中考数学知识点系列专题06整式方程组及应用030916.docx
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中考数学知识点系列专题06整式方程组及应用030916
专题06整式方程（组）及应用
聚焦考点☆温习理解
一、一元一次方程的概念
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程
叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。
二.一元二次方程
1、一元二次方程
含有一个未知数，并且未知
数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
，它的特征是：
等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中
叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
三、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如
的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，
是b的平方根，当
时，
，
，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式
，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有
。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程
的求根公式：
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
四、二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程.
2、二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方正组的解法
（1）代入法
（2）加减法
6、三元一次方程
把含有三个未知数，
并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
7、三元一次方程组
由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、一元一次方程
【例1】（2016江苏常州第13题）若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是．
【答案】﹣4．
【解析】
试题分析：
根据题意得：
x﹣5=2x﹣1，解得：
x=﹣4，故答案为：
﹣4．
考点：
解一元一次方程．
【点睛】根据题意可得非常，将方程移项、合并同类项得x=-4，即可求出x的值.
【举一反三】
（2016海南省第2题）若代数式x+2的值为1，则x等于（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【答案】B.
【解析】
试题分析：
由题意可知x+2=1，解得x=-1，故选B.
考点：
一元一次方程.
考点典例二、一元一次方程的应用
【例2】（2016湖北襄阳第14题）王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋，分给朋友们品尝．如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则王经理带回孔明菜袋．
【答案】33.
考点：
一元一次方程的应用.
【点晴】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系，本题根据“如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋”，得出等量关系：
孔明菜的数量相同，据此列出方程.
【举一反三】
（2016福建南平第9题
）闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为（ ）
A．60﹣x=20%（120+x） B．60+x=20%×120
C．180﹣x=20%（60+x） D．60﹣x=20%×120
【答案】A．
【解析】
试题分析：
设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：
60﹣x=20%（120+x）．故选A．
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．
考点典例三、一元二次方程
【例3】（2016湖北鄂州第11题）方程x2－3=0的根是
【答案】x1=
，x2=-
．
【解析】
试题分析：
移项得x2=3，开方得x1=
，x2=-
．
考点：
解一元二次方程．
【点睛】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．观察方程的特征，选择适当的方法解方程即可.
【举一反三】
1.（2016新疆生产建设兵团第8题）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方组可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14B．（x﹣3）2=4C．（x+3）2=14D．（x+3）2=4
【答案】C.
考点：
解一元二次方程.
2.（2016山东淄博第19题）（5分）解方程：
x2+4x﹣1=0．
【答案】x1=﹣2+
，x2=﹣2﹣
．
【解析】
试题分析：
移项可得x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
试题解析：
x2+4x﹣1=0
x2+4x=1
x2+4x+4=1+4
（x+2）2=5
x=﹣2±
x1=﹣2+
，x2=﹣2﹣
．
考点：
解一元二次方程.
考点典例四、一元二次方程的应用
【例4】（2016内蒙古通辽第5题）现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．6.3（1+2x）=8 B．6.3（1+x）=8
C．
D．
【答案】C．
【解析】
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程；增长率问题．
【点睛】根据增长率问题由3月快递总件数为6.3万件就可以表示出4月的快递总件数为6.3（1+x），则5月的快递总件数为6.3（1+x）2，列出方程求解即可.
【举一反三】
1.（.2016湖北随州第8题）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
【答案】C.
【解析】
试题分析：
设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得方程20（1+x）2=28.8．故答案选C．
考点：
一元二次方程的应用.
2.（2016内蒙古巴彦淖尔第15题）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为_____________m．
【答案】
2．
考点：
一元二次方程的应用；几何图形问题．
考点典例五、二元一次方程组
【例5】.（2016湖南永州第16题）方程组的解是 ．
【答案】x=2，y=0.
【解析】
试题分析：
由①得：
x=2﹣2y③，
将③代入②，得：
2（2﹣2y）+y=4，
解得：
y=0，
将y=0代入①，得：
x=2，
方程组的解为x=2，y=0.
考点：
二元一次方程组的解法.
【点睛】观察方程组方程的特点，选择适当的方法解方程组即可．
【举一反三】
（2016四川达州第18题）已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
【答案】原式=
.
【解析】
考点：
二元一次方程组的解法；整式的化简求值.
