全等三角形教案.docx

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全等三角形教案

命题

（1）

知识技能目标

1.使学生了解定义和命题的意义，并能对命题作出真假判断；

2.使学生掌握题设和结论，能将命题改写．

过程性目标

1.了解什么是定义；

2.了解什么是命题，并能判断真假；

3.掌握将命题改写成“如果……那么……”的形式，并能找出题设和结论．

教学过程

一、创设情境

观察下列图形，找出其中的平行四边形．

要解决这个问题,首先要弄清楚怎样的图形才能称为平行四边形．你还记得以前学过的知识吗？

二、探究归纳

“有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这句话说明了平行四边形的含义以及区别其他图形的特征．一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义

还可以举出如下的一些定义：

（1）有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形．

（2）有六条边的多边形，叫做六边形．

（3）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．定义必须是严密的．一般避免使用含糊不清的术语，比如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现．正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来．

思考试判断下列句子是否正确．

（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

（2）三角形的内角和是180°；（3）同位角相等；（4）平行四边形的对角线相等；（5）菱形的对角线互相垂直．根据已有的知识可以判断出句子

（1）、

（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的．像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．

在数学中，许多命题是由题设（或条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果……那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．例如，在命题

（1）中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论．

三、实践应用

例1判断下列命题是不是命题，如果是命题，请指出是真命题还是假命题．

（1）两个锐角的和等于直角；

（2）合并同类项．（3）直角都相等．（4）相等的角都是直角．（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（6）有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等．

解

（2）不是判断语句，所以不是命题，其余都是命题．

（3）是真命题，

（1）、（4）、（5）、（6）是假命题．

例2把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设和结论．

解这个命题可以改写成“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．”

题设是“在一个三角形中有两个角相等”，结论是“这两个角所对的边也相等”．补充例题

例1判断下列语句是不是命题？

如果是命题，是真命题，还是假命题？

（1）延长线段AB．

（2）内错角相等．

（3）相等的两个角是对顶角．

（4）一个角的补角比这个角大．

解

（1）中句子没有判断，故

（1）不是命题；

（2）、（3）、（4）中句子是判断句，故

（2）、（3）、（4）是命题，并且可以进一步判断出这三个命题都是假命题．

例2将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设和结论．

（1）对顶角相等．

（2）同位角相等，两直线平行．（3）同圆的半径相等．（4）在三角形中，两边之和大于第三边．解

（1）这个命题写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这里的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．

（2）这个命题写成“如果同位角相等，那么两直线平行”，这里的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．（3）这个命题写成“如果几个圆是相同的圆，那么这几个圆的半径相等”，这里的题设是“几个圆是相同的圆”，结论是“这几个圆的半径相等”．（4）这个命题写成“如果三条线段是三角形的三条边，那么两边之和大于第三边”，这里的题设是“三条线段是三角形的三条边”，结论是“两边之和大于第三边”．

四、交流反思

1.一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义,定义必须严密；

2.可以判断出正确的或是错误的句子叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；

3.许多命题可以写成“如果……那么……”的形式．其中，用“如果‘开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．

五、检测反馈

3.   找出下图中的锐角,并试着对“锐角”写出一个确切的定义．

2.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设和结论．

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）平行四边形的对边相等．

3.指出下列命题中的真命题和假命题．

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）多边形的内角和等于180°；

（3）如果两个三角形有三个角分别相等，那么这两个三角形全等．

命题与证明

（2）

知识技能目标

1.使学生理解命题与公理的关系；

2.使学生理解公理和定理的意义，并能对公理和定理加以区别．

过程性目标

正确理解命题、公理、定理之间的联系，并能对公理和定理加以区别．

教学过程

一、创设情境

复习提问

1.什么是定义？

2.什么叫命题？

请举一个数学命题；

3.什么叫真命题？

什么叫假命题？

请分别举出两个实例．

二、探究归纳

数学中有些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．

有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．

三、实践应用

例1我们通过探索，已经知道下列命题是正确的：

（1）一条直线截两条平行线所得的同位角相等；

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等．我们把这些作为不需要证明的基本事实，即作为公理．

　例2

（1）运用公理“两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等”，可以得到定理：

“两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．”

