历年考研数学概率论零基础讲义.docx

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历年考研数学概率论零基础讲义

2016考研数学概率论零基础入门讲

第一讲随机事件与概率1

第二讲一维随机变量及其概率分布7

第三讲随机变量的数字特征12

【注】

（1）数二的考生不需要学习这部分内容。

（2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记.

第一讲随机事件与概率

一、从古典概型讲起

1.随机试验与随机事件

称一个试验为随机试验，如果满足：

（1）同条件下可重复

（2）所有试验结果明确可知且不止一个

（3）试验前不知哪个结果会发生

【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A,B,C等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为

Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ．

②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi.

2.古典概率

称随机试验（随机现象）的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间（样本空间）满足:

（1）只有有限个基本事件（样本点）；

（2）每个基本事件（样本点）发生的可能性都一样．

【注】①等可能：

对于可能结果:

ω1,ω2,,ωn，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样.

②如果古典概型的基本事件总数为n，事件A包含k个基本事件，即有利于A的基本

事件k个．则A的概率定义为

P（A）=k=事件A所含基本事件的个数

n

由上式计算的概率称为A的古典概率．

3.计数方法

基本事件总数

1

（1）穷举法：

样本点总数不大时

（2）集合对方法：

①加法原理：

完成一件事，有n类方法，第一类方法中有m1种方法，第二类方法中有m2

种方法，……，第n类方法中有mn种方法，则完成此事共有m1+m2++mn种办法.

②乘法原理：

完成一件事，有n个步骤，第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法，……，第n步中有mn种方法，则完成此事共有m1⋅m2mn种办法.

③排列：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫排

n

列.所有排列的个数叫做排列数，记作Pm=n（n-1）（n-m+1）=

n!

（n-m）!

.当m=n时，

Pm=Pn=n!

，称为全排列.

nn

④组合：

从n个不同元素中取出m

（m≤n）个元素并成一组，叫组合.所有组合的个数

mPmmm

叫做组合数，记作Cn=n，也有Pn

m!

=Cn

⋅m!

.

（3）用对立事件思想

4.例题分析

【例1】从0到9这十个数字中任取3个不同的数字，求

（1）三个数中不含0和5的概率

（2）三个数中不含0或5的概率

（3）三个数中含0，但不含5的概率

【例2】假设袋中有5个球，3白球2黑球，求

（1）先后有放回取2球，至少有一白球的概率；

（2）先后无放回取2球，至少有一白球的概率；

（3）任取2球，至少有一白球的概率.

【例3】假设袋中有100个球，40个白球，60个黑球

（1）先后无放回取20个，求取到15个白球5个黑球的概率；

（2）先后无放回取20个，求第20次取到白球的概率；

（3）先后有放回取20个，求取到15个白球5个黑球的概率；

2

（4）先后有放回取20个，求第20次取到白球的概率.二、几何概型

1.引例天上掉馅饼

2.几何概型的定义

如果

（1）样本空间（基本事件空间）Ω是一个可度量的几何区域；

（2）每个样本点（基本事件）发生的可能性都一样，即样本点落入Ω的某一可度量的子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置及形状无关，我们就称这样的随机试验的概率模型为几何概型，

在几何概型随机试验中，如果SA是样本空间Ω一个可度量的子区域，则事件A＝“样本点落入区域SA”的概率定义为

P（A）=SA的几何测度

Ω的几何测度

由上式计算的概率称为A的几何概率

【评注】基本事件有限、等可能的随机试验为古典概型；基本事件无限、等可能的随机试验为几何概型．

3.例题分析

【例1】君子有约，上午9:

00-10:

00到新东方大厦门口见面，先到者等20分钟即离开，求甲、乙两人相遇的概率.

【例2】在区间（0,1）中随机取两个数，则两数之和小于6的概率为.

5

三、重要公式求概率

1.重要公式总结

（1）求逆公式

P（A）=1-P（A）.

