长方体正方体知识点总结.docx

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长方体正方体知识点总结

长方体的再认识

一、概念

1、长方体的元素：

六个面、八个顶点、十二条棱

2、长方体的三元素的特点：

（主要是外观特征和数量关系）

①长方体的每个面都是长方形；

②长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。

③长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面形状大小都相同。

3、正方体是特殊的长方体。

4、平面是平的，无边无沿，没有厚度和大小，一般用平行四边形来表示。

记作：

平面ABCD或平面

。

5、将水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线成45度角的平行四边形。

6、斜二侧画法画长方体时要注意：

宽画成标注尺寸的一半；看不到的线画成虚线；要标字母和尺寸，要写结论。

长方体ABCD-EFGH、平面ABCD、棱AB、顶点A。

7、空间中两直线的位置关系有三种：

相交、平行、异面

1如果两条直线在同一平面内，有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是相交；

2如果两条直线在同一平面内，没有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是平行；

3如果两条直线既不平行也不相交，称这两条直线的位置关系是异面。

8、直线垂直于平面记作：

直线PQ⊥平面ABCD；直线平行于平面记作：

直线PQ∥平面ABCD。

9、计算公式之一：

（三条棱长分别是a、b、c的长方体）

1棱长和=

；②体积=

；③表面积=

；

④无盖表面积=

、

、

10、计算公式之二：

（边长是a正方体）

①棱长和=12

；②体积=

；③表面积=

；④无盖表面积=

。

11、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。

12、长方体中棱与棱的位置关系有3种，分别是平行、相交、异面。

13、长方体中棱与面的位置关系有2种，分别是：

平行、垂直。

14、长方体中面与面的位置关系有2种，分别是：

平行、垂直。

二、检验垂直或平行的方法：

1、检验直线与平面垂直的方法：

①铅垂线法：

将铅垂线靠近被测直线，如果铅垂线能够紧贴被测直线，说明直线垂直于水平面。

（可用于检验细棒是否垂直于水平面、黑板的边沿是否垂直于水平面）

②三角尺法：

将两把三角尺的一条直角边分别紧贴已知平面并且位置交叉，将两把三角尺的另一条直角边分别靠近被测细棒，如果两条直角边都能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。

（可用于检验细棒是否垂直于墙面）

③合页型折纸法：

将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度后直立于已知平面，用折痕靠近被测直线，如果折痕能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。

2、检验平面与平面垂直的方法：

①铅垂线法；②三角尺法；③合页型折纸法。

3、检验直线与平面平行的方法：

①铅垂线法：

从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。

如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。

（可用于检验黑板的边沿是否平行于水平面）

②长方形纸片法：

将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。

（可用于检验桌面上的灯管是否平行于桌面）

4、检验平面与平面平行的方法：

①长方形纸片法：

将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。

二、长方体中的棱与面的位置关系：

（长方体中有现成的合页型折纸、长方形纸片可供检验）

1、长方体中与某条棱平行的棱有3条，长方体中互相平行的棱共有18对；

2、长方体中与某条棱相交的棱有4条，长方体中相交的棱共有24对；

3、长方体中与某条棱异面的棱有4条，长方体中异面的棱共有24对；

4、长方体中与某条棱平行的面有2个；

5、长方体中与某条棱垂直的面有2个；

6、长方体中与某个面平行的棱有4条；

7、长方体中与某个面垂直的棱有4条；

8、长方体中与某个面平行的面有1个，长方体中互相平行的面共有3对；

9、长方体中与某个面垂直的面有4个，长方体中互相垂直的面共有12对。

巩固练习

一、选择题

1．长方体裁12条棱中，棱相等的至少有　　　　　　　　　　　　（）．

（A）2条；（B）4条；

（C）6条；（D）8条．

2．在长方体中，与一条棱

垂直的平面有　　　　　　　　　　　（）．

（A）1个；（B）2个；

（C）3个；（D）4个．

3．在长方体中，与一个平面垂直的棱有　　　　　　　　　　　　（）．

（A）1个；（B）2个;（C）3个；（D）4个.

4．以下说法中正确的个数是（）．

（1）水平面是平面，但平面不一定是水平面；

（2）凡与铅垂线重合的直线一定垂直于平面；

（3）直立于桌面上的合页型折纸的折痕必垂直于桌面；

（4）如果长方体的两条棱没有公共点，那么它们一定平行．

（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个．

5．下面哪个不是检验直线与平面垂直的工具（）．

（A）铅垂线；（B）长方形纸片；（C）三角尺；（D）合页型折纸．

6．长方体中，相邻的两个平面（）．

（A）有垂直关系；（B）有平行关系；（C）可能垂直也可能平行；（D）无法确定．

二、填空：

7．空间两条直线的位置关系有__________________.