（2）运用公理“同位角相等，两直线平行”可以得到定理：

“内错角相等，两直线平行．”

定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的根据．

四、交流反思

公理：

它的正确性是人们长期实践中总结出来并作为判定其它命题真假的根据．

定理：

它的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

补充例题

例1判断下列语句是真命题还是假命题？

（1）同角的补角相等；

（2）大于零的数是正数；（3）两个等边三角形是全等形；（4）小于平角的角必是钝角或锐角；（5）在同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行；

（6）两条直线相交只有一个交点；（7）同位角相等；（8）一个角的余角不大于这个角的补角．

解真命题：

（1）、

（2）、（5）、（6）、（8）；假命题：

（3）、（4）、（7）．

例2举出反例说明下列命题是假命题：

（1）大于90°的角是钝角；

（2）负数与负数的差是负数；

（3）有三个实数a、b、c,若ab=ac，则b=c（4）垂直于半径的直线是圆的切线．

解

（1）反例：

180°大于90°，但180°是平角，不是钝角；

（2）反例：

-1-（-2）=1，差是正数；（3）反例：

a=0，b=2，c=3，满足ab=ac，但是2≠3；

（4）反例：

两条互相垂直的直径都不是圆的切线．

五、检测反馈

1.我们已经学过了哪些公理和定理，你能归纳一下吗？

2.指出下列命题中的真命题和假命题，若是真命题，请指出是公理还是定理．

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）多边形的内角和等于180°；

（3）如果两个三角形有三个角分别相等，那么这两个三角形全等．

命题与证明（3）

知识技能目标

1.使学生理解什么是证明，会用公理来证明命题；

2.使学生掌握证明的思路，书写格式，对几何论证有一个初步认识．

过程性目标

1.掌握证明的一般步骤；

2.探索命题证明的思维方向．

教学过程

一、创设情境

一位同学在钻研数学题时发现：

2+1=3，2×3+1=7，2×3×5+1=31，2×3×5×7+1=211．

于是，他根据上面的结果并利用素数表得出结论：

从素数2开始，排在前面的任意多个素数的乘积加1一定也是素数．他的结论正确吗？

如图所示，

一个同学在画图时发现：

三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部．于是他得出结论：

任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部．他的结论正确吗？

我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形、八边形的内角和，得到一个结论：

n边形的内角和等于180°（n-2）．这个结论可靠吗？

是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？

二、探究归纳

上面几个例子说明:

通过特殊的事例得到的结论可能正确,也可能不正确.因此,通过这种方式得到的结论,还需进一步加以证实.

根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.

前面的学习已经告诉我们:

一条直线截两条平行线所得的内错角相等.下面我们运用前面所提到的基本事实,即公理来证明这个结论.

三、实践应用

例1证明：

一条直线截两条平行直线所得的内错角相等．

已知：

如图，直线l1∥l2，直线l3分别和l1、l2相交于点A、B．

求证：

∠1=∠3．证明：

因为l1∥l2，（已知）所以∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等）又∠2=∠3，（对顶角相等）所以∠1=∠3．（等量代换）

例2证明：

同角的余角相等．

已知：

如图，∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角．

求证：

∠2＝∠3．

证明：

因为∠2与∠1互为余角，（已知）∠3与∠1互为余角，

所以∠2+∠1＝90°，∠3+∠1＝90°，（余角定义）所以∠2+∠1＝∠3+∠1，（等量代换）

则∠2＝∠3．（等量减等量差相等）

补充例题

例1求证：

矩形的对角线相等．

已知：

如图，矩形ABCD．求证：

AC=BD．

证明因为四边形ABCD是矩形（已知），所以AB=CD（矩形的对边相等），

∠ABC=∠DCB=90°（矩形的内角为90°），BC=BC（公共边相等），△ABC≌△DCB（S.A.S），所以AC=DB（全等三角形对应边相等）．

例2判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举出一个反例说明：

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）垂直于同一条直线的两直线平行；

（3）相等的角是内错角；（4）有一个角是60°的三角形是等边三角形．

解真命题是

（1）、

（2），假命题是（3）、（4）．（3）的反例：

相等的角可以是直角，可以是对顶角．（4）的反例：

另两个角如果是90°和30°，那就

四、交流反思

证明的一般步骤：

1.审题：

分清命题的“题设”和“结论”；2.译题：

结合图形中字母及符号，写出已知，求证；3.想题：

寻找论证推理的逻辑思路；4.证题：

从已知出发，每一步过程要有根据（定义、公理或定理）最后得到结论，全面推理过程要因果分明．如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子就可以了，这称为“举反例”．