（2）减法公式P（A－B）＝P（A）－P（AB）．

（3）加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）

P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）P（AB）P（AC）P（BC）＋P（ABC）．

【注】①设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则P（

nn

∑

Ai）=P（Ai）

i=1i=1

②若A1，A2，…，An相互独立，则P（

nn

∏

Ai）=1-[1-P（Ai）]

i=1i=1

（4）条件概率公式设A、B为任意两个事件，若P（A）＞0，我们称在已知事件A发生的条

件下，事件B发生的概率为条件概率，记为P（B｜A），并定义

3

P（B|A）=P（AB）

P（A）

（P（A）＞0）.

【注】

（1）条件概率P（·｜A）是概率，概率的一切性质和重要结果对条件概率都适用，例如：

P（B|A）=1-P（B|A）,

P（B-C|A）=1-P（B|A）-P（BC|A）>0，等等．

（2）条件概率就是附加一定的条件之下所计算的概率．当说到“条件概率”时，总是指另外附加的条件，其形式可归结为“已知某事件发生了”．

（5）乘法公式

如果P（A）＞0，则P（AB）＝P（A）P（B｜A）．一般地，如果P（A1…An－1）＞0，则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）…P（An｜A1…An－1）

【注】Ai先于Ai＋1发生时用此公式．

（6）全概率公式（全集分解思想）

n

如果Ai=Ω,AiAj=φ（i=/

i-1

j）,P（Ai）>0，则对任一事件B，有

nn

B=AiB,P（B）=∑P（Ai）P（B|Ai）.

i-1i-1

（7）贝叶斯（Bayes）公式（逆概公式）

n

如果Ai=Ω,AiAj=φ（i=/

i=1

j）,P（Ai）>0，则对任一件事B，只要P（B）＞0，有

P（Ai|B）=

P（Ai）P（B|Ai）（i=1,2,,n）

n

∑P（Ai）（B|Ai）

i=1

【注】①要注意P（AB）与P（B｜A）的区别：

P（AB）是在样本空间为Ω时，A与B同时发生的可能性，而P（B｜A）则是表示在A已经发生的条件下，B发生的可能性，此时样本空间已由Ω缩减为A，只要题目中有前提条件：

“在A发生的条件下”或“已知A发生”等等，均要考虑条件概率．

②全概率公式是用于计算某个“结果”B发生的可能性大小．如果一个结果B的发生总是与某些前提条件（或原因、因素或前一阶段结果）Ai相联系，那么在计算P（B）时，我们总是将

B对Ai作分解：

B=AiB，应用全概率公式计算P（B）．如果在B发生的条件下探求导致这

i

4

一结果的

各种“原因”Ai发生的可能性大小P（Ai｜B），则要应用Bayes公式．

2.随机事件相互独立与独立试验序列概型

（1）独立性定义

描述性定义（直观性定义）设A、B为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与B相互独立．设A1，A2，…，An是n个事件，如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受其余的某一个或某几个事件发生与否的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．

数学定义设A、B为事件，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与B相互独立，简称为A与B独立．

设A1，A2，…，An为n个事件，如果对其中任意有限个事件Ai1，Ai2，…，Aik（k≥2），有

P（Ai1Ai2…Aik）＝P（Ai1）P（Ai2）…P（Aik），则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．

（2）独立性的判定

1°直观性判定：

若试验独立其结果必相互独立．例如：

甲、乙各自试验结果相互独立；袋中有返回取球其结果相互独立等．

2°充要条件．

kk

〈1〉A1…An相互独立⇔任意k≥2；P（Aij）=∏P（Aij）.

j=1j=1

特别地A、B独立⇔P（AB）＝P（A）P（B）．若0＜P（A）＜1，则A、B独立⇔P（B|A）=P（B|A）=P（B）.

