全国青年数学教师优质课教学设计函数yAsinωx+φ的图象和性质.docx

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全国青年数学教师优质课教学设计函数yAsinωx+φ的图象和性质

课题：

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象（第一课时）

授课教师：

南京师范大学附属中学丁菁

教材：

苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4

一、内容与内容解析

1．本课地位和作用

三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用．“函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数A，ω，φ变化对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．

2．本课内容剖析

“函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象”主要是探讨函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与函数y＝sinx的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．

本节课是“函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象”的第一课时，本节课的教学设计是先分别探讨φ、A、ω对y＝sin（x＋φ）、y＝Asinx（A>0）、y＝sinωx（ω>0）的图象的影响，再探究y＝sin（2x＋1）的图象和y＝sin2x的图象之间的变换关系．其中，对参数φ的研究方法可以迁移到后续问题解决中去．

本节课的重点是：

对y＝sin（x＋φ）、y＝Asinx（A>0）、y＝sinωx（ω>0）的图象和y＝sinx的图象之间的变换规律的理解.

二、目标与目标解析

1．分别探究φ、A、ω对y＝sin（x＋φ）、y＝Asinx（A>0）、y＝sinωx（ω>0）的图象的影响；

2．在理解φ、A、ω对y＝sin（x＋φ）、y＝Asinx（A>0）、y＝sinωx（ω>0）的图象的变换规律的基础上，探究ω不为1时的平移变换；

3．让学生自主探究研究策略，经历从具体到抽象、由感性到理性的研究过程，培养学生的认知策略．

三、学生学情分析

在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸和拓展，从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图象的变换规律．

1．参数φ引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？

在教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对平移变换的理解；

2．A、ω对y＝Asinx（A>0）、y＝sinωx（ω>0）图象的影响，由学生类比方法独立研究．其中，参数A和ω的取值，学生会忽视0＜A＜1和0＜ω＜1情况，在这里注意引导，从而全面认识参数A和ω的变化引起的图象变换．

通过本节课的学习，学生经历从由形导数到由数释形的深化过程，形成研究函数图象变换的一般策略．

四、教学策略分析

本节课的难点是：

伸缩变换；

ω不为1时的平移变换．

突破难点的策略是：

通过探讨φ对y＝sin（x＋φ）图象的影响，初步感悟变换的实质，进而类比探究A、ω对y＝Asinx（A>0）、y＝sinωx（ω>0）的图象的影响．比如，从y＝sinx到y＝sinωx，代数上是用ωx代换x，因此是将y＝sinx图象上坐标为（x0，y0）的点变换到坐标为（

x0，y0）的点，所以是将y＝sinx图象上各点纵坐标不变、横坐标变为原来的

；

从y＝sin2x的图象变换到y＝sin（2x＋1）的图象，究竟是向左平移1个单位还是

个单位？

突破难点的方法是通过坐标变换理性分析，如果学生仍有困难，结合几何画板作图观察．

教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体的例子，增加供归纳的样本，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，逐步概括图象变换的规律．学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法．

本节课遵循自主探究的教学方式，因为每个人的知识、能力不同，因此认识问题的习惯与特点不同，所以本节课并不把探究过程设计成一个封闭的、静态的系统，而是设计为一个动态的、开放的系统，充分发挥学生的主观能动性，这有利于学生认知策略的发展．

五、教学过程

1.创设情境、提出问题

如图，摩天轮的半径为Am（A>0），摩天轮逆时针做匀速转动，角速度为ωrad／min（ω>0），如果当摩天轮上点P从图中点P0处开始计算时间．请在如图所示的坐标系中，确定时刻xmin时点P的纵坐标y．

【设计意图】

用数学的眼光观察世界，感悟函数y＝Asin（ωx＋φ）是刻画自然界周期现象的常见的数学模型，具有丰富的自然背景．借助于实际意义来理解函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象性质是自然的、清楚的、明白的！

师生活动：

先将点P0置于x轴正半轴上，利用正弦函数的定义得到y＝Asinωx；再将点P0置于如图所示位置，得到在时刻xmin时点P的纵坐标y＝Asin（ωx＋φ）．

小结：

形如y＝Asin（ωx＋φ）的函数在生活中经常可见，如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足y＝Asin（ωx＋φ），如图所示．再比如潮汐现象中水位的高度等也满足这个解析式，因此今天我们来探讨这个函数，为了探讨方便，这里A>0，ω>0．

