高考数学全国卷1完整版试题+答案+解析.docx
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高考数学全国卷1完整版试题+答案+解析
2013年高考数学全国卷1（完整版试题+答案+解析）
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满
分150分．
答题前，考生务必用
0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第
Ⅰ卷答题
卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．
参考公式：
样本数据x1,x2,
xn的标准差
（x1
x）2
（x2
x）2
（xnx）2
s
n
其中x为样本平均数
球的面积公式
S
4R2
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.复数12i（i是虚数单位）的虚部是
1i
A．
3
1
C．3
D．1
B．
2
2
2.已知R是实数集，M
x2
1,Nyy
x11，则NCRM
x
A．（1,2）B．0,2C.D．1,2
3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是
A．1
B．2
C．3
D．4
4.
设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2
a5
0
，
则S4
S2
A．5
B．8
C．
8
D．15
5.
已知函数f（x）
sin（2x
），若存在a
（0,
），使得f（xa）
f（xa）恒成立，则a
6
的值是
-1-/11
2013年高考数学全国卷1（完整版试题+答案+解析）
A．
B．
3
C．
4
D．
6
2
6.已知m、n
表示直线，
表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为
（1）
m,n
n
m,则
（2）
m,
n,则n
m
（3）m
m
则
∥
（4）m
n
m
n,则
A．
（1）、
（2）
B．（3）、（4）
C．
（2）、（3）
D．
（2）、（4）
7.已知平面上不共线的四点
O,A,B,C，若OA3OB
2OC,则|AB|等于
|BC|
A．1
B．2
C．3
D．4
8.已知三角形
ABC的三边长成公差为
2
的等差数列，且最大角的正弦值为
3，则这个三
2
角形的周长是
A．18
B．21
C．24
D．15
9.函数f（x）
lgx
1
的零点所在的区间是
x
A．0,1
B．1,10
C．10,100
D．（100,）
10.过直线y
x上一点P引圆x2
y2
6x70的切线，则切线长的最小值为
2
3
2
10
D．
2
A．
B．
2
C．
2
2
11.已知函数f
（x）
x2
ax
2b.若a,b都是区间0,4
内的数，则使f
（1）
0成立的概率是
3
B．
1
3
5
A．
4
C．
D．
4
8
8
12.已知双曲线的标准方程为
x2
y2
1
，F为其右焦点，A1,A2是实轴的两端点，设P
为
9
16
双曲线上不同于
A1,A2的任意一点，直线A1P,A2P与直线x
a分别交于两点M,N,若
FMFN
0,则a的值为
16
B．
9
25
16
A．
5
C．
D．
9
9
5
-2-/11
2013年高考数学全国卷1（完整版试题+答案+解析）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答
案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．
2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．
3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．
二、填空题：
本大题共
4小题，每小题
4分，共16分．
开始
13.如图所示的程序框图输出的结果为
__________.
a
2,i1否
14.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其
顶点都在
一个球面上，则该球的表面积为__________.
i10
是
1
a
1
输出a
a
1
11
第14题图
ii1
结束
第13题图
15.地震的震级R与地震释放的能量
E的关系为R
2（lgE11.4）
．2011年3月11
日，日
3
本东海岸发生了
9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为
8.0级，那么2011
年地震
的能量是2008
年地震能量的
倍．
16.给出下列命题：
①已知
都是正数，且a
1
a，则
ab
；
a,b,m
1
b
b
②已知f（x）是f（x）的导函数，若
x
R,f（x）0，则f
（1）f
（2）
一定成立；
③命题“
x
R，使得x2
2x
10”的否定是真命题；
④“x
1,且y
1”是“x
y
2”的充要条件.
其中正确命题的序号是
.（
把你认为正确命题的序号都填上
）
-3-/11
2013年高考数学全国卷1（完整版试题+答案+解析）
三、解答题：
本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知向量a
（1,cosx）与b
（3sinx
cosx,y）共线，且有函数
y
f（x）．
2
2
2
（Ⅰ）若
f（x）
1，求cos（2
2x）的值；
3
（Ⅱ）在
ABC中，角A,B,C,的对边分别是
a,b,c，且满足2acosC
c
2b，求函数
f（B）的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知等差数列
a
n
的前n项和为
n，公差
d0,
且
3
5
14
13成等比数列．
S
S
S
50,a,a
a
（Ⅰ）求数列an的通项公式；
（Ⅱ）设
bn
是首项为
1，公比为
3的等比数列，求数列
bn的前n项和Tn.
an
-4-/11
2013年高考数学全国卷1（完整版试题+答案+解析）
19.（本小题满分12分）
已知四棱锥
ABCDE
，其中
ABBCAC
，
2
，CD
面ABC，
BE1CD
BE
∥CD，F为AD的中点.
D
（Ⅰ）求证：
EF∥面ABC；
（Ⅱ）求证：
面
ADE
面ACD；
F
（III）求四棱锥
ABCDE的体积.