〈2〉n个事件相互独立的充要条件是，它们中任意一部分事件换成各自的对立事件所得到的n个事件相互独立．

3°必要条件．

〈1〉n个事件相互独立必两两独立，反之不然．

〈2〉n个事件相互独立，则不含相同事件的事件组经某种运算后所得的事件是相互独立的．例如，A、B、C、D相互独立，则AB与C∪D相互独立，A与BC－D相互独立，等等．

4°一定独立与一定不独立的判定．

概率为1或零的事件与任何事件都相互独立．如果0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，A与B互

5

不相容或存在包含关系，则A与B不相互独立．

【评注】在现实生活中，难于想像两两独立而不相互独立的情况，可以这样想：

独立性毕竟是一个数学概念，是现实世界中通常理解的那种“独立性”的一种数学抽象，它难免会有些不尽人意的地方．

3.例题分析

【例1】假设有10份报名表，3份女生报名表，7份男生报名表。

现从中每次任取一份，取后不放回，求下列事件的概率：

（1）第三次取到女生报名表的概率；

（2）第三次才取到女生报名表的概率；

（3）已知前两次没有取到女生报名表，第三次取到女生报名表的概率.

【例2】假设甲、乙两名射击手，甲命中的概率为0.6，乙命中的概率为0.5，求

（1）甲、乙中任选一人去射击；

（2）甲、乙各自独立去射击；

若目标命中，则是甲命中的概率为多少？

6

第二讲一维随机变量及其概率分布

1.基本概念与常用分布

1．随机变量的定义

随机变量就是“其值随机会而定”的变量．设随机试验E的样本空间为Ω＝{ω}，如果对每一个ω∈Ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，并且对任意实数x，{ω：

X（ω）≤x}是随机事件，则称定义在Ω上的实单值函数X（ω）为随机变量．简记为随机变量X．一般用大写字母X，Y，Z…或希腊字母ξ，η，ξ…来表示随机变量．

【评注】随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，如高等数学中常量与变量的区别与联系．

2．随机变量的分布函数

（1）定义设X是随机变量，x是任意实数，称函数F（x）=∧P{X≤x}（x∈R）为随机变量X的分布函数，或称X服从分布F（x），记为X～F（x）．

（2）充分必要条件函数F（x）为某一随机变量X的分布函数的充要条件是

1°F（x）是x的单调不减函数，即对任意x1＜x2，有F（x1）≤F（x2）；

2°F（x）是x的右连续函数，即对任意x∈R，有limF（x）=∧F（x

+0）=F（x）；

0

0

3°F（-∞）=∧limF（x）=0,F（+∞）=limF（x）=1.

x→x+00

x→-∞x→+∞

【评注】务必记住分布函数是事件的概率．由此知0≤F（x）≤1，即F（x）是有界函数．

3．离散型随机变量及其概率分布

如果随机变量X只可能取有限个或可列个值x1，x2，…，则称X为离散型随机变量，称

pi＝P（X＝x1），i＝1，2，…，为X的分布列、分布律或概率分布，记为X～pi．概率分布常

ç

常用表格形式或矩阵形式表示，即或X~⎛çx1

p

x2⎫⎪

p⎪

⎝12⎭

数列{pi：

i＝1，2，…}是离散型随机变量概率分布的充要条件是pi≥0（i＝1，2，…）且

∑pi=1.

i

设离散型随机变量X的概率分布为pi＝P（X＝xi），则X的分布函数

F（x）=P（X≤x）=∑P（X=xi）

xi≤x

7

pi＝P（X＝xi）＝P（X≤xi）-P（X＜xi）＝F（xi）-F（xi－0）

并且对实数轴上的任一集合B有

P（X∈B）=∑P（X=xi）

xi∈B

4．连续型随机变量及其概率密度

如果随机变量X的分布函数可以表示为

x

F（x）=⎰-∞f（t）dt（x∈R）

+∞

其中f（x）是非负可积函数，则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数，记为X～f（x）．

f（x）为某一随机变量X概率密度的充要条件是，f（x）≥0且⎰-∞f（x）dx=1（由此可知，可以改变f（x）有限个点的值，f（x）仍然是密度函数）．

设X～f（x），则X的分布函数F（x）是x的连续函数；在f（x）的连续点x0处有F＇（x0）＝f（x0）；如果F（x）是连续函数，除有限个点外，F＇（x）存在且连续，则X为连续型随机变量，且f（x）

＝F＇（x）（在F＇（x）不存在地方可以令f（x）＝0或取其他值）．

设X为连续型的，即X～f（x），则对任意实数c有P（X＝c）＝0；对实数轴上任一集合B

有

P（X∈B）=⎰f（x）dx.

