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概率公式大全

第一章随机事件和概率

（1）排列组

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

合公式

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由

m种方法完成，第二种方法可由

n种

（2）加法和方法来完成，则这件事可由

m+n种方法来完成。

乘法原理

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）

：

m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由

m种方法完成，第二个步骤可由

n种

方法来完成，则这件事可由

m×n种方法来完成。

（3）一些常

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

见排列

顺序问题

（4）随机试如果一个试验在相同条件下可以重复进行，

而每次试验的可能结果不止一个，

但在

验和随机事进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

件

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下

性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

（5）基本事这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用

来表示。

件、样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用

表示。

和事件

一个事件就是由中的部分点（基本事件

）组成的集合。

通常用大写字母

A，B，

C，⋯表示事件，它们是

的子集。

为必然事件，?

为不可能事件。

（6）事件的关系与运算

不可能事件（?

）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件

B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：

A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：

AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为

A与B的差，记为A-B，也可表示

为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：

AB，或者AB。

AB=?

，则表示A与B不可能同时发生，称事件

A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称

A的对立事件，记为

。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C

分配率：

（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

德摩根率：

，

设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P（A），若满足下列三个条（7）概率的件：

公理化定义1°0≤P（A），≤1

2°P（Ω）=1

3°对于两两互不相容的事件，，⋯有

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件的概率。

1°，

（8）古典概2°。

型

设任一事件，它是由组成的，则有

P（A）==

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，

同时样本空间中

（9）几何概的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，

则称此随机试验为几何概型。

对

型

任一事件A，

。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

式当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法公P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

式

当A=Ω时，P（）=1-P（B）

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称为事件A发生条件下，事件

（12）条件概的条件概率，记为。

率条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Ω/B）=1P（/A）=1-P（B/A）

B发生

乘法公式：

（13）乘法公

更一般地，对事件A1，A2，⋯An，若P（A1A2⋯An-1）>0，则有

式

⋯⋯⋯⋯。

①两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是相互独立的。

若事件、相互独立，且，则有

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。

必然事件和不可能事件?

与任何事件都相互独立。

（14）独立性?

与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

设事件满足

（15）全概公1°两两互不相容，，

2°，

式

则有

。

（16）贝叶斯设事件，，⋯，及满足

公式1°，，⋯，两两互不相容，>0，1，2，⋯，，

2°，，

则

，i=1，2，⋯n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（，，⋯，），通常叫先验概率。

，（，，⋯，），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了―因果‖的概率规律，并作出了―由果朔因‖的推断。

