高等代数与解析几何第七章13习题线性变换与相似矩阵答案.docx

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高等代数与解析几何第七章13习题线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵

习题7.1

习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？

（1）设是线性空间中的一个固定向量，

（Ⅰ），，

解：

当时，显然是的线性变换；

当时，有，，则

，即此时不是的线性变换。

（Ⅱ），；

解：

当时，显然是的线性变换；

当时，有，，则

，即此时不是的线性变换。

（2）在中，

（Ⅰ），

解：

不是的线性变换。

因对于，有，

，所以。

（Ⅱ）；

解：

是的线性变换。

设，其中，，

则有

，

。

（3）在

（Ⅰ）

解：

是

中，

，

的线性变换：

设

，则

，

，

。

（Ⅱ）

解：

是

，其中

的线性变换：

设

是中的固定数；

，则

，

，

。

（4）把复数域看作复数域上的线性空间，

共轭复数；

解：

不是线性变换。

因为取，时，有

，即。

，其中

是的

，

（5）在

中，设

与是其中的两个固定的矩阵，

，

。

解：

是

的线性变换。

对

，

，有

，

。

习题

7.1.2在

中，取直角坐标系

，以

表示空间绕

轴由

轴向

方向旋转

900的变换，以

表示空间绕

轴由

轴向

方向

旋转900的变换，以

表示空间绕轴由轴向

方向旋转

900的

变换。

证明

（表示恒等变换），

，

；

并说明

是否成立。

证明：

在

中任取一个向量

，则根据

，及

的定义可

知：

，

，

，

；

；

，

，

，

，即

，故

。

因为

因为

，

，所以

，

，所以

。

。

因为

，

，所以

。

习题7.1.3在

中，

，

，证明

。

证明：

在

中任取一多项式

，有

。

所以。

习题7.1.4设，是上的线性变换。

若，证明

。

证明：

用数学归纳法证明。

当时，有

命题成立。

假设等式对

成立，即

。

下面证明等式对

也成立。

因有

，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。

习题7.1.5证明

（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；

（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且

。

证明：

（

进而

（2）因

1）设

，都是

都是的逆变换，则有，

。

即的逆变换唯一。

上的可逆线性变换，则有

。

，同理有

由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得

。

习题

7.1.6设

是上的线性变换，向量

，且

，

，

，

都不是零向量，但

。

证明

，

，

，

线性无关。

证明：

设

，依次用

可得

，得

，而

，

故

即得

；同理有：

；依次类推可得

，即得

，得

，

，进而得

。

有定义知，，，线性无关。

习题7.1.7设是上的线性变换，证明是可逆线性变换的充要条

件为

证明：

两端用

若任取

既是单射线性变换又是满射线性变换，即是一一变换。

已知是可逆线性变换，即存在。

若，则

作用即得，因此是单射线性变换。

，则存在，使得，即是满射线性

变换。

已知

义新的变换：

既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。

现定

，定有，且有，规定，有

，同时有

，即有

。

由定义

知是可逆线性变换。

习题7.1.8设是上的线性变换，证明

（1）是单射线性变换的充

要条件为；

（2）是单射线性变换的充要条件为把线性

无关的向量组变为线性无关的向量组。

证明：

（1）已知是单射线性变换，对，则有

，由单射得

，即

。

已知

，若

，则有

，得

，即得

，故

是单射。

（2）

已知

是单射线性变换。

设

线性无关，现证

也线性无关。

令

，整

理有

，而

是单射，有

，

已知线性无关，所以，故

也线性无关。

已知把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。

若

，则有，并一定有。

否则若，

则说明向量线性无关，而表示把线性无关的向量

组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。

而由可得，

即是单射线性变换。

习题7.1.9设是中全体可逆线性变换所成的子集，证明

关于线性变换的乘法构成一个群。

（超范围略）

习题7.1.10设

，

是

上的线性变换，且

证明

（1）若

，则

；

（2）若

，则

。

证明：

（1）因为

，

。

所以

，

从而

或

。

又因为

。

故。

（2）因为，，所以

。

习题7.1.11设与分别是数域上的维与维线性空间，

是的一个有序基，对于中任意个向量，证

明存在唯一的线性映射，使，。

证明：

先证明存在性。

对任意的，有唯一的线性表达式

我们定义

显然有，。

现验证为到的一个线性映射。

（1）对任意的向量，因为

，由定义得

。

（2）对任意的，因为，由定义

得

。

所以为到的一个线性映射。

再证唯一性：

若另有到的一个线性映射，也使得

，。

则对任意向量，一定有

。

由在中的任意性，可得。

习题7.1.12设与分别是数域上的维与维线性空间，

是线性映射。

证明是的子空间，是的子空间。

又若有限，证明。

这时称为的

零度，称为的秩。

证明：

（1）先证与分别为与的子空间，

对，，有，

所以，故为的子空间；同理，对，

，则，使，，所以

所以为的子空间.

（2）再证

因有限，不妨设，，在中取一个基

，再把它扩充为的一个基，则

是像空间的一个基.