B

特别是

P（a＜X＜b）＝P（a≤X＜b）＝P（a＜X≤b）

b

=P（a≤X≤b）=⎰af（x）dx=F（b）-F（a）.

【评注】

（1）“密度函数”这名词的来由可解释如下，取定一个点x，则按分布函数的定义，事件{x＜X≤x＋h}的概率（h＞0为常数），应为F（x＋h）－F（x）．所以，比值[F（x＋h）F（x）]/h可以解释为在x点附近h这么长的区间（x，x＋h）内，单位长所占有的概率．令h→0，则这个比的极限，即F＇（x）＝f（x），也就是在x点处（无穷小区段内）单位长的概率，或者说，它反映了概率在x点处的“密集程度”．你可以设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率

b

密度相当于杆上各点的质量密度．

（2）P（a

f（x）dx意味着X落入某一区间的

概率等于该区间之上、密度函数之下曲边梯形的面积，应用概率的这种几何意义，常常有助于问题的分析与求解．

2.常见的离散型、连续型分布

8

（1）0—1分布B（1，p）

⎛10⎫

如果X的概率分布为X~çç

⎝

1-P⎪⎪即P（X＝1）＝p，P（X＝0）＝1－p，则称X服从参数

为p的0—1分布，记为X～B（1，p）（0＜p＜1）．

（2）二项分布B（n，p）

如果X的概率分布为p=P（X=k）=Ckpk（1-p）n-k,k=0,1,,n,0

kn

参数为（n，p）的二项分布，记为X～B（n，p）．

【评注】①如果X是n重贝努利试验中事件A发生的次数，则X～B（n，p），其中p＝

P（A）．这个结论在解题中我们要经常用到．

②泊松定理，若X～B（n，p），当n很大，p很小，λ＝np适中时，二项分布可用泊松分

kkn-k

λk-λ

布近似，即Cnp（1-p）≈k!

e.

（3）泊松分布P（λ）

如果X的概率分布为pk=P（X=k）=

松分布，记为X～P（λ）．

k

λ-λ

k!

e,k=0,1,,λ>0，则称X服从参数为λ的泊

（4）几何分布G（P）

－

如果X的概率分布为pk＝P（X＝k）＝qk1p，k＝1，2，…，0＜p＜1，q＝1－p，则称X

服从参数为p的几何分布，记为X～G（p）．

（5）超几何分布H（N，M，n）

CkCn-k

如果X的概率分布为pk=P（X

=k）=

MN-M

C

nN

k=0,1,,min（M,n）,M,N,n为

正整数，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布，记为X～H（N，M，n）．

（6）均匀分布U（a，b）

如果X的概率密度或分布函数为

⎧1⎧0,

x

f（x）=⎪,

a

或F（x）=⎪x-a,

b-a

a≤x

⎩⎪0,

其他,

⎪1,

b≤x,

则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X～U（a，b）．

【评注】区间（a，b），可以是闭区间[a，b]；几何概型是均匀分布的实际背景．用几何概率计算事件概率时已假设点在区域内服从均匀分布．几何概率可以用均匀分布计算．

9

（7）指数分布E（λ）

如果X的概率密度或分布函数为

⎧λe-λx,

f（x）=⎨

x>0

⎧1-e-λx,

或F（x）=⎨

x≥0

（λ>0）

⎩0,

x≤0

⎩0,

x<0

F（x）＝则称X服从参数为λ的指数分布，记为X～E（λ）．

（8）正态分布N（μ，σ2）

如果X的概率密度

1-1（x-μ）2

f（x）=e2σ

2πσ

（-∞

其中－∞＜μ＜∞，σ＞0，则称X服从参数为（μ，σ2）的正态分布或称X为正态变量，记为X～N（μ，σ2）．此时f（x）图形关于直线x＝μ对称，即f（μ－x）＝f（μ＋x），并在x＝μ处有唯一

最大值f（μ）=

1

．

2πσ

称μ＝0，σ＝1的正态分布N（0，1）为标准正态分布，通常记标准正态分布密度函数为

ϕ（x）=

-1x2

1

e2

2π

，分布函数为Ф（x）．显然φ（x）为偶函数，

Φ（0）=1,Φ（-x）=1-Φ（x）.