我们作了次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，

发生或不发生；

次试验是重复进行的，即

发生的概率每次均一样；

（17）伯努利u

每次试验是独立的，即每次试验

发生与否与其他次试验

发生与否是互不影

响的。

概型

重伯努利试验。

这种试验称为伯努利概型，或称为

用表示每次试验

发生的概率，则

发生的概率为

，用表示重伯努利试验中

出

现次的概率，

，。

第二章随机变量及其分布

（1）离散型设离散型随机变量

的可能取值为Xk（k=1,2,

⋯）且取各个值的概率，即事件

随机变量的

（X=Xk）的概率为

分布律

P（X=xk）=pk，k=1,2,⋯，

则称上式为离散型随机变量

的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给

出：

。

显然分布律应满足下列条件：

（1），，

（2）。

（2）连续型设是随机变量

的分布函数，若存在非负函数

，对任意实数，有

随机变量的

，

分布密度

则称为连续型随机变量。

称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面

4个性质：

1°。

2°。

（3）离散与

连续型随机积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起变量的关系的作用相类似。

（4）分布函设为随机变量，是任意实数，则函数

数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间的概率。

分布函数表示随机变量落入区间（

的概率。

分布函数具有如下性质：

1°；

2°是单调不减的函数，即时，有；

3°，；

4°，即是右连续的；

–∞，x]内

5°。

对于离散型随机变量，；

对于连续型随机变量，。

（5）八大分0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

布

二项分布

在重贝努里试验中，设事件

发生的概率为

。

事件发生的次数

是随机变量，设为

，则可能取值为。

，其中，

则称随机变量

服从参数为

，的二项分布。

记为

。

当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布

的特例。

泊松分布

设随机变量

的分布律为

，，，

则称随机变量

服从参数为

的泊松分布，记为

或者P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（

np=λ，n→∞）。

超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M

的超几何分布，记为

H（n,N,M）。

几何分布

，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为

G（p）。

均匀分布

设随机变量

的值只落在[a，b]内，其密度函数

在[a，b]上为常数

，

即

a≤x≤b

其他，

则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U（a，b）。

分布函数为

a≤x≤b

0，x

1，x>b。

当a≤x1

。

指数分布,

0,,

其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。

X的分布函数为

x<0。

记住积分公式：

正态分布

设随机变量的密度函数为

，，

其中、为常数，则称随机变量

高斯（Gauss）分布，记为。

具有如下性质：

1°的图形是关于对称的；

2°当时，为最大值；

若，则的分布函数为

。

服从参数为

、的正态分布或

参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数

记为

，，

分布函数为

。

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ（-x）＝1-Φ（x）且Φ（0）＝。

如果~，则~。

。

（6）分位数下分位表：

；上分位表：

。

（7）函数分离散型已知的分布列为

布，

的分布列（互不相等）如下：

，

若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。

连续型先利用X的概率密度fX（x）写出Y的分布函数FY（y）＝P（g（X）≤y），

再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。

第三章二维随机变量及其分布

（1）联合分离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可

布列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。

设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件{=}的概率

为pij,,称

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

⋯

p11

p12

⋯

p1j

⋯

p21

p22

⋯

p2j

⋯

pi1

⋯

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,⋯）；

（2）

连续型

对于二维随机向量

，如果存在非负函数

，使对任意一

个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即

D={（X,Y）|a

则称为连续型随机向量；并称

f（x,y）为=（X，Y）的

分布密度或称为

X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）

f（x,y）

≥0;

（2）

（2）二维随

机变量的本

质

（3）联合分设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数

x,y,二元函数

布函数

称为二维随机向量（

X，Y）的分布函数，或称为随机变量

X和Y的联合分布

函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，

以事件的概率为函数值的一个实值函

数。

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F（x1,y）;当y2>y1时，有F（x,y2）

≥F（x,y1）;

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

（4）

（5）对于

（4）离散型与连续型的关系

（5）边缘分离散型X的边缘分布为

布；

Y的边缘分布为

。

连续型X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

（6）条件分离散型

在已知

X=xi

的条件下，

Y取值的条件分布为

布

在已知

Y=yj

的条件下，

X取值的条件分布为

连续型

在已知

Y=y

的条件下，

X的条件分布密度为

；

在已知

X=x

的条件下，

Y的条件分布密度为

（7）独立性一般型

离散型

F（X,Y）=FX（x）FY（y）

有零不独立

连续型

f（x,y）=fX（x）fY（y）

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

＝0

随机变量的函数若X1,X2,⋯Xm,Xm+1,⋯Xn相互独立，h,g为连续函

数，则：

h（X1，X2,⋯Xm）和g（Xm+1,⋯Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

（8）二维均设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

匀分布

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

例如图

3.1、图3.2和图3.3。

图3.1

图3.2

图3.3

（9）二维正设随机向量（X，Y）的分布密度函数为态分布

其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（

但是若X～N（，（X，Y）未必是二维正态分布。

（10）函数Z=X+Y

根据定义计算：

分布

对于连续型，fZ（z）＝

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（

）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，

仍服从正态分布。

，

Z=max,min（X1,X2,

⋯Xn）若

相互独立，其分布函数分别为

，则

Z=max,min（X1,X2,⋯Xn）的分布函数为：

分布

设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可

以证明它们的平方和

的分布密度为

我们称随机变量

W服从自由度为

n的分布，记为

W～，其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，

量分布中的一个重要参数。

它是随机变

分布满足可加性：

设

则

t分布

设X，Y

是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量

T服从自由度为

n的t

分布，记为

T～

t（n）。

F分布

设，且

X与

Y独立，可以证明

的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为

由度为n2的F分布，记为F～f（n1,n2）.

n1，第二个自

第四章

随机变量的数字特征

（1）一

离散型

连续型

维随机期望

设X是离散型随机变量，其分布

设X是连续型随机变量，其概率密

变量的期望就是平均值

律为P（）＝pk，k=1,2,

⋯,n，

度为f（x），

数字特

征

（要求绝对收敛）

函数的期望

Y=g（X）

方差

D（X）=E[X-E（X）]2

，

标准差

，

矩

①对于正整数k，称随机变量X的①对于正整数k，称随机变量X的k

k次幂的数学期望为X的k阶原点次幂的数学期望为

X的k阶原点矩，

矩，记为vk,即

记为vk,即

νk=E（Xk）=,k=1,2,

⋯.

νk=E（Xk）=

②对于正整数k，称随机变量X与k=1,2,⋯.

E（X）差的k次幂的数学期望为

②对于正整数k，称随机变量X与E

X的k阶中心矩，记为

，即

（X）差的k次幂的数学期望为X的

k阶中心矩，记为

，即

=，k=1,2,⋯.

k=1,2,⋯.

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任

意正数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知

X的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）期

（1）

E（C）=C

望的性

（2）

E（CX）=CE（X）

质

（3）

E（X+Y）=E（X）+E（Y），

（4）

E（XY）=E（X）E（Y）

，充分条件：

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

（3）方

（1）

D（C）=0；E（C）=C

差的性

（2）

D（aX）=a2D（X）；E（aX）=aE（X）

质

（3）

D（aX+b）=a2D（X）；E（aX+b）=aE（X）+b

（4）

D（X）=E（X2）-E2（X）

（5）

D（X±Y）=D（X）+D（Y），充分条件：

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

D（X±Y）=D（X）+D（Y）

±2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件成立。

而E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。

（4）常

期望

方差

见分布

0-1分布

的期望二项分布

和方差泊松分布

几何分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

t分布

（n>2）

（5）二期望

维随机

变量的函数的期望

＝

数字特

征

方差

协方差

对于随机变量

X与Y，称它们的二阶混合中心矩

为X

与

的协方差

或相关矩，记为

，即