事实上，对，存在，使得。

设，则有

即中的任意向量都可由线性表示。

现证向量组线性无关：

设，有

，所以向量

线性表示，进而有

，即

可由向量组

，整理有

，

又因

线性无关，所以必有

线性无关，即为

，因此

的一个基，故

。

习题

7.1.13证明

关于定义

7.1.12中所定义的线性映射的加法

与数量乘法构成上的一个线性空间。

证明：

现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法

量乘法都是从到的线性映射。

事实上，对，，有

与数

故为到的线性映射。

同理，对，，有

，

，

故为到的线性映射。

另外线性映射的加法与数量乘法

（1）结合律：

；

显然满足：

（2）交换律:

；

（3）存在零线性映射，对，有；

（4）对，有负线性映射，使得；

（5）；（6）；（7）；

（8）。

其中，

所以关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法

构成上的一个线性空间。

习题7.1.14证明：

。

证明：

设为维线性空间，为维线性空间，即，

。

取定的一组基和的一组基。

令

为到的如下映射：

，其中为在基

与基下的矩阵。

这样定义的是到的同构映

射。

事实上，

（1）若，，且，则有

，。

由于，对每一

个都有，故有，即是单射。

（2），令

。

则存在唯一的线性映射使得，并且

由此可见，

是满射。

（3）对

，

，有

，

，其中

即有

，

，所以

，故有，所以是

到的同构映射。

进而有

。

习题7.2

习题7.2.1求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵：

（1）的线性变换，，其中

为固定矩阵。

求

（2）设

，在

这个基下的矩阵；

是线性空间的线性变换，求

在基

下的矩阵；

（3）6

个函数：

，

，

，

，

的所有实系数线性组合构成实数域上一个

在基下的矩阵。

解：

（1）由，的定义直接可得：

，

6维线性空间。

求微分变换

，

，

，

。

所以在这个基下的矩阵为

。

，

，

，

。

所以在这个基下的矩阵为

。

（2）由直接可得：

，

，

，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

。

所以在基下的矩阵为：

。

（3）由微分运算性质直接可得：

，

，

，

，

，

。

所以微分变换在基下的矩阵为：

。

习题7.2.2设是的一个基，

，

，

，

。

已知线性无关。

证明：

（1）存在唯一的线性变换，使，；

（2）

（1）中的在基下的矩阵为；

（3）

（1）中的在基下的矩阵为。

证明：

（1）因为线性无关，所以也是的一个

基。

故对的一个基及个向量，定存在唯一的线性变换，

使，。

（2）由已知条件有

，

，

其中

与

都是

的基，所以

可逆，且有

，进而有

。

再由（

1）得

，所以

在基

下

的矩阵为

（3）类似有

。

，所

以在基下的矩阵为。

习题7.2.3在中，定义线性变换为

，，，

其中

，

，

。

（1）求

在基

下的矩阵；

（2）求

在基

下的矩阵。

解：

（1）由定义知

，，

所以有

。

故在基

下的矩阵为：

。

（2）类似有

。

故在基下的矩阵为：

。

习题7.2.4在中，线性变换在基，，下的

矩阵是。

求在基下的矩阵。

解：

已知，

，

则有

。

即在基下的矩阵为：

。

习题7.2.5设数域上3维线性空间的线性变换在基下的

矩阵为

（1）求

在基

下的矩阵；

（2）求

在基

下的矩阵；

（3）求

在基

下的矩阵。

解：

（1）由已知可得

，

，

。

所以在基下的矩阵为：

。

（2）由已知可得

，

，

。

所以在基下的矩阵为：

。

（3）由已知可得

，

，

。

所以在基下的矩阵为：

习题

7.2.6在

维线性空间

。

中，设有线性变换

与向量

使

，但

。

证明：

在

中存在一个基，使

在该基下的

矩阵为

。

证明：

由习题7.1.6知：

维线性空间的向量组，，，

线性无关，且有个向量，即构成的一组基，而线性变

换作用此基有：

，

，

⋯⋯⋯⋯⋯

，

。

故在基，，，下的矩阵为：

。

习题7.2.7设是数域的数域上的线性空间，试求求证：

任取的一组基，其中

上维线性空间的全体线性变换组成

，并找出中的一个基。

，令为到的映射：

。

由引理7.2.6及定理7.2.7

知为同构映射，即

。

所以它们的维数相同，而

，故

。

现取

，

，使得

，即，。

已知，是

的一组基，故，为的一组基。

习题7.2.8证明：

与维线性空间的全体线性变换都可交换的线性变

换是数乘变换。

证明：

在某组确定的基下，数域上的维线性空间的线性变换与

数域上的阶方阵间建立了一个双射，因为与一切阶方阵可交换

的方阵为数量矩阵，所以与一切线性变换可交换的线性变换必是数乘变换。

习题7.2.9设是维线性空间的一个线性变换，如果在的任意

一个基下的矩阵都相同，则是数乘变换。

证明：

设在基下的矩阵为，只要证明为数量

矩阵即可。

设为任意可逆矩阵，令，则

也是的一组基，且在这组基下的矩阵为，依题意

有。

特别地，当取时，计算可得

。

再取

，由

可得

，即

为

数量矩阵，所以

是数乘变换。

习题7.2.10证明：

与