五、检测反馈

1.根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）：

（1）两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等；

（2）在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

2.判断“同位角相等”是真命题还是假命题，并说明理由．

命题与证明（4）

知识技能目标

使学生理解证明命题的思路，熟练掌握证明的书写格式，使学生对几何的重要内容之一—推理论证，有初步的认识，从而培养学生思维的条理性和逻辑性．

过程性目标

1.进一步掌握命题证明的一般步骤；

2.学会探索命题证明的思维方向．

教学过程

一、创设情境

在以往的学习中，我们已经知道下面的例题所表述的结论是正确的，现在通过推理的方式给予证明．

二、探究归纳

例1同旁内角互补，两直线平行．

已知：

如图，直线l3分别和l1、l2相交于点A、B，∠1+∠2＝180°

求证：

l1∥l2.

证明因为∠1+∠2＝180°（已知）；∠1+∠3＝180°（邻补角定义）

所以∠2＝∠3（等式性质）所以l1∥l2（同位角相等，两直线平行）

　例2已知：

如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠D.

求证：

∠A＝∠B.证明：

因为∠C＝∠D（已知），

所以AC∥BD（内错角相等，两直线平行）

所以∠A＝∠B（两直线平行，内错角相等）

三、实践应用

试一试请在下面题目证明中的括号内填入适当的理由。

已知：

如图，AD＝BC，CE∥DF,CE＝DF求证：

∠E＝∠F

证明：

因为CE∥DF，（）所以∠1＝∠2，（）

在△AFD和△BEC中，因为DF＝CE，（）

∠1＝∠2，（）AD＝BC，（）

所以△AFD≌△BEC．（）所以∠E＝∠F．（）

补充例题

例1证明：

垂直于同一直线的两条直线平行．

已知：

a⊥c，b⊥c，如图．求证：

a∥b．

证法一　因为a⊥c，（已知）所以∠1＝90°（垂直定义）

因为b⊥c，（已知）所以∠2＝90°所以∠1＝∠2，（等量代换）所以a∥b（同位角相等，两条直线平行）

以上过程也可以简写为：

因为a⊥c，b⊥c，（已知）所以∠1＝90°，∠2＝90°（垂直定义）所以∠1＝∠2，（等量代换）所以a∥b（同位角相等，两条直线平行）．

例2 证明：

两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行．

已知：

如图，AB∥CD，EF交AB、CD分别于G、H，GK平分∠EGB，HL平分∠GHD．求证：

GK∥HL．

证明因为AB∥CD（已知），

所以∠EGB=∠GHD（两直线平行,同位角相等），

又　GK平分∠EGB，HL平分∠GHD，

所以∠1=∠2（等量代换），所以GK∥HL（同位角相等，两直线平行）．

四、交流反思

1.命题、公理、定理之间的关系是什么?

（关系图）？

2.公理的正确性怎样判定?

定理的正确性怎样判定?

3.假命题应怎样判定?

4.证明命题的一般步骤是什么?

（审题、译题、想题、证题）

五、检测反馈

1.证明：

平行四边形的两组对边分别相等．

2.证明：

矩形的两条对角线长相等．

全等三角形的识别

（1）

知识技能目标

1.会利用全等三角形的特征进行三角形全等的判断.

2.与相似三角形的识别进行比较，掌握识别全等三角形应有三个部分（边或角）分别对应相等．

过程性目标

回忆相似三角形的识别，通过作图等方法进行探索，掌握识别全等三角形应有三个部分（边或角）分别对应相等.

