浙江省中考数学总复习 第三章 函数及其图象 第12讲 函数概念与平面直角坐标系讲解篇.docx

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浙江省中考数学总复习第三章函数及其图象第12讲函数概念与平面直角坐标系讲解篇

第12讲　函数概念与平面直角坐标系

1．平面直角坐标系

考试内容

考试

要求

定义

平面内，两条互相、原点的数轴组成平面直角坐标系．坐标平面内的点与实数对一一对应．

b

坐标系内点的坐标特征

第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．

c

坐标轴上点的坐标特征

x轴负半轴；x轴正半轴；y轴负半轴；y轴正半轴；原点．

象限角平分线上点的坐标特征

一、三象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标____________________；

二、四象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标．

注意点

坐标轴上的点不属于任何象限．

2.点到坐标轴以及原点的距离

考试内容

考试

要求

到x轴的距离

点P（a，b）到x轴的距离为____________________.

c

到y轴的距离

点P（a，b）到y轴的距离为．

到原点的距离

点P（a，b）到原点的距离为．

3.平移与对称点的坐标

考试内容

考试

要求

点的平移

将点P（x，y）向右（或向左）平移a个单位，得对应点坐标为____________________；

将点P（x，y）向上（或向下）平移b个单位，得对应点坐标为．

c

关于坐标轴对称

点P（x，y）关于x轴的对称点坐标为____________________；

点P（x，y）关于y轴的对称点坐标为．

关于原点对称

点P（x，y）关于原点对称的点坐标为．

4.函数的有关概念

考试内容

考试

要求

自变量与函数

一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量．

b

c

函数的表示方法

列表法、图象法、解析法．

函数自变量的取值范围

①函数解析式是整式，自变量取值是____________________；

②函数解析式是分式，自变量取值使得____________________；

③函数解析式是偶次根式，自变量要使得____________________为非负数；

④来源于实际问题的函数，自变量要使得实际问题有意义、式子有意义．

函数的图象

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作____________________坐标、____________________坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象．

考试内容

考试

要求

基本

思想

数形结合，为分析问题和解决问题创造了直观形象的有利条件，如用函数图象解答相关问题是典型的数形结合思想的应用．

c

基本

方法

平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等．

1．（2015·金华）点P（4，3）所在的象限是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

2．（2017·湖州）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标是（　　）

A．（1，2）B．（－1，2）C．（1，－2）D．（－1，－2）

3．（2017·绍兴）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（　　）

4．（2015·台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．则椒江区B处的坐标是____________________．

【问题】点P（m，1－2m）是平面直角坐标系上一点，回答下列问题：

（1）若点P在第四象限，则m的取值范围是________；

（2）若点Q（3，4），且PQ∥x轴，则m的值是________；

（3）点P关于x轴的对称点为M（－1，－3），则m的值是________；

（4）请你再提出几个与点P有关的问题．

【归纳】通过开放式问题解答和联想可以对本讲知识作条理性的归纳和疏理．

类型一　建立坐标系确定位置关系

（1）（2017·潍坊）小莹和小博士下棋，小莹执白子，小博士执黑子．如图，棋盘中心黑子的位置用（－1，0）表示，右下角黑子的位置用（0，－1）表示．小莹将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（　　）　

A．（－2，1）B．（－1，1）C．（1，－2）D．（－1，－2）

（2）以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：

甲：

从学校向北直走500公尺，再向东直走100公尺可到图书馆．

乙：

从学校向西直走300公尺，再向北直走200公尺可到邮局．

丙：

邮局在火车站西方200公尺处．

根据三人的描述，若从图书馆出发，判断下列哪一种走法，其终点是火车站（　　）

A．向南直走300公尺，再向西直走200公尺

B．向南直走300公尺，再向西直走600公尺

C．向南直走700公尺，再向西直走200公尺

D．向南直走700公尺，再向西直走600公尺

（3）某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A的位置为（3，30°），目标B的位置为（2，180°），目标C的位置为（4，240°），则图中目标D的位置可记为________．

【解后感悟】

（1）首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断；

（2）根据描述画出示意图是解题的关键；（3）阅读理解定义，结合图形直观地解答．

1．

（1）如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的记录．

根据图中两人的对话记录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为（　　）

A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺

B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺

C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺

D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺

（2）如图是绍兴市行政区域图，若上虞市区所在地用坐标表示为（1，2），诸暨市区所在地用坐标表示为（－5，－2），那么嵊州市区所在地用坐标可表示为____________________．