2

若X～N（0，1），Ф（μα）＝P（X≤μα）＝α，则称μα为标准正态分布下α分位数．如果X～N（μ，

σ2），则其分布函数

F（x）=P（X≤x）=Φ（x-μ）;F（μ-x）+F（μ+x）=1

σ

P（a

οσ

aX＋b～N（aμ＋b，a2σ2）（a≠0）．

注意：

“分布”两字在离散型随机变量场合泛指概率分布或分布函数；对连续型则泛指概率密度或分布函数；一般地则是指分布函数．二项分布，泊松分布与正态分布是概率中最重要的三个分布．

3.典型例题分析

1.求随机变量的分布

【例1】已知随机变量X的概率分布为

10

k

1

2

3

P（X=k）

θ2

2θ（1-θ）

（1-θ）2

且P（X≥2）=3，求未知参数θ及X的分布函数F（x）.

4

【例2】已知随机变量X的分布函数为F（x），概率密度函数为f（x）.当x≤0时，f（x）连续且

f（x）=F（x），若F（0）=1，求F（x），f（x）.

2.求随机变量函数的分布

【例】设XU[0,π]，求Y=sinX的概率密度fY（y）.

⎧1-1

⎪2

1

【例】设随机变量X的概率密度为f

（x）=⎪,0≤x<2,，Y=X2，求f

（y）.

4

X⎨Y

⎪

⎪0,其他

⎪⎩

11

第三讲随机变量的数字特征

1基本概念

1随机变量的数学期望

1．定义设X是随机变量，Y是X的函数：

Y＝g（X），

（1）如果X是离散型随机变量，其分布律为pi＝P{X＝xi}（i＝1，2，…）．若级数

∞∞

∑xiP{X=xi}绝对收敛，则称随机变量X的数学期望存在，并将级数∑xiP{X=xi}和称

i=1i=1

∞

为随机变量X的数学期望，记为E（X）或EX，即

EX=∑xiP{X=xi}

i=1

否则称X的数学期望不存在．

∞

若级数∑g（xi）P{X=xi}绝对收敛，则称Y＝g（X）的数学期望Eg（X）存在，且Eg（X）＝

∞

i=1

∑g（xi）P{X=xi}．否则称g（X）的数学期望不存在．

i=1

⎰

+∞

（2）如果X是连续型随机变量，其密度函数为f（x），若积分-∞xf（x）dx绝对收敛，则称X

+∞

数学期望EX存在，且EX=ˆ⎰-∞xf（x）dx，否则称X的数学期望不存在．若积分

+∞+∞

⎰-∞g（x）f（x）dx绝对收敛，则称g（X）的数学期望存在，且Eg（X）=⎰-∞g（x）f（x）dx．否则称g（X）的数学期望不存在．

【评注】

（1）数学期望又称为概率平均值，常常简称为期望或均值．数学期望是描述随机变量平均取值状况特征的指标，它刻画随机变量一切可能值的集中位置．

（2）在数学期望的定义中要求级数（或积分）绝对收敛，否则说期望不存在．这是因为X的期望存在与X的取值顺序无关，任意改变xi的次序不应改变EX的存在性，这在数学上就要求级数（或积分）绝对收敛，况且绝对收敛又有很多性质也便于数学上的处理．

2．性质

（1）对任意常数ai和随机变量Xi（i＝1，…，n）有

12

nn

E（∑aiXi）=∑aiEXi

i=1i=1

特别地Ec＝c，E（aX＋c）＝aEX＋c，E（X±Y）＝EX±EY．

（2）设X与Y相互独立，则

E（XY）＝EX·EY，E