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空间解析几何

第九章空间解析几何

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1（理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.

2（理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.

3（理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.

4（理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.

5（理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.

6（理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.

7（了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.

8（了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.

重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.

难点向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.

（二）内容提要

1.空间直角坐标系

在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O，这三条数轴分别称为轴、y轴和轴，zx一般是把放置在水平面上，轴垂直于水平面.轴的正向按下述法则规定如下:

x轴和y轴zz

伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转x090指向轴的正向，这时大拇指所指的方向就是轴的正向（该法则称为右手法则）.这样就yz

Oxyz组成了右手空间直角坐标系.在此空间直角坐标系中，轴称为横轴，y轴称为纵轴，x

轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.轴与yzx

xOyyOz轴所确定的坐标面称为坐标面，类似地有坐标面，zOx坐标面。

这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.

（x,y,z）M在空间直角坐标系中建立了空间的一点与一组有序数之间的一一对应关

（x,y,z）Mx,y,zy系。

有序数组称为点的坐标;分别称为坐标，坐标，坐标.zx

2.向量的基本概念

向量的定义既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量（

向量的模向量的大小称为向量的模，用或表示向量的模（AB

单位向量模为1的向量称为单位向量（

零向量模为,的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.

向量的相等大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.

自由向量在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量.

向径终点为P的向量称为点P的向径,记为.OPOP

3.向量的线性运算

向量的加法

三角形法则若将向量的终点与向量的起点放在一起，则以的起点为起点，baa以的终点为终点的向量称为向量与的和向量，记为.这种求向量和的方法称为向a，bbba

量加法的三角形法则.

平行四边形法则将两个向量和的起点放在一起，并以和为邻边作平行四bbaa边形，则从起点到对角顶点的向量称为.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四a，b

边形法则.

向量的加法满足下列运算律.

交换律:

=;a，bb，a

结合律:

（）+=+（+）.a，bbcac

向量与数的乘法运算

实数与向量的乘积是一个向量，称为向量与数的乘积，记作，并且规定:

,,aaa

;,a,,a

当时，与的方向相同;当时，与的方向相反;,,0,a,,0,aaa

当时，是零向量.,,0,a

,,设都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律:

（,a）,（,,）a,,（,a）结合律:

;

（,，,）a,,a，,a分配律:

,（+）=,a+,b.ba

向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.

求与同向的单位向量的方法设向量是一个非零向量，则与同向的单位向量aaa

a.e,aa

负向量当,,,1时，记（-1）=-，则-与的方向相反，模相等，-称为向aaaaa量的负向量.a

向量的减法两向量的减法（即向量的差）规定为-=+（-1）.bbaa

向量的减法也可按三角形法则进行，只要把与b的起点放在一起，-b即是以b的aa终点为起点，以的终点为终点的向量.a

4.向量的坐标表示

zjik?

基本单位向量,,分别为与轴,y轴,轴同向的单位向量.x

向径的坐标表示点P（a,a,a）的向径的坐标表达式为=ai，aj，akOPOP123123

或简记为

{a,a,a}=.OP123

M（x,y,z）M（x,y,z）的坐标表示设以为起点,以为终点的向?

MM1111222212

的坐标表达式为MM12

=.（x,x）i，（y,y）j，（z,z）kMM21212112

222?

向量的模a=.a,ai，aj，aka，a，a1231235.坐标表示下的向量的线性运算

设，，则有a,ai，aj，akb,bi，bj，bk123123

（1）;a，b,（a，b）i，（a，b）j，（a，b）k112233

（2）;a,b,（a,b）i，（a,b）j，（a,b）k112233（3）.,a,,（ai，aj，ak）,,ai，,aj，,ak1231236.向量的数量积

（0,,,π）a,ba与b?

定义设向量ab之间的夹角为，则称cos,为向量的数

量积，记作ab?

，即?

=cos,.bbaa

向量的数量积又称“点积”或“内积”.向量的数量积还满足下列运算律:

交换律:

;bbaa

分配律:

（+）?

;bbacacc

结合律:

（?

）=（,）?

.bb（其中,为常数）aa

数量积的坐标表示

设，,则?

=.ba,ai，aj，akb,bi，bj，bkab，ab，aba123123112233

向量与的夹角余弦ba

设，,则a,ai，aj，akb,bi，bj，bk123123

ab，ab，aba,b112233（0,,,π）cos,,=.222222aba，a，ab，b，b123123?

向量的方向余弦

y设向量与轴,轴,轴的正向夹角分别为a,ai，aj，akzx123

,,,,（0,,,,,,,π）cos,cos,,称其为向量的三个方向角，并称,,为的方acos,a

向余弦，向量的方向余弦的坐标表示为a

aaa123，cos,,,cos,,,cos,,222222222a，a，aa，a，aa，a，a123123123

222且.cos,，cos,，cos,,1

7（向量的向量积

定义两个向量与的向量积是一个向量，记作×，它的模和方向分别规定如bbaa

下:

其中是向量a与b的夹角,×=;?

absin,ba

×的方向为既垂直于又垂直于，并且按顺序,,×符合右手法则.bbbbaaaa

向量的向量积满足如下运算律.

