福建省高考数学试卷(理科).doc

福建省高考数学试卷(理科).doc

《福建省高考数学试卷(理科).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省高考数学试卷(理科).doc（24页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

2015年福建省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）

1．（5分）（2015•福建）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（　　）

A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．∅

2．（5分）（2015•福建）下列函数为奇函数的是（　　）

A．y= B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x

3．（5分）（2015•福建）若双曲线E：

=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（　　）

A．11 B．9 C．5 D．3

4．（5分）（2015•福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出y（万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（　　）

A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元

5．（5分）（2015•福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（　　）

A． B．﹣2 C． D．2

6．（5分）（2015•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（　　）

A．2 B．1 C．0 D．﹣1

7．（5分）（2015•福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（5分）（2015•福建）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

9．（5分）（2015•福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（　　）

A．13 B．15 C．19 D．21

10．（5分）（2015•福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：

本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11．（4分）（2015•福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于　　　　　　．（用数字作答）

12．（4分）（2015•福建）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于　　　　　　．

13．（4分）（2015•福建）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于　　　　　　．

14．（4分）（2015•福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是　　　　　　．

15．（4分）（2015•福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）

已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：

其中运算⊕定义为：

0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于　　　　　　．

三、解答题

16．（13分）（2015•福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

17．（13分）（2015•福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

（1）求证：

GF∥平面ADE；

（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

18．（13分）（2015•福建）已知椭圆E：

+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

19．（13分）（2015•福建）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：

先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．

（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；

（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β

（i）求实数m的取值范围；

（ii）证明：

cos（α﹣β）=﹣1．

20．（7分）（2015•福建）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）

（1）证明：

当x＞0时，f（x）＜x；

（2）证明：

当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；

（3）确定k的所以可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．

四、选修4-2：

矩阵与变换

21．（7分）（2015•福建）已知矩阵A=，B=

（1）求A的逆矩阵A﹣1；

（2）求矩阵C，使得AC=B．

五、选修4-4：

坐标系与参数方程

22．（7分）（2015•福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）

（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

六、选修4-5：

不等式选讲

23．（7分）（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．

（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

2015年福建省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）

1．（5分）（2015•福建）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（　　）

A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．∅

【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．

【解答】解：

∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，

∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．

故选：

C．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．

2．（5分）（2015•福建）下列函数为奇函数的是（　　）

A．y= B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x

【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

【解答】解：

A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．

B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．

C．y=cosx为偶函数．

D．f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，

故选：

D

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．

3．（5分）（2015•福建）若双曲线E：

=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（　　）

A．11 B．9 C．5 D．3

【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．

【解答】解：

由题意，双曲线E：

=1中a=3．

∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，

∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，

∴|PF2|=9．

故选：

B．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．

4．（5分）（2015•福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出y（万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（　　）

A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元

【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．

【解答】解：

由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，

=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，

代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，

∴回归方程为=0.76x+0.4，

把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，

故选：

B．

【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．

5．（5分）（2015•福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（　　）

A． B．﹣2 C． D．2

【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．

【解答】解：

由约束条件作出可行域如图，

由图可知，最优解为A，

联立，解得A（﹣1，）．

∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．

故选：

A．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

6．（5分）（2015•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（　　）

A．2 B．1 C．0 D．﹣1

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．

【解答】解：

模拟执行程序框图，可得

i=1，S=0

S=cos，i=2

不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3

不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4

不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5

不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6

满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，

故选：

C．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．

7．（5分）（2015•福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．

【解答】解：

l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，

所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．

故选：

B．

【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．

8．（5分）（2015•福建）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．

【解答】解：

由题意可得：

a+b=p，ab=q，

∵p＞0，q＞0，

可得a＞0，b＞0，

又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，

可得①或②．

解①得：

；解②得：

．

∴p=a+b=5，q=1×4=4，

则p+q=9．

故选：

D．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．

9．（5分）（2015•福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（　　）

A．13 B．15 C．19 D．21

【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．

【解答】解：

由题意建立如图所示的坐标系，

可得A（0，0），B（，0），C（0，t），

∵，∴P（1，4），

∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），

∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），

由基本不等式可得+4t≥2=4，

∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，

当且仅当=4t即t=时取等号，

∴的最大值为13，

故选：

A．

【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．

10．（5分）（2015•福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．

【解答】解；∵f′（x）=

f′（x）＞k＞1，

∴＞k＞1，

即＞k＞1，

当x=时，f（）+1＞×k=，

即f（）﹣1=

故f（）＞，

所以f（）＜，一定出错，

故选：

C．

【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．

二、填空题：

本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11．（4分）（2015•福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于　80　．（用数字作答）

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．

【解答】解：

（x+2）5的展开式的通项公式为Tr+1=•x5﹣r•2r，

令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，

故答案为：

80．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

12．（4分）（2015•福建）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于　7　．

【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．

【解答】解：

因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，

所以，

所以sinA=，

所以A=60°，

所以cosA=，

所以BC==7．

故答案为：

7．

【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．

13．（4分）（2015•福建）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于　　．

【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．

【解答】解：

由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，

阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，

由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；

故答案为：

．

【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．

14．（4分）（2015•福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是　（1，2]　．

【分析】当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，即logax≥1，故有loga2≥1，由此求得a的范围，综合可得结论．

【解答】解：

由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），

故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．

当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1，∴1＜a≤2．

综上可得，1＜a≤2，

故答案为：

（1，2]．

【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

15．（4分）（2015•福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）

已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：

其中运算⊕定义为：

0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于　5　．

【分析】根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．

【解答】解：

依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，

①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；

②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；

③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；

④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；

⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，

故k=5符合题意；

⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，

从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；

⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，

从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；

综上，k等于5．

故答案为：

5．

【点评】本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．

三、解答题

16．（13分）（2015•福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

【分析】

（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）随机变量X的取值为：

1，2，3，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．

【解答】解：

（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，

则P（A）=．

（2）有可能的取值是1，2，3

又则P（X=1）=，

P（X=2）==，

P（X=3）==，

所以X的分布列为：

X

1

2

3

P

EX=1×+2×+3×=．

【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．

17．（13分）（2015•福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

（1）求证：

GF∥平面ADE；

（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

【分析】解法一：

（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；

（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．

解法二：

（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；

（2）同解法一．

【解答】解法一：

（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，

∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，

又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，

∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，

∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，

又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．

（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，

∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，

又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，

以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）

∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，

设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）

由垂直关系可得，取z=2可得．

∴cos＜，＞==

∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．

解法二：

（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，

又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE

又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，

∴GM∥平面ADE．

在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．

又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE．

又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF

∴平面GMF∥平面ADE，

∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE

（2）同解法一．

【点评】本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．

18．（13分）（2015•福建）已知椭圆E：

+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【分析】解法一：

（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．

（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：

y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．

解法二：

（1）同解法一．

（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AG