
表3
11 2 4 19
8 5 24 7
18 20 2 19
3 6 25 1
表4
容易看出，每次操作使四个数字改变了奇偶性，而16个数字的和的奇偶性没有改变。
因为表3中16个数字的和为213，表4中16个数字的和为174，它们的奇偶性不同，所以表3不能变成表4，即表1不能变成表2。
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例12如图<1）～<6）所示的六种图形拼成右下图，如果图<1）必须放在右下图的中间一列，应如何拼？
解：
把右上图黑、白相间染色<见上图）。
其中有11个白格和10个黑格，当图形拼成后，图形<2）<4）<5）<6）一定是黑、白各2格，而图形<3）必须有3格是同一种颜色，另一种颜色1格。
因为前四种图形，黑、白已各占2×4=8<格），而黑格总共只有10格，所以图形<3）只能是3白1黑。
由此知道图<1）一定在中间一列的黑格，而上面的黑格不可能，所以图<1）在中间一列下面的黑格中。
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那么其它图形如何拼呢？
为了说明方便，给每一格编一个数码<见左下图）。
因为图<3）是3白1黑，所以为使角上不空出一格，它只能放在<1，3，4，5）或<7，12，13，17）或<11，15，16，21）这三个位置上。
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若放在<1，3，4，5）位置上，则图<6）只能放在<7，12，13，18）或<15，16，19，20）或<2，7，8，13）这三个位置，但是前两个位置是明显不行的，否则角上会空出一格。
若放在<2，7，8，13）上，则图<2）只能放在<12，17，18，19）位置上，此时不能同时放下图<4）和图<5）。
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若把图<3）放在<7，12，13，17）位置上，则方格1这一格只能由图<2）或图<6）来占据。
如果图<2）放在<1，2，3，4），那么图<6）无论放在何处都要出现孤立空格；如果把图<6）放在<1，4，5，10），那么2，3这两格放哪一图形都不合适。
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因此，图形<3）只能放在<11，15，16，21）。
其余图的拼法如右上图。
练习11
1.中国象棋盘的任意位置有一只马，它跳了若干步正好回到原来的位置。
问：
马所跳的步数是奇数还是偶数？
2.右图是某展览大厅的平面图，每相邻两展览室之间都有门相通。
今有人想从进口进去，从出口出来，每间展览厅都要走到，既不能重复也不能遗漏，应如何走法？
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3.能否用下图中各种形状的纸片<不能剪开）拼成一个边长为99的正方形<图中每个小方格的边长为1）？
请说明理由。
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4.用15个1×4的长方形和1个2×2的正方形，能否覆盖8×8的棋盘？
5.平面上不共线的五点，每两点连一条线段，并将每条线段染成红色或蓝色。
如果在这个图形中没有出现三边同色的三角形，那么这个图形一定可以找到一红一蓝两个“圈”<即封闭回路），每个圈恰好由五条线段组成。
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6.将正方形ABCD分割成n2个相等的小正方格，把相对的顶点A，C染成红色，B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两种颜色之一。
试说明：
恰有三个顶点同色的小方格的数目是偶数。
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7.已知△ABC内有n个点，连同A，B，C三点一共以这些点为顶点将△ABC分成若干个互不重叠的小三角形。
将A，B，C三点分别染成红色、蓝色和黄色。
而三角形内的n个点，每个点任意染成红色、蓝色和黄色三色之一。
问：
三个顶点颜色都不同的三角形的个数是奇数还是偶数？
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8.从10个英文字母A，B，C，D，E，F，G，X，Y，Z中任意选5个字母<字母允许重复）组成一个“词”，将所有可能的“词”按“字典顺序”<即英汉辞典中英语词汇排列的顺序）排列，得到一个“词表”：
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AAAAA，AAAAB，…，AAAAZ，
AAABA，AAABB，…，ZZZZY，ZZZZZ。
设位于“词”CYZGB与“词”XEFDA之间<这两个词除外）的“词”的个数是k，试写出“词表”中的第k个“词”。
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练习11答案：