（3）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有____________________个．

类型二　平面直角坐标系中点的坐标特征

（1）（2017·宁波模拟）点P（a，a－3）在第四象限，则a的取值范围是________．

（2）（2017·萧山模拟）已知点A是直线x＝2上的点，且到x轴的距离等于3，则点A的坐标为________．

（3）（2017·通川模拟）已知点P的坐标（2－a，3a＋6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是________．

【解后感悟】

（1）各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键；

（2）点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键；（3）点到两坐标轴的距离相等，即到坐标轴形成的角的两边距离相等，这个点一定在各象限的角平分线上.

2．

（1）（2017·威海模拟）若点A（a＋1，b－2）在第二象限，则点B（－a，b＋1）在第____________________象限．

（2）（2017·温州模拟）已知点P在第二象限，且P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点的坐标为____________________．

（3）（2017·台州模拟）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、

为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是____________________．

（4）（2017·宜宾模拟）如果点P（x，y）的坐标满足x＋y＝xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：

____________________.

类型三　点的对称和平移

（1）在平面直角坐标系中，点P（3，－2）关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________，关于原点的对称点是________，将点P先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后点P的坐标为________．

（2）点P（4，5）关于直线x＝1的对称点的坐标是________，关于直线y＝－2的对称点的坐标是________．

【解后感悟】

（1）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数；关于平移，根据“横坐标，左－，右＋，纵坐标，上＋，下－”的原则进行对坐标的变化；

（2）点的对称和平移规律是解题的关键，关于直线x＝a的对称点的坐标用画图方法解决．

3．

（1）（2017·萧山模拟）点（a－2，b＋2）经过平移变换得到点（a，b），则这个平移变换是（　　）

A．先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度

B．先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度

C．先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度

D．先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度

（2）（2017·上海模拟）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是____________________，点P关于原点O的对称点P2的坐标是____________________．

（3）（2017·南京模拟）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是____________________．

类型四　确定自变量的取值范围及函数图象

（1）（2016·南宁）下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）

【解后感悟】注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：

作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．

（2）（2015·内江）函数y＝

＋

中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1

【解后感悟】本题是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

　（2015·台州）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示．

（1）根据图2填表：

x（min）

0

3

6

8

12

…

y（m）

…

（2）变量y是x的函数吗？

为什么？

（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．

【解后感悟】此类题主要是函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．而本题是函数图象的动点问题，解决函数图象的动点问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．

4．

（1）（2015·呼和浩特）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（　　）

A．－3≤y≤3

B．0≤y≤2

C．1≤y≤3

D．0≤y≤3

（2）（2015·荆门）在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（　　）

A．甲的速度随时间的增加而增大

B．乙的平均速度比甲的平均速度大

C．在起跑后第180秒时，两人相遇

D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面

类型五　求点的坐标问题

（1）已知点A（4，－3），B（x，－3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x＝________.

（2）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为________________．

（3）在平面直角坐标系中，已知点A（－

，0），B（

，0），点C在坐标轴上，且AC＋BC＝6，写出满足条件的所有点C的坐标______．

【解后感悟】

（1）平行于x轴得出纵坐标相等是关键，作出图形更形象直观，要注意全面考虑到各种情况；

（2）解题的关键在于根据点C的位置分情况讨论全等三角形；（3）解题时，要分类讨论，以防漏解．

5．

（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有____________________个．

（2）（2017·杭州模拟）已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO＝150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为____________________．

【探索规律题】

（2015·河南）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒

个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（　　）

A．（2014，0）B．（2015，－1）C．（2015，1）D．（2016，0）

【方法与对策】本题是坐标位置确定，根据题目信息探究点的坐标的变化规律，并理解每4秒为一个循环组依次循环，这是解题的关键．这类探索规律题是中考的热点题．

【求实际问题时忽视自变量的范围】

【问题】矩形的周长是8cm，设一边长为x（cm），另一边长为y（cm）．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）作出函数的图象．

参考答案

第12讲　函数概念与平面直角坐标系

【考点概要】

1．垂直　重合　有序　（＋，＋）　（－，＋）　（－，－）　（＋，－）　（－，0）　（＋，0）　（0，－）　（0，＋）　（0，0）相等　互为相反数　2.|b|　|a|　