反交换律:

×=-×;bbaa

分配律:

（+）×=×+×;bbacacc

结合律:

（×）=（）×=×（）.,,,bbb（其中,为常数）aaa

向量积的坐标表示

设，，则a,ai，aj，akb,bi，bj，bk123123

×=.b（ab,ab）i,（ab,ab）j，（ab,ab）ka233213311221可将×表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即ba

ijk

×=aaa.ba123

bbb1238.三个重要结论

a,b;,a,b,a,b,a,b112233

ab，ab，ab,0?

a,b,0;ba,,112233

aaa312?

=,,,a，b,0.bb,aa,,bbb123

其中，“”表示“充分必要条件”（,

.平面方程

平面的点法式方程

如果一非零向量垂直于平面，则称此向量为该平面的法向量.,n

过点，以=为法向量的点法式平面方程为M（x,y,z）,,A,B,Cn0000

至少有一个不为零）.A（x,x），B（y,y），C（z,z）,0（A,B,C000

平面的一般式方程

以=为法向量的一般式平面方程为,,A,B,Cn

Ax，By，Cz，D,0（A,B,C至少有一个不为零）.

两个平面的位置关系

设两个平面的方程分别为,与,12

Ax，By，Cz，D,0,11111,:

Ax，By，Cz，D,0,22222其法向量分别为=，=，有如下结论:

{A,B,C}{A,B,C}nn11112222?

,,,n,AA，BB，CC,0;n1212121212

ABCD1111?

,,;,,,n,n1212ABCD2222

ABCD1111?

与重合,,,,.,,12ABCD2222

（4）平面的夹角，即为两个平面法向量夹角，其公式为,,与,12

AABBCC，，n,nπ12121212,cos,=.（0,,,）222222nn212ABCABC，，，，111222

Ax，By，Cz，D,0（5）点到平面的距离公式为P（x,y,z）1111

Ax，By，Cz，D111d,.222A，B，C10.直线方程

LL?

如果一个非零向量平行于直线,则称为直线的方向向量.ss

{a,b,c}M（x,y,z）L?

直线的标准式方程设直线过点且以为方向向量,则s0000L直线的标准式方程（也称为点向式方程）为

xxyyzz,,,000.,,abc

s,{a,b,c}M（x,y,z）L?

直线的参数方程设直线过点且以为方向向量,则直0000L线的参数方程为

x,x，at,,0,y,y，bt,,0

z,z，ct,0,

其中为参数.t

Ax，By，Cz，D,0L?

直线的一般式方程若直线作为平面和平面1111

Ax，By，Cz，D,0的交线，则该直线L的一般式方程为2222

，，，,0,AxByCzD,1111,Ax，By，CZ，D,0,2222,

其中{}与{}不成比例.A,B,CA,B,C111222

两条直线的位置关系

设直线的标准方程分别为L与L12

x,xy,yz,z111L,,:

1abc111x,xy,yz,z222L,,:

2abc222其方向向量分别为则有s,{a,b,c},,{a,b,c},s1*******

abc111,,?

;,,L//Lss1212abc222

.,s,aa，bb，cc,0LLs1212121212

11（直线与平面的位置关系

π,,,,0,,直线与它在平面上的投影线间的夹角，称为直线与平面的夹角.,,2,,

L和平面π设直线的方程分别为

x,xy,yz,z000L:

,,abc

Ax，By，CZ，D,0,

s,{a,b,c}n,{A,B,C}L则直线的方向向量为，平面的法向量为，向量与向量间,sn

ππ,,,,或,,,,,,的夹角为,，于是,所以,,22,,

aA，bB，cCs,n==.sin,,cos,222222sna，b，cA，B，C

由此可知:

.,,,s,LLs121212

又L在π内n?

且M（x,y,z）既在L上,,（或aA，bB，cC,0）s0000

在内,;

sn（或aA，bB，cC,0）且M（x,y,z）在L上,而不,,0000在内,;

abc?

,,.snL,,,ABC

12.曲面方程

F（x,y,z）,0上每一点的坐标都满足方程，而不在曲面上的每一点坐标如果曲面?

F（x,y,z）,0F（x,y,z）,0都不满足方程，则称方程为曲面方程，称曲面为?

F（x,y,z）,0的图形.