考点典例六、二元一次方程组的应用
【例6】（2016湖南怀化第16题）有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
【答案】笼子里鸡有18只，兔有12只．
【解析】
试题分析：
设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组，解方程组即可．
试题解析：
设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，
根据题意得：
，
解得
；
答：
笼子里鸡有18只，兔有12只．
考点：
二元一次方程组的应用．
【点睛】设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组，解方程组即可．
【举一反三】
（2016江苏盐城第16题）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是
固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需分钟．
【答案】40．
【解析】
考点：
二元一次方程组的应用．
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．（2016内蒙古通辽第13题）已知a、b满足方程组
，则
=．
【答案】3．
【解析】
试题分析：
，①×3+②得：
7a=28，即a=4，把a=4代入②得：
b=5，则原式=3．故答案为：
3．
考点：
二元一次方程组的解．
2.（2016四川甘孜州第21题）若
，则代数式
的值为．
【答案】8．
【解析】
试题分析：
原式=
=2×4=8．故答案为：
8．
考点：
代数式求值；条件求值．
3.（2015广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程
的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12B．9C．13D．12或9
【答案】A．
【解析】
考点：
1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．
4.（2016山东枣庄第5题）已知关于x的方程
有一个根为-2，则另一个根为
A．5B．－1C．2D．－5
【答案】B.
【解析】
试题分析：
设方程的里一个根为b，根据一元二次方程根与系数的关系可得-2+b=-3，解得b=-1，故答案选B.
考点：
一元二次方程根与系数的关系.
5.（2016湖南怀化第4题）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A．
【解析】
试题分析：
已知a=1，b=﹣1，c=﹣1，可得△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，故答案选A．
考点：
根的判别式．
6.（2016山东威海第5题）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（ ）
A．
B．﹣
C．4D．﹣1
【答案】A．
【解析】
考点：
根与系数的关系.
二．填空题
7.（2016湖南长沙第14题）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m＞﹣4．
【解析】
试题分析：
已知方程有两个不相等的实数根，可知△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得m＞﹣4．
考点：
一元二次方程根的判别式.
8.（2016新疆生产建设兵团第13题）某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
【答案】10（1+x）2=13．
【解析】
试题分析：
设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据“十一月份加工量=九月份加工量×（1+月平均增长率）2”，可列方程为：
10（1+x）2=13.
考点：
一元二次方程的应用.
9.（2016湖北十堰第13题）某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 ．
【答案】10%．
【解析】
试题分析：
设平均每次降价的百分率为x，第一次降价后的售价是100（1﹣x），第二次降价后的售价是100（1﹣x）2，根据题意列方程解100×（1﹣x）2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．所以这两次的百分率是10%．
考点：
一元二次方程的应用．
10.（2016湖北襄阳第12题）关于x的一元二次方程x2－2x
=0有两个相等的实数根，则m的值为。
【答案】2.
【解析】
试题分析：
已知方程x2－2x
=0有两个相等的实数根,可得：
△＝4－4（m－1）＝－4m＋8＝0，所以，m＝2.
考点：
一元二次方程根的判别式.
三．解答题
11.（2016山东滨州第20题）某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：
技术
上场时间（分钟）
出手投篮（次）
投中
（次）
罚球得分
篮板
（个）
助攻（次）
个人总得分
数据
46
66
22
10
11
8
60
注：
表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球．
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个．
【答案】2分球16个，3分球6个．
【解析】
答：
本场比赛中该运动员投中2分球16个，3分球6个．
考点：
二元一次方程组的应用．
12.（2016湖北黄石第20题）（本小题满分8分）解方程组
.
【答案】
.
【解析】
考点：
二元一次方程组的解法；一元二次方程的解法.
13.（2016湖南岳阳第22题）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：
方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
【答案】
（1）详见解析；
（2）5.
【解析】
试题分析：
（1）根据方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0判别式△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，所以方程总有两个不相等的实数根；
（2）把x=0代入方程解方程化简可得m2+m=0，再把整式化简后整体代入求值即可.
试题解析：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m2+m=0，
所以原式=（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5=3（m2+m）+5=5.
考点：
根的判别式；一元二次方程的解．
14.（2016湖北十堰第21题）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求证：
无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足
，求实数p的值．
【答案】
（1）详见解析；
（2）根与系的关系
【解析】
考点：
根的判别式；根与系的关系．
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