　3.（x＋a，y）[或（x－a，y）]　（x，y＋b）[或（x，y－b）]　（x，－y）　（－x，y）　（－x，－y）　4.唯一确定　全体实数分母不等于0　被开方数　点的横　纵

【考题体验】

1．A　2.D　3.D　4.（10，8

）

【知识引擎】

【解析】

（1）m＞

；　

（2）－1.5；　（3）－1；　（4）如：

点P到x轴的距离是2，则m的值是________．（－

或

）

【例题精析】

例1　

（1）B；

（2）A；（3）（5，120°）．　例2　

（1）∵点P（a，a－3）在第四象限，∴

得0＜a＜3.故答案为0＜a＜3；　

（2）∵点A是直线x＝2上的点，且到x轴的距离等于3，∴点A的横坐标为2，纵坐标为±3，∴点A的坐标为（2，3）或（2，－3）．故答案为（2，3）或（2，－3）；　（3）∵点P到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，∴有以下两种情况：

①横纵坐标相等时，即当2－a＝3a＋6时，解得a＝－1，∴点P的坐标是（3，3）；②横纵坐标互为相反数时，即当（2－a）＋（3a＋6）＝0时，解得a＝－4，∴点P的坐标是（6，－6）．故答案为（3，3）或（6，－6）．　例3　

（1）（3，2），（－3，－2），（－3，2），（6，－4）；

（2）（－2，5），（4，－9）．　例4　

（1）根据函数的意义可知：

对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．故选D.　

（2）2－x≥0且x－1≠0，解得：

x≤2且x≠1，故选B.　例5　

（1）表格中分别填写：

5，70，5，54，5.　

（2）变量y是x的函数．理由：

因为在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以变量y是x的函数．　（3）摩天轮的直径是70－5＝65m.　例6　

（1）－1或9；

（2）如图，点C在x轴负半轴上时，∵△BOC与△ABO全等，∴OC＝OA＝2，∴点C（－2，0）；点C在第一象限时，∵△BOC与△ABO全等，∴BC＝OA＝2，OB＝BO＝4，∴点C（2，4）；点C在第二象限时，∵△BOC与△ABO全等，∴BC＝OA＝2，OB＝BO＝4，∴点C（－2，4）；综上所述，点C的坐标为（－2，0）或（2，4）或（－2，4）．故答案为：

（－2，0）或（2，4）或（－2，4）；

（3）如图，①当点C位于y轴上时，设C（0，b）．则

＋

＝6，解得b＝2或b＝－2，此时C3（0，2）或C4（0，－2）．如图，②当点C位于x轴上时，设C（a，0）．则|－

－a|＋|a－

|＝6，即2a＝6或－2a＝6，解得a＝3或a＝－3，此时C1（－3，0）或C2（3，0）．综上所述，点C的坐标是：

（0，2），（0，－2），（－3，0），（3，0）．故答案是：

（0，2），（0，－2），（－3，0），（3，0）．

【变式拓展】

1．

（1）A　

（2）（0，－3）　（3）4　2.

（1）一　

（2）（－4，3）（3）（0，3），（0，－1）　（4）（2，2）　3.

（1）C　

（2）（－3，2）（－3，－2）　（3）（1，2）　4.

（1）D　

（2）D　5.

（1）8

（2）（1，1＋

）或（－1，1＋

）

【热点题型】

【分析与解】由题意得半圆周的周长是π，四分之一圆周是

π，因为半径为1，根据P点的速度得：

1秒时P点坐标是（1，1）；2秒时P点坐标是（2，0）；3秒时P点坐标是（3，－1）；4秒时P点坐标是（4，0）；5秒时P点坐标是（5，1）…，当秒数为偶数时，P点落在x轴上，P点横坐标和秒数相同，纵坐标是0，所以排除A，D；P点落在第一象限的秒数是1，5，9，13…，第n个点的规律是4n－3；P点落在第四象限的秒数是3，7，11，15…第n个点的规律是4n－1；当4n－3＝2015时，n不是整数值，4n－1＝2015时，n是整数值，故第2015秒落在第四象限，∴P（2015，－1），故选B.

【错误警示】

（1）由题意，得2（x＋y）＝8，则y＝4－x，据实际情况，x，y表示矩形的边长，则

即

解得

故自变量x的取值范围为0

（2）图象如图所示．