8．长方体的长是12cm，宽是8cm，高是5cm，这个长方体所有的棱长和是_______.

9．如图，在山坡上栽种的小树，要检验它是否与地平面垂直，应该用什么方法检验：

____________________________.

10．如图，长方体中，与面CDD1C1垂直的棱有_________.

11．如图，长方体中，与面BCC1B1垂直的面有_____

_____.

12．如图，在长方体中，与面CDD1C1平

行的棱有_______.

13．如图，沿长方形ABCD的对角线BD与长方形A1B1C1D1的对角线B1D1将长方体截成相等的两部分，截面BDD1B1，是一个__

____形，与它平行的棱有__________.

14．如图，将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度，然后直立于平面ABCD上，那么折痕MN与平面ABCD的关系是．

15．如图，对长方体如图所示那样截去一角后余下的几何体有_________个顶点，_______条棱，________个面.

16．如图所示，长方体截去两个角的几何体，剩下有个顶点，条棱，

个面.17.如图是长方体的六面展开图，在原来长方体中，与平面B垂直的面有_______.

18.如图

，是由棱长为1的小正方体构成，其小正方体的个数为个.

三、作图题

19．画一个长方体，使它一个顶点出发的三条棱长分别是a、b、c.

20．补画下面的图形，使之成为长方体的直观图.

四、简答题（12分+12分+14分+14分，共52分）

21．用一根108cm长的铁丝做一个长、宽、高的比为2：

3：

4的长方体框，那么这个长方体的体积是多少？

22．把长、宽、高分别为5㎝、4㎝、3㎝两个相同的长方体粘合成一个大的长方体，求大长方体的表面积和体积.

23．如图，将一个横截面是正方形（面BCGF）的长方体木料，沿平面AEGC分割成大小相同的两块，表面积增加了30平方厘米.已知EG长5厘米，分割后每块木料的体积是18立方厘米.求原来这块长方体木料的表面积是多少？

24．小明准备用透明胶和硬纸板制作一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：

（1）制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写

画法）；

（2）制作时，需要裁剪一块长方形的硬纸板，小明经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完（如图2），请你求出长方体的长

、宽

和高

；

（3）制作完成后，小明想把这个盒子表面的其中5个面都涂满相同的颜色，而且要使涂色部分的面积最少，那么涂色部分的面积是多少呢？

图1图2

参考答案：

一、选择题

1．B；2．B；3．D；4．B；5．B；6．A．

二、填空题

7．平行、相交、异面；8．100㎝；9．铅垂线；10．AD，A1D1、BC、B1C1；11．ABB1A1、CDD1C1、ABCD、A1B1C1D1；12．AB、A1B1、AA1、BB1

；13．长方；CC1、AA1；14．垂直；15．7、12、6；

16．10、15、7；17．A、F、C、E．18.95

三、解答题

19．略；20．略．

四、解答题

21．解：

设棱长分别为2x㎝、3x㎝、4x㎝

x=3

所以棱长分别为6㎝、9㎝、12㎝

体积为V=6×9×12=648㎝3．

22．解：

总表面积为S=（5×4+4×3+5×3）×2=94㎝2

分类：

1）以5、4为粘合面，则S1=94×2-（5×4）×2=148.

2）以5、3为粘合面，则S2=94×2-（5×3）×2=158.

3）以4、3为粘合面，则S3=94×2-（4×3）×2=164.

体积为V=（5×4×3）×2=120㎝3.

23．解：

由题意：

对角线所在长方形面积=15㎝2，

故高CG=15÷5=3（㎝）.

又因为横截面是正方形，故BC=CG=3㎝.

而其体积为18×2=36㎝3，

故其边AB=36÷32=4㎝；

原来这块长方体木料的表面积S=（4×3+4×3+3×3）×2=66㎝2.

24．解：

1）略

2）由题意：

长方体六个面两俩相同，故只有a×b，a×c，b×c，3种形式

故；如图可得：

4b=24，3a=c，2b=c

所以得：

a=4，b=6，c=12

3）总表面积为S=（12×6+4×6+12×4）×2=288㎝2

要使涂色部分的面积最少，

则涂色部分的面积是S=288-（12×6）=216㎝2

（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）