13.柱面

L直线沿定曲线平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线称为柱面的准线，动直CC

L线称为柱面的母线.

f（x,y）,0xOy如果柱面的准线在坐标面上的方程为,那么以为准线，母线平行CC

f（x,y）,0g（y,z）,0于轴的柱面方程就是;同样地，方程表示母线平行于轴的柱面zx

h（x,z）,0方程;方程表示母线平行于y轴的柱面方程.一般地，在空间直角坐标系中，含有两个变量的方程就是柱面方程，且在其方程中缺哪个变量，此柱面的母线就平行于哪一个坐标轴.

2222xyxy2z，,1,,,1,x,2py,0例如，方程分别表示母线平行于轴的椭圆2222abab

柱面、双曲柱面和抛物柱面.

14.旋转曲面

定义一平面曲线C绕与其在同一平面上的直线旋转一周所形成的曲面称为旋

L转曲面，曲线C称为旋转曲面的母线，直线称为旋转曲面的轴.

母线在坐标面上，绕某个坐标轴旋转所形成的旋转曲面

f（y,z）,0yOzyOz设在C坐标面上有一条已知曲线，它在坐标面上的方程是，母

22f（,x，y,z）,0C线绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为.由此可见，只要在z

22,x，yyOzf（y,z）,0CC坐标面上曲线的方程中把y换成，就可得到曲线绕轴z

22，，fy,,x，z,0Cy旋转的旋转曲面方程.同理，曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为.

对于其他坐标面上的曲线，用上述方法可得到绕此坐标平面上任何一条坐标轴旋转所生成的旋转曲面.

15.二次曲面

F（x,y,z）,0在空间直角坐标系中,如果是二次方程,则它的图形称为二次曲面.下面

给出几种常见的曲面方程:

球面方程

以为球心，R为球半径的球面方程为P（x,y,z）0000

2222.（x,x），（y,y），（z,z）,R000

圆柱面方程

xOy设一个圆柱面的母线平行于轴，准线是在坐标面上的以原点为圆心，R为Cz

222xOy半径的圆，即准线在坐标面上的方程为，其圆柱面方程为Cx，y,R

222.x，y,R

锥面方程

z顶点在原点，对称轴为轴的圆锥面方程为

2222.z,k（x，y）（k,0为常数）

椭圆抛物面方程

椭圆抛物面方程为

22xy，,2pz（a,0,b,0,p,0）,22ab

222当a,b时，原方程化为，它由抛物线绕轴旋x，y,2qz（q,0,其中q,ap）z

转而成，称为旋转抛物面.

椭球面方程

椭球面方程为

222yxz,，，,1（a,0,b,0,c,0）222abc

a,b,c其中称为椭球面的半轴.

16.空间曲线在坐标面上的投影

F（x,y,z）,0,,xOy设空间曲线C的方程为过曲线C上的每一点作坐标面的垂线,这,G（x,y,z）,0,,

xOyC些垂线形成了一个母线平行于轴的柱面,称为曲线关于坐标面的投影柱面.这个柱z

xOyxOyC面与坐标面的交线称为曲线在坐标面的投影曲线，简称为投影.

Fxyz（,,）0,,,在方程组中消去变量，得z,Gxyz（,,）0,,

H（x,y）,0，H（x,y）,0xOyxOy方程就是曲线关于坐标面的投影柱面方程.它与坐标面的交线C

H（x,y）,0,,,z,0,,

xOy就是曲线在坐标面的投影曲线方程.C

二、主要解题方法

1（向量的运算

ABj例1设向量=4,4+7的终点B的坐标为（2,1,7）.求

（1）始点A的坐标;

（2）k,i

ABABAB向量的模;（3）向量的方向余弦;（4）与向量方向一致的单位向量.

（x,y,z）,,,,14yA解

（1）设始点的坐标为，则有，,，2,x,47,z,7

得=,2,=3,=0;yzx

222

（2）=9;AB,4，（,4），7

4447,（3）cos=,cos,cos;,,,,,,999AB

1ABoABj（4）==（4,4+7k）.i9AB

3i，6j，8kaa,2例2已知向量与向量=及轴垂直，且，求出向量.bxa解因为a,b，a,i（垂直于轴），故与向量b，i平行.由两向量平行的充要条件，ax

a,,（b，i）可写成，即a

ijk

（8j,6k）==.368,a

100

122222（8,），（,6,）,,,a,2由题设，得=2，，,,（8，6）,45

8686从而得=j,k，或=,j，k.aa5555

2（建立平面方程与直线方程的方法

B（3,2,,3）A（1,,5,1）例3求平行于y轴，且过点与的平面方程.