教学过程

一、创设情境

我们知道：

若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等．

那么我们能不能找到一些较为简便的方法，用来识别三角形的全等呢？

有没有类似于相似三角形的识别方法呢？

二、探究归纳

　　要识别三角形的全等需要找出三角形边和角的相等条件．让我们从最简单的开始，探究识别三角形的全等的条件．请同学们按照下面的条件作出图形．

1.如果只知道两个三角形有一条边对应相等，那么这两个三角形一定会全等吗？

如果只知道两个三角形有一个角对应相等，那么这两个三角形一定会全等吗？

2.如果两个三角形有两个相等的部分（边或角），那么有几种可能的情况？

这两个三角形一定会全等吗？

分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等.

（1）三角形的一个内角为60°,一条边为3cm；

（2）三角形的两个内角分别为30°和70°；

（3）三角形的两条边分别为3cm和5cm.

结论：

通过作图发现，如果只知道两个三角形有一个或两个对应相等的部分（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同）．因此，两个三角形需要有三个部分（边或角）分别对应相等,这两个三角形才可能是全等的.

3.思考：

如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，那么有哪几种可能的情况呢？

三、实践应用

例1已知△MNP≌△ABC，且△MNP是不等边三角形，∠MPN＝35°,∠CAB＝40°,那么△ABC一定是_____角三角形，在△ABC中，与∠MPN相等的角是______，在△MNP中，∠_____＝40°,在△ABC中，∠ABC＝_______°.

分析由△MNP≌△ABC可知，∠MPN与∠ACB是对应角，∠CAB与∠PMN是对应角，∠MNP与∠ABC是对应角，利用全等三角形的特征与三角形内角和定理求出另外几个角的度数，从而可判定它们的形状．利用△MNP≌△ABC中字母的排列顺序，知∠MPN的对应角是∠ACB，∠CAB的对应角是∠PMN，根据三角形的内角和为180°和全等三角形的对应角相等，得∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－∠MPN－∠CAB＝180°－35°－40°＝105°.解　钝角，∠ACB，∠PMN（或者∠NMP），105°.

例2如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的中线，△ABD和△ACD全等吗？

试根据等腰三角形的有关知识说明理由.

解由题意可得因为AB=AC，所以∠B=∠C；又因为AD是等腰三角形底边上的中线，所以AD⊥BC，并且AD平分∠BAC，即BD=CD，∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD；又因为AD是公共边，所以△ABD和△ACD全等．

补充例题

例1已知，四边形ABCD是正方形，点E为对角线AC上一点，试说明△ABE和△ADE全等．

分析利用全等三角形的特征，即对应边、对应角相等的三角形全等来说明.解因为四边形ABCD是正方形，AC是对角线，所以点B和点D关于AC成轴对称，所以AB＝AD，BE＝DE，∠BAE＝∠DAE，∠BEA＝∠DEA，∠ABE＝∠ADE，又因为AE是公共边，由全等三角形的特征，可知△ABE≌△ADE．

例2如果两个三角形是腰长相等的两个等腰三角形，试讨论：

若要两个三角形全等，则还需增加什么条件？

分析我们知道，要说明两个三角形全等，需要有三个部分（边或角）对应相等．由题意可知两个三角形是腰长相等的等腰三角形，也就是已经有两个部分对应相等，我们只需再找出一个边或角对应相等即可．可以通过作图的方法来讨论．

解顶角相等或底角相等或底边相等．

四、交流反思

1.只知道两个三角形有一个或两个对应相等的部分（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同）．

2.两个三角形需要有三个部分（边或角）分别对应相等,这两个三角形才可能是全等的.

五、检测反馈

1.如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180°,可以与△________重合，这说明△AOB≌△________．这两个三角形的对应边是AO与________，OB与________，BA与________；对应角是∠AOB与________，∠OBA与________，∠BAO与________．

2.如图，△ABC是等腰三角形，AD是顶角的平分线，△ABD与△ACD全等吗？

试说明理由.

全等三角形的识别

（2）

知识技能目标

1.掌握“已知三边画三角形”的方法；

2.能说出（S.S.S.）全等识别法：

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等.并能利用它进行简单的应用；

3.三个角相等的三角形不一定是全等三角形．

过程性目标

掌握“已知三边画三角形”的方法，通过作图，使学生自行探索，得出全等三角形的识别方法（S.S.S.），并且将它与相似三角形的识别进行比较，找出它们之间的联系.

