3、离散型随机变量的分布律—称P{X=xi}=pi(1≤i≤n)称为随机变量X的分布律。
【注解】
(1)pi≥0(1≤i≤n)。
(2)p1+p2+L+pn=1。
4、连续型随机变量的密度函数—设X的分布函数为F(x),若存在非负可积函数f(x),使得
x
F(x)=⎰-∞f(t)dt,称f(x)为X的密度函数。
+∞
【注解】
(1)f(x)≥0。
(2)⎰-∞f(x)dx=1。
二、常见随机变量及其分布
(一)离散型
n
1、二项分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=Ckpk(1-p)n-k(0≤k≤n),称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p)。
k
2、Poisson分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=λ
e-λ(k=0,1,2,L),称随机变量X服从泊松分
k!
布,记为X~π(λ)。
3、几何分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=p(1-p)k-1(k=1,2,L),称随机变量X服从几何分布,记为X~G(p)。
(二)连续型
⎧1,a≤x≤b
⎨
1、均匀分布—若随机变量ξ的密度函数为f(x)=⎪b-a
⎪⎩0,其他
,称随机变量ξ服从均匀分布,记为
⎧0,x<0
ξ~U(a,b),其分布函数为F(x)=⎪x-a,a≤x
⎪b-a
⎪⎩1,x≥b
-
2、正态分布—若随机变量ξ的密度函数为f(x)=1e
2πσ
(x-μ)2
2σ2
(-∞分布,记为ξ~N(μ,σ2),特别地,若μ=0,σ=1,称随机变量服从标准正态分布,记为ξ~N(0,1),其密度
x
2
为ϕ(x)=1e-2(-∞2π
x
Φ(x)=⎰-∞ϕ(t)dt。
⎧λe-λxx≥
3、指数分布—若随机变量ξ的密度为f(x)=⎨
0
(λ>0),称随机变量ξ服从指数分布,记为
⎩0,x<0
⎧0,x<0
ξ~E(λ),其分布函数为F(x)=⎨
⎩1-e
-λx
。
x≥0
【注解】
(1)Φ(0)=1,Φ(-a)=1-Φ(a)。
2
(2)若ξ~N(μ,σ2),则P{ξ≤μ}=P{ξ>μ}=1。
2
(3)若ξ~N(μ,σ2),则ξ-μ~N(0,1)。
σ
(4)若ξ~N(μ,σ2),则P{a<ξ≤b}=F(b)-F(a)=Φ(b-μ)-Φ(a-μ)。
例题选讲
一、选择题
1、设X1,X2的密度为f1(x),f2(x),分布函数为F1(x),F2(x),下列结论正确的是[]
(A)F1(x)+F2(x)为某随机变量的分布函数;
(B)f1(x)+f2(x)为某随机变量的密度函数;
(C)F1(x)F2(x)为某随机变量的分布函数;
(D)f1(x)f2(x)为某随机变量的密度函数。
2、设随机变量X的密度函数f(x)为偶函数,其分布函数为F(x),则[]
(A)F(x)为偶函数;
(B)F(-a)=2F(a)-1;
a1a
(C)F(-a)=1-⎰0
f(x)dx;
(D)F(-a)=-
20
f(x)dx。
3、设X~N(μ,42),Y~N(μ,52),令p=P{X≤μ-4},q=P{Y≥μ+5},则[]
(A)对任意实数μ都有p=q;
(B)对任意实数μ都有p
(C)对个别μ,才有p=q;
(D)对任意实数μ,都有p>q。
4、设X~N(μ,σ2),则随σ的增大,概率P{|X-μ|<σ}[]
(A)单调增大;
(B)单调减少;`(C)保持不变;
(D)增减不确定。
二、填空题
1、设X~N(μ,σ2),方程y2+4y+X=0无实根的概率为1,则μ=。
2
2、设X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X≥1}=5,则P{Y≥1}=。
9
三、解答题
1、有3个盒子,第1个盒子有4个红球1个黑球,第2个盒子有3个红球2个黑球,第3个盒子有2个红球3个黑球,若任取一个盒子,从中任取3个求,以X表示红球个数。
(1)写处X的分布律;
(2)求红球个数不少于2个的概率。
⎧0,x<-1
2、设离散型随机变量X的分布函数为F(x)=⎪0.3,-1≤x<1,求X的分布律。
⎪0.7,1≤x<2
⎪⎩1,x≥2
⎧Aex,x<0
3、设X的分布函数为F(x)=⎪B,0≤x<1,
⎩1-Ae
-(x-1)
x≥1
(1)求A,B;
(2)求密度函数f(x);(3)求P{X>1}。
3
4、设X~U(0,2),求随机变量Y=X2的概率密度。
5、设X~N(0,1),且Y=X2,求随机变量Y的概率密度。
第三章二维随机变量及其分布
一、基本概念
1、联合分布函数—设(X,Y)为二维随机变量,称F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}为(X,Y)的联合分布函数。
2、二维离散型随机变量的联合分布律—设(X,Y)为二维离散型随机变量,称
P{X=xi,Y=yj}=pij(i=1,2,L,m,j=1,2,L,n)
为(X,Y)的联合分布律,称
nm
P{X=xi}=∑pij=pi⋅(i=1,2,L,m),P{Y=yj}=∑pij=p⋅j(j=1,2,L,n)
j=1
i=1