E
C
A
B
20.（本小题满分12分）
在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度
y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：
时间x（秒）
5
10
15
20
30
40
深度y（微米）
6
10
10
13
16
17
现确定的研究方案是：
先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，
再对被选取的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；
（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于x的线性回归方
程y?
4x139，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误
1326
差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是
否可靠．
-5-/11
2013年高考数学全国卷1（完整版试题+答案+解析）
21.（本小题满分12分）
已知函数
ax
b
1,f
（1））的切线方程为
xy30.
f（x）
2
在点（
x
1
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）lnx，求证：
g（x）f（x）在x[1,）上恒成立.
22.（本小题满分14分）
实轴长为43的椭圆的中心在原点，其焦点F1,,F2在x轴上.抛物线的顶点在原点O，对
称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且AF1AF2，△AF1F2的面积为3.
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B,C,若AC2AB,求直线l的斜率k.
y
A
F1
Bo
F2
x
C
-6-/11
2013年高考数学全国卷1（完整版试题+答案+解析）
参考答案及评分标准
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
BDBADBBDBCCB
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
3
13．2
14.
19
15.102
16.
①③
3
三．解答题
17．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）∵a与b共线
1
cosx
∴
x
y
2
3sin
x
cos
2
2
y3sinxcosx
cos2
x
3sinx
1（1
cosx）sin（x
）
1
⋯⋯⋯⋯3分
2
2
2
2
2
6
2
∴f（x）
sin（x
）
1
1，即sin（x
）
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
6
2
2
cos（2
6
1
2x）
cos2（
x）
2cos2（
x）
1
2sin2（x
）1
3
3
3
6
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
（Ⅱ）已知
2acosCc
2b
由正弦定理得：
2sinAcosC
sinC
2sinB2sin（A
C）
2sinAcosC
sinC
2sinAcosC
2cosAsinC
∴cosA
1
，∴在
ABC中∠A
2
3
1
f（B）
sin（B）
2
6
2
5
∵∠A
∴0
B
B
3
3
6
6
6
∴1
sin（B
）
1,1
f（B）
3
2
6
2
3
∴函数f（B）的取值范围为（1,]
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
10分
12分
-7-/11
2013年高考数学全国卷1（完整版试题+答案+解析）
18．（本小题满分
12分）
解：
（Ⅰ）依题意得
3a1
3
2
d
5a1
4
5
50
2
2
d
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
（a1
3d）2
a1（a1
12d）
解得a1
3，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
d
2
an
a1
，即
2n1
．
6分
（n1）d32（n1）2n1an
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（Ⅱ）bn
3n
1，bn
an
3n
1
（2n1）3n1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
an
Tn
3537
32
（2n1）3n1
3Tn
335
32
733
（2n1）3n1
（2n1）3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
2Tn32323223n1（2n1）3n
3
23（1
3n1）
（2n1）3n
1
3
2n3n
∴Tn
n3n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
19．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）取AC中点G,连结FG、BG，
∵F,G分别是AD,AC的中点
D
1
∴FG∥CD,且FG=DC=1．
2
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等
F
∴EF∥BG．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
E
EF面ABC,BG
面ABC
G
C
∴EF∥面ABC
A
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形
∴BG⊥AC
B
又∵DC⊥面ABC,BG
面ABC
∴DC⊥BG
-8-/11
2013年高考数学全国卷1（完整版试题+答案+解析）
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC，
∴BG⊥面ADC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF
面ADE，∴面ADE⊥面ADC．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥
E－ABC和E－ADC．
VABCDEVEABC
VE
ACD
1
3
1
1
1
3
3
3
3
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
3
4
3
2
12
6
4
另法：
取BC的中点为O，连结
AO，则AO
BC，又CD
平面
ABC,
∴
CD
AO,BCCD
C
∴
AO
平面
，∴
AO
为
VABCDE
的高，
BCDE
AO
3,SBCDE
（1
2）
1
3,
VABCDE
1
3
3
3
．
2
2
2
3
2
2
4
20．（本小题满分
12分）
解：
（Ⅰ）设6组数据的编号分别为
1,2,3,4,5,6.
设抽到不相邻的两组数据为事件
A，从6
组数据中选取
2组数据共有
15种情况：
（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）
（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5
）（4,6
）（5,6
），其中事件
A
包含的基本事件有
10
种．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
所以P（A）
10
2
．所以选取的
2组数据恰好不相邻的概率是
2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
15
3
3
（Ⅱ）
当x
10时，?
4
139
219
219
10|
2;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
y
10
26
26
|
13
26
当
x
30
时，?
4
139
379
379
16|
2;
y
30
26
26
|
13
26
12分
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
21．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）将x
1代入切线方程得
y
2
∴f
（1）
b
a
2，化简得b
a
4．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
1
1
f（x）
a（x2
1）
（axb）2x
（1
x2）2
-9-/11
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