解一利用向量运算的方法。

关键是求出平面的法向量.因为平面平行于轴，所以yn

n,j.又因为平面过点与，所以必有.于是，取=,j，AB,ABABnn

ijk

而={2，7，,4}，所以==，010,4i,2kABn

27,4

4（x,1），0（y，5）,2（z,1）,0因此，由平面的点法式方程，得，即.2x，z,3,0

Ax，By，Cz，D,0解二利用平面的一般式方程。

设所求的平面方程为,

由于平面平行于轴，所以，原方程变为，又所求平面过点A（1,B,0Ax，Cz，D,0y

A，C，D,0,,A,B,5,1）与B（3,2,,3），将的坐标代入上述方程，得解之得,A,2C,3A,3C，D,0,,

代入所设方程，故所求平面方程为.D,,3C2x，z,3,0

πxOy例4求通过点（3,0,0）和点（0,0,1）且与平面成角的平面的方程.3

Ax，By，Cz，D,0解设所求平面方程为，

D平面过点（3,0,0），有,即，?

3A，D,0A,,3

平面过点（0,0,1）,有,即，?

C，D,0C,,D

ππC1xOy又,平面与面成角，有==，?

cos2222331，A，B，C

222A，B,3C,0即，

26,DB解?

得=,3

26D,,,，,DyDzD0故所求平面为，x33

即.x,26，3z,3,0

x,2y，z,3,0,,（1,,2,1）例5求过点且垂直于直线的平面方程.,x，y,z，2,0,

ijk

s,{1,,2,1}，{1,1,,1}{1,2,3}解已知直线的方向向量为==,1,21

11,1

{1,2,3}由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量为该方向向量，即=，n,sns

xyz,，，，,,12

（2）3

（1）0x，2y，3z,0由点法式得平面方程，即.

yx,1z,2P（2,,1,3）,,例6求通过点且与直线垂直相交的直线方程.0,102

解利用向量运算的方法。

在已知点的条件下，关键是求出直线的方向向量.为此先s

P（2,,1,3）求出过点且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直线与此平面的交点，利用0

交点与已知点找出所求直线的方向向量，即可得到所求的直线方程.其步骤如下:

（x,2），2（z,3）,0（i）过点垂直于已知直线的平面方程为，即.x,2z，4,0P0

yx,1z,2y,0,,（ii）求上述平面与直线的交点，为此令=，,,x,1,ttP1,102

，z,2，2t

112（22）40,,，，,tt将上述参数方程代入平面中，有，得=,x,2z，4,0t5

44126312y,0所以,,=，即,所以,PP,x,P（,0,）z,,{,1,}s0*******5

P（2,,1,3）（iii）写出所求直线方程。

由于直线过点，故所求直线方程为0

y，1y，1x,2z,3x,2z,3,,,,，即.636,53,1

x，y,2z,1x，2y,z,1M（,1,2,1）,,例7求过点且与两平面:

和:

平行的012直线方程.

{m,n,p}解设所求直线的方向向量为，，，n,{1,1,,2}n,{1,2,,1}s12

,因为所求直线与,平行，所以,,ls,ns,n1212

ijk

3i,j，k{1,1,,2}，{1,2,,1}{3,,1,1}取====,11,2s,n，n12

12,1

y,2x，1,,z,1故所求直线的方程为.3,1

小结求平面方程和直线方程，在已知一给定点的条件下，关键是求出平面的法线向量和直线的方向向量.这要以两向量的点积和叉积的运算为基础.另外，求平面方程和直线方程的方法往往不是一种，读者可灵活运用已给的条件，选择一种比较简单的方法，求出平面方程或直线方程.

3（求旋转曲面方程及空间曲线在坐标面上的投影的方法

22,xz,，,1,22例8求由椭圆绕轴旋转所形成的旋转曲面的方程.x,ab,y,0,

222y，zx22z,y，z解在方程中把换成，得所求方程为，，,122ab

这是一个旋转椭球面.

22,z,x，y,xOy例9求空间曲线在面上的投影曲线方程.,22x，2x，y,0,

z解将所给曲线方程组中消去，就得到包含曲线的投影柱面方程.由于此方程组中的第

22z二个方程不包含有，所以包含曲线的投影柱面方程就是.因此，投影柱面x，2x，y,0

22,，2，,0,xxyxOy与面的交线为,z,0,,

22,（x，1），y,1,xOy故曲线在面的投影曲线方程为,z,0.,

222,x，y，z,1,,xOy例10求曲线在坐标面上的投影曲线方程.1,z,,2,

322zxOyx，y,解消去得,这是圆柱面的方程，所以在面上的投影曲线的方程为4

3,22,x，y,3，它是中心在原点，半径为的圆周.,42,z,0,,

三、学法建议

1（本章重点为向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数式方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.

2（解析几何的实质是建立点与实数有序数组之间的关系.把代数方程与曲线、曲面对应起来.从而能用代数方法研究几何图形.建议在本章的学习中，应注意对空间图形想象能力的培养，有些空间图形是比较难以想像和描绘的，这是学习本章的一个难点.为了今后学习多元函数重积分的需要，读者应自觉培养这方面的能力.

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