1.偶数。
解：
把棋盘上各点按黑白色间隔进行染色<图略）。
马如从黑点出发，一步只能跳到白点，下一步再从白点跳到黑点，因此，从原始位置起相继经过：
白、黑、白、黑……要想回到黑点，必须黑、白成对，即经过偶数步，回到原来的位置。
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2.不能。
解：
用白、黑相间的方法对方格进行染色<如图）。
若满足题设要求的走法存在，必定从白色的展室走到黑色的展室，再从黑色的展室走到白色的展室，如此循环往复。
现共有36间展室，从白色展室开始，最后应该是黑色展室。
但右图中出口处的展室是白色的，矛盾。
由此可以判定符合要求的走法不存在。
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3.不能。
解：
我们将99×99的正方形中每个单位正方形方格染上黑色或白色，使每两个相邻的方格颜色不同，由于99×99为奇数，两种颜色的方格数相差为1。
而每一种纸片中，两种颜色的方格数相差数为0或3，如果它们能拼成一个大正方形，那么其中两种颜色之差必为3的倍数。
矛盾！
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4.不能。
解：
如图，给8×8的方格棋盘涂上4种不同的颜色<用数字1，2，3，4表示）。
显然标有1，2，3，4的小方格各有16个。
每个1×4的长方形恰好盖住标有1，2，3，4的小方格各一个，但一个2×2的正方形只能盖住有三种数字的方格，故无法将每个方格盖住，即不可能有题目要求的覆盖。
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5.证：
设五点为A，B，C，D，E。
考虑从A点引出的四条线段：
如果其中有三条是同色的，如AB，AC，AD同为红色，那么△BCD的三边中，若有一条是红色，则有一个三边同为红色的三角形；若三边都不是红色，则存在一个三边同为蓝色的三角形。
这与已知条件是矛盾的。
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所以，从A点出发的四条线段，有两条是红色的，也有两条是蓝色的。
当然，从其余四点引出的四条线段也恰有两条红色、两条蓝色，整个图中恰有五条红色线段和五条蓝色线段。
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下面只看红色线段，设从A点出发的两条是AB，AE。
再考虑从B点出发的另一条红色线段，它不应是BE，否则就有一个三边同为红色的三角形。
不妨设其为BD。
再考虑从D点出发的另一条红色线段，它不应是DE，否则从C引出的两条红色线段就要与另一条红色线段围成一个红色三角形，故它是DC。
最后一条红色线段显然是CE。
这样就得到了一个红色的“圈”：
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A→B→D→C→E→A。
同理，五条蓝线也构成一个“圈”。
6.证：
将红点赋值为0，蓝点赋值为1。
再将小方格四顶点上的数的和称为这个小方格的值。
若恰有三顶点同色，则该小方格的值为奇数，否则为偶数。
在计算所有n2个小方格之值的和时，除A，B，C，D只计算一次外，其余各点都被计算了两次或四次。
因为A，B，C，D四个点上的数之和是偶数，所以n2个小方格之值的和是偶数，从而这n2个值中有偶数个奇数。
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7.奇数。
解：
先对所有的小三角形的边赋值：
边的两端点同色，该线段赋值为0，边的两端点不同色，该线段赋值为1。
然后计算每个小三角形的三边赋值之和，有如下三种情况：
<1）三个顶点都不同色的三角形，赋值和为3；
<2）三个顶点中恰有两个顶点同色的三角形，赋值和为2；
<3）三个顶点同色的三角形，赋值和为0。
设所有三角形的边赋值总和为S，又设<1）<2）<3）三类小三角形的个数分别为a，b，c，于是有
S=3a+2b+0c=3a+2b。
<*）
注意到在所有三角形的边赋值总和中，除了AB，BC，CA三条边外，都被计算了两次，故它们的赋值和是这些边赋值和的2倍，再加上△ABC的三边赋值和3，从而S是一个奇数，由<*）式知a是一个奇数，即三个顶点颜色都不同的三角形的个数是一个奇数。
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8.EFFGY。
解：
将A，B，C，D，E，F，G，X，Y，Z分别赋值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，则
CYZGB=28961，_XEFDA=74530。
在28961与74530之间共有74530-28961-1=45568<个）数，词表中第45568个词是EFFGY。
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申明：
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