设问1：

按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法研究或认识函数的性质呢？

结论：

图象．

板书课题：

函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象

设问2：

显然，参数A，ω，φ取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？

结论：

函数y＝sinx．

2．研制策略，优化方案

问题1：

如何由y＝sinx的图象得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象？

师生活动：

引导学生制定研究方案，教师板书方案．

小结：

在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案，即相对固定其中2个，仅一个变动，先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin（x＋φ）、y＝Asinx（A>0）、y＝sinωx（ω>0）的图象的影响，再综合．

【设计意图】

首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法;其次，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化，体会从简单到复杂的研究问题的一般方法．

3．合作探究，感悟方法

问题2：

如何由y＝sinx的图象得到y＝sin（x＋1）的图象？

师生活动：

让学生们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？

”；

再举几个例子如：

y＝sin（x－1），y＝sin（x＋

）；

抽象到一般．

向左平移1个单位

板书：

y＝sinx———————→y＝sin（x＋1）

点M（x0，y0）———————→点N（x0－1，y0）

向左（φ>0）或向右（φ<0）

平移|φ|个单位

y＝sinx———————→y＝sin（x＋φ）

点M（x0，y0）———————→点N（x0－φ，y0）

【设计意图】

第一，人们认识问题大多从具体到抽象，具体的研究清楚了，抽象的就不难了；第二，引导学生说明为什么？

从形上说图象变换是图象上每点的位置变化，从数上讲是点的坐标变化，这里找出是纵坐标相同的两点，从横坐标的变化关系解释平移变换．

着重探讨清楚φ对函数y＝sin（x＋φ）的图象的影响，学生可以将探究方法迁移到后续对A、ω的探究中去．

4．类比方法，自主探究

问题3：

（1）如何由y＝sinx的图象得到y＝Asinx（A>0）的图象？

（2）如何由y＝sinx的图象得到y＝sinωx（ω>0）的图象？

师生活动：

让学生类比之前的方法自主探讨，然后交流．

①y＝Asinx（A＞0）的图象可以看作是把y＝sinx图象上所有点在横坐标不变的情况下纵坐标变为原来的A倍得到的．

横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍

板书：

y＝sinx————————→y＝Asinx（A>0）

点M（x0，y0）————————→点N（x0，Ay0）

②y＝sinωx（ω＞0）的图象可以看作是把y＝sinx图象上所有点在纵坐标不变的情况下横坐标变为原来的

倍得到的．

纵坐标不变

横坐标变为原来的倍

板书：

y＝sinx————————→y＝sinωx（ω＞0）

点M（x0，y0）————————→点N（

，y0）

【设计意图】

类比前面的探讨方法，请学生独立探究A、ω对y＝Asinx、y＝sinωx的图象有什么影响.此处不仅从形的角度认识规律，更加突出从点的坐标这一数的本质去理解，实现思维水平的提升.

设问3：

刚才我们分别探讨了φ、A、ω对函数图象的影响，我们是怎样研究的呢？

结论：

（1）从特殊到一般；

（2）作图比较；（3）理性分析．

小结：

φ引起的是图象的平移变换，A、ω引起的是图象的伸缩变换．图象变换的本质就是图象上每个点的位置变化，而点的位置变化对应了点的坐标的变化．因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．

5．思考巩固，深化铺垫

探究：

如何由y＝sin2x的图象得到y＝sin（2x＋1）的图象呢？

向左平移个单位

师生活动：

学生讨论后交流．这里是向左平移1个单位还是向左平移

个单位？

①利用几何画板画图观察，②从坐标关系理性分析．

板书：

y＝sin2x————————→y＝sin（2x+1）

点M（x0，y0）————————→点N（x0－

，y0）

小结：

从中发现，横向变换只对x的变化而言，同理纵向变换仅对y的变化而言．

y＝sin2x的图象向左平移

个单位，得到的函数图象对应的解析式是y＝sin2（x＋

），而不是y＝sin（2x＋

）．

【设计意图】

探讨y＝sin（2x＋1）的图象与y＝sin2x的图象的关系，仅作为平移变换的巩固，深化对变换本质的把握，为下节课的研究铺垫.“为理解而学习、教学”是建构主义的核心目标．

鼓励学生进行探究，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答．这样做有利于培养学生的学习积极性，有利于培养学生的思维能力．

6．整理小结，规划任务

小结：

今天我们分别探讨了φ、A、ω对函数y＝sin（x＋φ）、

y＝Asinx（A>0）、y＝sinωx（ω>0）的图象的变换规律，下面

探讨什么呢？

【设计意图】

培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨内容和方法.

布置作业：

1．阅读课本（系统回顾本节课学习内容，学习规范表达）；

2．书第39页练习第1题，第4题．