天津高考数学(理)试题及答案解析.doc
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
•如果事件，互斥，那么 •如果事件，相互独立，那么
.
•圆柱的体积公式.•圆锥的体积公式.
其中表示圆柱的底面面积，其中表示圆锥的底面面积，
表示圆柱的高.表示圆锥的高.
一、选择题：
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
（1）是虚数单位，复数（ ）
（A）（B） （C）（D）
（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（ ）学科网
（A）15（B）105
（C）245（D）945
（4）函数的单调递增区间是（ ）
（A）（B）
（C）（D）
（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：
，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：
①平分；②；③；④.
则所有正确结论的序号是（ ）
（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④
（7）设，则|“”是“”的（ ）
（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件
（8）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，.若，，则（）
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷
注意事项：
学科网
1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）
（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：
5：
5：
6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：
m），则该几何体的体积为_______.
（11）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为__________.
（12）在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.
（13）在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为___________.
（14）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.
三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）
已知函数，.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值.学科网
（16）（本小题满分13分）
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若为棱上一点，满足，
求二面角的余弦值.
（18）（本小题满分13分）
设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切.求直线的斜率.
（19）（本小题满分14分）
已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（Ⅱ）设，，，其中
（20）（本小题满分14分）
已知函数，.已知函数有两个零点，且.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）证明随着的减小而增大；
（Ⅲ）证明随着的减小而增大.
参考答案及解析
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
D
A
D
C
C
（1）是虚数单位，复数（ ）
（A）（B） （C）（D）
解：
A.
（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
解：
B作出可行域，如图
结合图象可知，当目标函数通过点时，取得最小值3.
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（ ）
（A）15（B）105
（C）245（D）945
解：
B时，，；时，，；
时，，，输出.
（4）函数的单调递增区间是（ ）
（A）（B）
（C）（D）
解：
D，解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.
（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：
，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：
A依题意得，所以，，双曲线的方程为.
（6）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：
①平分；②；③；④.
则所有正确结论的序号是（ ）
（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④
解：
D由弦切角定理得，又，所以∽，所以，即，排除A、C.
又，排除B.
（7）设，则|“”是“”的（ ）
（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件
解：
C设，则，所以是上的增函数，“”是“”的充要条件.
（8）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，.若，，则（）
（A）（B）（C）（D）
解：
C因为，所以.
因为，所以，.
因为，所以，即①
同理可得②，①+②得.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）
（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：
5：
5：
6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
解：
60应从一年级抽取名.
（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：
m），则该几何体的体积为_______.
解：
该几何体的体积为.
（11）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为__________.
解：
依题意得，所以，解得.
（12）在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.
解：
因为，所以，解得，.
所以.
（13）在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为___________.
解：
3圆的方程为，直线为.
因为是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得.
（14）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.
解：
或
显然.
（ⅰ）当与相切时，，此时恰有3个互异的实数根.
（ⅱ）当直线与函数相切时，，此时恰有2个互异的实数根.
结合图象可知或.
解2：
显然，所以.
令，则.
因为，
所以.
结合图象可得或.
三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）
已知函数，.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值.
（15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.满分13分.
（Ⅰ）解：
由已知，有
.
所以，的最小正周期.
（Ⅱ）解：
因为在区间上是减函数，在区间上是增函数.
，，.
所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为.
（16）（本小题满分13分）
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：
设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件，则
.
所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.
所以，的最小正周期.
（Ⅱ）解：
随机变量的所有可能值为0，1，2，3.
.
所以，随机变量的分布列是
0
1
2
3
随机变量的数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若为棱上一点，满足，
求二面角的余弦值.
（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.
（方法一）
依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，.由为棱的中点，得.
（Ⅰ）证明：
向量，，故.所以，.
（Ⅱ）解：
向量，.
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有
.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）解：
向量，，，.
由点在棱上，设，.
故.
由，得，
因此，，解得.即.
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得为平面的一个法向量.
取平面的法向量，则
.
易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.
（方法二）
（Ⅰ）证明：
如图，取中点，连接，.
由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.
因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.
（Ⅱ）解：
连接，由（Ⅰ）有平面，得，而，故.
又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.
所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角.
依题意，有，而为中点，可得，进而.
故在直角三角形中，，因此.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）解：
如图，在中，过点作交于点.
因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.
在底面内，可得，从而.在平面内，作交于点，于是.
由于，故，所以四点共面.
由，，得平面，故.
所以为二面角的平面角.
在中，，，，
由余弦定理可得，.
所以，二面角的斜率值为.
（18）（本小题满分13分）
设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切.求直线的斜率.
（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：
设椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.
所以，椭圆的离心率.
，所以，解得，.
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）知，.故椭圆方程为.
设.由，，有，.
由已知，有，即.又，故有
.①
又因为点在椭圆上，故
.②
由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为.
设圆的圆心为，则，，进而圆的半径.
设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.学科网
由与圆相切，可得，即，
整理得，解得.
所以，直线的斜率为或.
（19）（本小题满分14分）
已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（Ⅱ）设，，，其中，.证明：
若，则.
（19）本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法.考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：
当，时，，.
可得，.
（Ⅱ）证明：
由，，，，及，可得
.
所以，.
（20）（本小题满分14分）
已知函数，.已知函数有两个零点，且.
（Ⅰ）求的取值范围；学科网
（Ⅱ）证明随着的减小而增大；
（Ⅲ）证明随着的减小而增大.
（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：
由，可得.
下面分两种情况讨论：
（1）时
在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.
（2）时，
由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：
＋
0
－
↗
↘
这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.
于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：
1°；2°存在，满足；
3°存在，满足.
由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.
所以，的取值范围是.
（Ⅱ）证明：
由，有.
设，由，知在上单调递增，在上单调递减.并且，当时，；当时，.
由已知，满足，.由，及的单调性，可得，.
对于任意的，设，，其中；，其中.
因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.
又由，得.
所以，随着的减小而增大.
（Ⅲ）证明：
由，，可得，.
故.
设，则，且解得，.所以，
.①
令，，则.
令，得.
当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.
因此，由①可得随着的增大而增大.
而由（Ⅱ），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大.学科网
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