教学过程

一、创设情境

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形会全等吗？

二、探究归纳

问题1在练习本上按下面的要求作图.

给你三条线段a、b、c，以这三条线段为边画一个三角形.

步骤：

1．画一线段AB使它的长度等于c（4.8cm）.2．以点A为圆心，以线段b（3cm）的长为半径画圆弧；以点B为圆心，以线段a（4cm）的长为半径画圆弧；两弧交于点C．3．连接AC、BC.△ABC即为所求．

问题2把你画的三角形与其他同学的图形相比较，观察它们全等吗？

观察图形全等的方法就是将所画的三角形叠合在一起，看它们是否能完全重合.

问题3换三条线段，照上述步骤再试试看，是否有相同的结论.

注意：

改变三条线段a、b、c的长度，应满足这三条线段能够构成三角形.

结论我们发现，给定三条线段，如果它们能组成三角形，那么所画的三角形都是全等的.

这样我们就得到识别三角形全等的一种简便的方法：

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等.简记为（S.S.S.）.

说明：

这条全等识别法体现了三角形的稳定性．

问题4回忆相似三角形的识别方法，有没有和（S.S.S.）全等识别法是类似的？

我们知道，三条边对应成比例的两个三角形相似．那么当相似比为1时，三条边就分别对应相等了，这时，两个三角形不但形状相同，而且大小都一样，即为全等三角形．

三、实践应用

例1如图，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，试说明△ABC≌△CDA．

解已知　AD＝BC，AB＝DC，又因为AC是公共边，由（S.S.S.）全等识别法，可知△ABC≌△CDA．

例2如图，AB＝CD，点M、N是线段AC上的两点，且BM＝DN，AN＝CM，试说明△AMB≌△CND．

解已知AB＝CD，BM＝DN，又因为AN＝CM，所以AN―MN＝CM―MN，即AM=CN,所以，由（S.S.S.）全等识别法，可知△AMB≌△CND．

例3有一块三角形板材，如图所示，根据实际生产的需要，工人师傅要把∠MAN平分开，现在他手边只有一把直尺和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗？

并说明你的根据．

分析利用（S.S.S.）全等识别法构造全等三角形.

解能把∠MAN平分开.用一定长度的绳子在MA和AN上截取AB=AC，再选取适当长度（不小于BC）的绳子，将其对折，得绳子的中点D，把绳子确定的端点固定在B、C两点，拽住绳子的中点D，向外拉直BD和CD，确定出D点在板材上的位置，过A、D两点画射线AD，则AD平分∠MAN．这是因为，由操作可知AB=AC，BD＝CD，而AD是公共边，所以根据（S.S.S.）全等识别法，可知△ABD≌△ACD，再根据全等三角形对应角相等，可得∠MAD=∠NAD．

说明：

要证明两个角或两条边相等，只需先证明这两个角或两条边所在的三角形全等即可．

补充例题

例1已知，点B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF，AC和DE相交于点G，试说明

（1）△ABC≌△DEF，

（2）∠1＝∠F.

解　因为BE＝CF，所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.

又因为AB＝DE，AC＝DF,所以由（S.S.S.）全等识别法，可得△ABC≌△DEF,所以∠1＝∠F（全等三角形对应角相等）.

思考利用上题的结论，你能否证明∠EGC＝∠D？

答由上题∠1＝∠F，可知AC∥DF（同位角相等，两直线平行）,

所以∠EGC＝∠D（两直线平行，同位角相等）.

例2已知AB＝DC，AC＝DB，AC、BD交于点O，∠ABD＝∠DCA吗？

为什么？

分析∠ABD与∠DCA所在三角形不具备全等的条件，应考虑添加辅助线.答∠ABD＝∠DCA.

解连结AD，因为AB＝DC，AC＝DB，并且AD是公共边,由（S.S.S.）全等识别法，可得

△ABD≌△DCA，所以∠ABD＝∠