相似，其中证明：

用基

是的一个排列。

依次表示这两个矩阵，取一个维线性空间

，对于矩阵，存在的线性变换，使得

及其一组

，

由此可得

。

因为与是在不同基下的矩阵，所以与相似。

习题7.2.11如果可逆，证明与相似。

证明：

因为，所以与相似。

习题7.2.12如果与相似，与相似，试判断下列叙述是否正确？

如果不正确，请举反例，否则给出证明。

（1）

与

相似；

（2）

与

相似；

（3）

与

相似。

答：

（1）正确。

证明：

由于与相似，与相似，因此存在可

逆阵，，使得，，从而有

，

其中，所以与相似。

（2）不正确。

反例：

设，，则有，使

，，即，故

与相似；再取，则与显然相似。

但

，。

设，且满足，即

，

计算得，即得，故不可逆。

所以与不相似。

（3）不正确。

反例：

取同

（2），有

，，

两矩阵秩不同。

显然，与不相似。

习题7.3

习题7.3.1设是数域上线性空间，是的线性变换。

如果是

的特征值，则对任意多项式，是的特征值，且

的属于的特征向量也是的属于的特征向量。

证明：

设为的属于的特征向量，即，则对任意自

然数，有。

事实上，当时，显然成立。

假设时，有

成立。

现证时也成立，即

。

故由数学归纳法得式对任意自然数均成立。

设，则有

，

即。

习题7.3.2对复数域上线性空间上的下述线性变换，求出它的特

征值与特征向量，判断是否可以对角化，在可对角化时，求出过

度矩阵，并计算。

已知在的一个基下的矩阵为

（1）；

（2）；（3）；（4）。

解：

（1）设在基下的矩阵为，矩阵的特征多项式为

。

所以的特征值为，。

先求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组

，求得基础解系为，所以的属于特征值的全部特

征向量为；

再求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组

，求得基础解系为，所以的属于特征值的全

部特征向量为。

可以对角化。

取的两个线性无关的特征向量，

，即，其中为由基到

基的过渡矩阵。

且有。

（2）设在基下的矩阵为，且当时，有，于是

矩阵的特征多项式为，所以的特征值为。

求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组

，求得基础解系为的两个线性无关的特征向量为

，

，所以

，因为的属于特征值

以中任意非零向量为其

特征向量。

当

时，矩阵

的特

征

多项

式为

先求

的属于特征值，求得基础解系为

，所以的特征值为。

的特征向量。

解齐次线性方程组

，所以的属于特征值的全部

特征向量为再求

；

的属于特征值

，求得基础解系为

的特征向量。

解齐次线性方程组，所以的属于特征值的全

部特征向量为。

可以对角化。

取的两个线性无关的特征向量，

，即，其中为由基到基

的过渡矩阵。

且有

（3）设在基

下的矩阵为

，矩阵

。

的特征多项式为

。

所以的特征值为。

先求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组

，求得基础解系为

，所以的属于特征值的全

部特征向量为

再求的属于特征值

，求得基础解系为

；

的特征向量。

解齐次线性方程组

，所以的属于特征值的全部

特征向量为。

由于找不到的三个线性无关的特征向量，故

（4）设在基下的矩阵为，矩阵

不可对角化。

的特征多项式为

。

所以

的特征值为

。

先求

的属于特征值，求得基础解系为

的特征向量。

解齐次线性方程组，，，所以的

属于特征值

的全部特征向量为

；

再求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组

，求得基础解系为，所以的属于特征值

的全部特征向量为。

可以对角化。

取

，，

的四个线性无关的特征向量

，即

，

，

其中为由基到基的过渡矩阵。

且

有

。

习题7.3.3证明：

是矩阵的特征值的充要条件是矩阵为奇异阵。

证明：

设非零向量为矩阵的属于特征值的特征向量，则有

，整理得，因，所以齐次线性方程组

有非零解，故系数行列式。

反之亦然。

习题7.3.4设，求。

解：

矩阵的特征多项式为

。

所以的特征值为。

对

基础解系

，解齐次线性方程组

；

，得

对

得基础解系

，解齐次线性方程组

；

，

对

得基础解系

，解齐次线性方程组

。

令

，有

，

，进

而有，故

。

习题7.3.5设

是4维线性空间

的一个基，线性变换

在这

个基下的矩阵为

。

（1）求在一个基下的矩阵，其中

（2）求的特征值与特征向量；

（3）求一可逆阵，使为对角阵。

解：

（1）由条件有，

令，则线性变换在基下的矩阵为

。

（2）因为线性变换的特征多项式为

。

所以线性变换的特征值为。

先求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组

，求得基础解系为，，所以的属于特征值

的线性无关的特征向量为，

。

全部特征向量为

；

再求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组

，求得基础解系为

，所以

的属于特征值

的

线性无关的特征向量为

。

全部特征向量为。

最后求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组

，求得基础解系为，所以的