1--函数定义域和值域.doc

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绍兴一中分校2007学年数学二轮复习内部资料

第一讲函数定义域和值域

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．（湖南卷）函数f（x）＝的定义域是　 （　A）

A．－∞，0]　　 B．[0，＋∞　 C．（－∞，0）　 D．（－∞，＋∞）

2．（江西卷）函数的定义域为 （A）

A．（1，2）∪（2，3） B．

C．（1，3） D．[1，3]

3．（浙江五校联考）对于抛物线线上的每一个点，点都满足，则的取值范围是（B）

．．．．

4．已知的定义域为，则的定义域为　　　　。

5．（上海模拟）不等式对一切非零实数x总成立,则的取值范围是__。

6．（07江苏）　已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为　　　　　　。

★★★高考要考什么

一、函数定义域有两类：

具体函数与抽象函数

具体函数：

只要函数式有意义就行－－－解不等式组；

抽象函数：

（1）已知的定义域为D，求的定义域；（由求得的范围就是）

（2）已知的定义域为D，求的定义域；（求出的范围就是）

二、函数值域（最值）的求法有：

直观法：

图象在轴上的“投影”的范围就是值域的范围；

配方法：

适合一元二次函数

反解法：

有界量用来表示。

如，，等等。

如，。

换元法：

通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。

注意三角换元的应用。

　如求的值域。

单调性：

特别适合于指、对数函数的复合函数。

如求值域。

注意函数的单调性。

基本不等式：

要注意“一正、二定、三相等”，

判别式：

适合于可转化为关于的一元二次方程的函数求值域。

如。

反之：

方程有解也可转化为函数求值域。

如方程有解，求的范围。

数形结合：

要注意代数式的几何意义。

如的值域。

（几何意义――斜率）

三、恒成立和有解问题

恒成立的最大值；恒成立的最小值；

有解的最小值；　无解的最小值；

★★★突破重难点

【范例1】已知f（x）=3x－b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），求F（x）=[f－1（x）]2－f－1（x2）的值域。

分析提示：

求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用。

本题要注意F（x）的定义域与f－1（x）定义域的联系与区别。

解：

由图象经过点（2，1）得，，　　　　

　F（x）=[f－1（x）]2－f－1（x2）　　　　　　　的定义域为　

　，　，　　　　的值域是

易错点：

把的定义域当做的定义域。

变式：

函数的定义域为，图象如图所示，

其反函数为则不等式

的解集为.

【范例2】（07福建）设函数．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．

解：

（Ⅰ），

当时，取最小值，

即．

（Ⅱ）令，

由得，（不合题意，舍去）．

当变化时，的变化情况如下表：

递增

极大值

递减

在内有最大值．

在内恒成立等价于在内恒成立，

即等价于，

所以的取值范围为．

变式：

函数f（x）是奇函数，且在[—l，1]上单调递增，f（－1）＝－1，

（1）则f（x）在[－1，1]上的最大值　　1　，

（2）若对所有的x∈[－1，1]及a∈[－1，1]都成立，则t的取值范围是　　　　_　　　　　　．

【范例3】已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．

（I）求的取值范围；

（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．

解：

（I）由方程消得． ①

依题意，该方程有两个正实根，

故解得．

（II）由，求得切线的方程为，

由，并令，得

，是方程①的两实根，且，故，，

是关于的减函数，所以的取值范围是．

是关于的增函数，定义域为，所以值域为，

（III）当时，由（II）可知．

类似可得．．

由①可知．

从而．

当时，有相同的结果．

所以．

变式：

已知函数的最大值是，最小值是，求的值。

分析提示：

（1）能化成关于的二次函数，注意对数的运算法则；

（2）注意挖掘隐含条件“”；（3）掌握复合函数最值问题的求解方法。

解：

=，∵，且

∴当即时，

∴∴，又最大值是，，

∴即，∴∴

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