分别为随机变量X,Y的边际分布律。
3、连续型随机变量的联合密度函数—设(X,Y)为二维连续型随机变量,若存在f(x,y)≥0,使得
x
du
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=⎰-∞
y
⎰-∞f(u,v)dv,称f(x,y)为随机变量(X,Y)的联合密度函数,称
+∞+∞
fX(x)=⎰-∞f(x,y)dy,fY(y)=⎰-∞f(x,y)dx
分别为随机变量X,Y的边际密度函数。
【注解】联合分布函数的特征有
(1)0≤F(x,y)≤1。
(2)F(x,y)关于x,y为单调不减函数。
(3)F(x,y)关于x或者y都是右连续。
(4)F(-∞,-∞)=0,F(-∞,+∞)=0,F(+∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1。
二、常见的二维连续型随机变量
1、均匀分布—设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为
f(x,y)
⎧1,(x,y)∈D
=
⎨A
,其中A为区域D的面积,称(X,Y)在区域D上服从均匀分布。
⎪⎩0,(x,y)∉D
2、正态分布—设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为
f(x,y)=1exp{-1[(x-μ1)2-2ρ(x-μ1)(y-μ2)+(y-μ2)2]}则称(X,Y)服
2πσ1σ2
1-ρ2
2(1-ρ2)σ
σ1σ2σ2
从二维正态分布,记为(X,Y)~N(μ,μ
σ2,σ2,ρ),其中σ
>0,σ
>0。
121212
【注解】若(X,Y)~N(μ,μ
σ2,σ2,ρ),则X~N(μ,σ2),Y~N(μ
σ2)。
1212
1122
二、随机变量的条件分布与随机变量的独立性
(一)二维离散型随机变量的条件分布
1、设P{Y=yj}>0,在事件{Y=yj}发生的情况下,事件{X=xi}发生的条件概率为
P{X=xi|Y=yj}=
pijp⋅j
(i=1,2,L);
2、设P{X=xi}>0,在事件{X=xi}发生的情况下,事件{Y=yj}发生的条件概率为
P{Y=yj|X=xi}=
(二)二维连续型随机变量的条件密度
pijpi⋅
(j=1,2,L)。
f(x,y)
1、设fY(y)>0,则在“Y=y”的条件下,X的条件概率密度为fX|Y(x|y)=。
fY(y)
f(x,y)
2、设fX(x)>0,则在“X=x”的条件下,Y的条件概率密度为fY|X(y|x)=。
fX(x)
(三)随机变量的独立性
1、定义—设(X,Y)为二维随机变量,若对任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y),称随机变量X,Y相互独立。
2、独立的充分必要条件
(1)离散型随机变量—设(X,Y)为二维离散型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是
pij=pi.⨯p.j(i=1,2,L;j=1,2,L。
(2)连续型随机变量—设(X,Y)为二维连续型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是
f(x,y)=
fX(x)fY(y)(可以除去有限个点)。
【注解】若(X,Y)为二维连续型随机变量,求(X,Y)的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数
f(x,y),一般有如下三种情况:
(1)题中直接给出f(x,y)(若其中含参数,用归一性求出)。
(2)X,Y服从的分布已知且X,Y独立,则f(x,y)=
fX(x)fY(y)。
(3)X的边缘分布已知,且Y的条件密度已知,则f(x,y)=
fX(x)fY|X(y|x)。
三、随机变量函数的分布
已知(X,Y)的分布,Z=ϕ(X,Y),关于Z的分布有以下几种情形:
情形一:
设(X,Y)为离散型随机变量,Z=ϕ(X,Y),则Z为离散型随机变量,求出其可能取值及对应的概率即可。
情形二:
(X,Y)为连续型随机变量,Z=ϕ(X,Y),其中ϕ为连续函数,则Z为连续型随机变量,可用分布函数定义求Z的分布。
情形三:
X,Y中一个为连续型随机变量,一个为离散型随机变量,求Z=ϕ(X,Y)的分布
例题选讲
一、选择题
1、设相互独立的随机变量X,Y分别服从N(0,1)及N(1,1),则[]
(A)P{X+Y≤0}=1;
2
(B)P{X+Y≤1}=1;
2
(C)P{X-Y≤0}=1;
2
(D)P{X-Y≤1}=1。
2
二、填空题
1、设
X,Y
为两个随机变量,且
P{X≥0,Y≥0}=3,P{X≥0}=P{Y≥0}=4,则
77
P{max(X,Y)≥0}=。
三、解答题
1、袋中有10个大小相同的球,其中6个红球4个白球,随机抽取2个,每次抽取1个,定义如下两个随机
⎧1,第1次抽到红球
⎧1,第2次抽到红球
变量:
X=⎨
Y=⎨
第1次抽到白球
,
第2次抽到白球
⎩0⎩0
就下列两种情况,求(X,Y)的联合分布律:
(1)每次抽取后放回;
(2)每次抽取后不放回。
⎧Ae-(x+2y),x>0,y>0
2、设(X,Y)的联合密度为f