13山东高考数学理科试题及答案.docx

资源描述

13山东高考数学理科试题及答案.docx

《13山东高考数学理科试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《13山东高考数学理科试题及答案.docx（6页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

13山东高考数学理科试题及答案.docx

13山东高考数学理科试题及答案

2013山东高考数学理科试题及答案

　　　　　　2013年普通高等学校招生全国统一考试　　理科数学　　乐享玲珑，为中国数学增光添彩！

　　，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用　　第I卷　　一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　　1．若复数z满足（z?

3）（2?

i）?

5（i为虚数单位），则z的共轭复数z为（A）2?

i　　（B）2?

i　　（C）5?

i　　（D）5?

i2．已知集合A={0,1,2}，则集合B?

yx?

A,y?

A中元素的个数是（A）1　　（B）3　　（C）5　　（D）9　　23．已知函数f（x）为奇函数，且当x?

0时，f（x）?

1，则f（?

1）?

x（A）?

2　　（B）0　　（C）1　　（D）24．已知三棱柱ABC?

A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为　　9，底面是边长为3的正三角形.若P为底4面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为　　5?

　　（B）　　（C）　　（D）12346?

5．将函数y?

sin（2x?

）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则?

的一个　　8（A）可能取值为　　3?

　　（B）　　（C）0　　（D）?

444?

2x?

0,?

6．在平面直角坐标系xoy中，M为不等式组?

2y?

0,所表示的区域上一动点，则直线OM斜　　?

3x?

0,?

（A）　　率的最小值为　　11　　?

327．给定两个命题p，q.若?

p是q的必要而不充分条件，则p是?

q的　　2　　1　　?

充分而不必要条件　　必要而不充分条件　　充要条件　　既不充分也不必要条件8．函数y?

xcosx?

sinx的图象大致为　　　　9．过点（3,1）作圆（x?

1）2?

y2?

1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为2x?

02x?

04x?

0　　4x?

010．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为　　243252261279　　212xx（p?

0）的焦点与双曲线C2：

y2?

1的右焦点的连线交C1于第11．已知抛物线C1：

2p3一象限的点M。

若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p?

　　332343　　　　16833212xy12．设正实数x,y,z满足x2?

3xy?

4y2?

0，则当取得最大值时，?

的最大值为　　xyzz90　　1　　　　3　　4二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分。

　　13．执行右图的程序框图，若输入的?

的值为，则输出的n的值为_____.　　开始输入?

（?

0）F0?

1,F1?

2,n?

1F1?

F0?

F1F0?

F1?

F0n?

11?

F1否是输出n结束14．在区间?

3,3?

上随机取一个数x，使得x?

1成立的概率为______.　　?

15．已知向量AB与AC的夹角为120°，且AB?

3，AC?

2，若A，且P?

ABAC?

AP?

BC则实数?

的值为__________.　　?

0,0?

1,?

lnx?

16．定义“正对数”：

现有四个命题：

lnx,x?

1,?

①若a?

0,b?

0，则ln?

（ab）?

bln?

a；②若a?

0,b?

0，则ln?

（ab）?

ln?

b　　?

③若a?

0,b?

0，则ln（）?

lna?

lnb　　b④若a?

0,b?

0，则ln?

（a?

b）?

ln?

ln2　　，　　其中的真命题有__________________.（写出所有真命题的编号）　　三、解答题：

本大题共6小题，共74分。

17．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a?

6，b?

2，　　7。

9求a,c的值；　　求sin（A?

B）的值。

cosB?

　　18．如图所示，在三棱锥P?

ABQ中，PB?

平面ABQ，BA?

BP?

BQ，　　D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，AQ?

2BD,PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.　　求证：

AB?

GH；　　求二面角D?

GH?

E的余弦值。

　　　　19．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结　　束，除第五局甲队获胜的概率是　　12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结23果相互独立.　　分别求甲队以3：

0,3:

1,3:

2胜利的概率；　　若比赛结果为3:

0或3:

1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:

2，则胜利方得2　　分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望。

　　　　20．设等差数列?

an?

的前n项和为Sn，且S4?

4S2，a2n?

2an?

1.　　求数列?

an?

的通项公式；　　设数列?

bn?

前n项和为Tn，且Tn?

an?

1*c?

令（n?

N）.求数列n2nn2?

cn?

的前n项和Rn。

c.2xe求f（x）的单调区间、最大值；　　讨论关于x的方程lnx?

f（x）根的个数。

　　21．设函数f（x）?

　　　　x2y2322．（本小题满分13分）椭圆C:

1（a?

0）的左、右焦点分别是F1,F2，离心率为，ab2过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.求椭圆C的方程；　　点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2，设?

F1PF2的角平分线PM交C　　的长轴于点M（m,0），求m的取值范围；　　在的条件下，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设　　11?

直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，若k?

0，试证明为定值，并求出这个定值.kk1kk2　　　　　　参考答案　　一、选择题1．D【解析】（z-3）（2-i）=5，得z?

55（2?

i）5（2?

i）?

i，所2?

i（2?

i）（2?

i）5以z?

i，选D.2．C【解析】因为x,y?

A,所以x?

2,?

1,0,1,2，即B?

2,?

1,0,1,2},有5个元素，选C.3．A【解析】因为函数为奇函数，所以f（?

1）?

（1）?

（1?

1）?

2，选A.4．B【解析】取正三角形ABC的中心，连结OP,则?

PAO是PA与平面ABC所成的角。

因为底面边长为所以3，22313933AA1?

解得?

AO?

AD?

1.三棱柱的体积为?

（3）2?

33222422?

OP?

PAO?

ta?

nPAO?

3,所以，即，选B.AA1?

3，即OP?

A313OAAD?

5．B【解析】将函数y=sin的图像沿x轴向左平移?

8个单位，得到函数y?

sin[2（x?

）?

sin（2x?

），因为此时函数为偶函数，所以?

Z，即8442?

Z，所以选B.　　6．C【解析】作出可行域如图　　　　?

2y?

3图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。

得?

，即D（3,?

1）,此时OM的　　3x?

0y?

11?

，选C.斜率为337．A【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分而　　不必要条件，选A.　　8．D【解析】函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当x?

时，f（?

）?

0,排除A,选D.　　9．A【解析】图象可知，A（1,1）是一个切点，所以代入选项知，B,D不成立，排除。

又AB直线的斜率

　　　　　　为负，所以排除C，选A10．B【解析】有重复数字的三位数个数为9?

10?

900。

没有重复数字的三位数有C9A9有重复数字的三位数的个数为900?

648=252，选B.12?

648,所以　　p3x。

抛物线的焦点为F（0,）,双曲线的右焦点　　23x0213313为F2（2,0）.y’?

x，所以在M（x0,，即x0?

，所以x0?

p，即）处的切线斜率为p332pp3ppp?

0p3p43三点F（0,），F2（2,0），M（，选D.p,）共线，所以2?

62，即p?

23630?

23p3222212．B【解析】x?

3xy?

4y?

0，得z?

3xy?

4y。

所以xyxy1x4y1?

，当且仅当，即x?

2y时取等号此时?

12x4yzx?

3xy?

4yyx?

32x?

4y?

3yxyxxy2122122121?

（1?

）?

（1?

）z?

2y2，（）max?

1.?

zxy2yxyz2yyxyy11?

2y2y2?

4（）?

1，故选B.　　21113．3【解析】第一次循环，F，此时?

不成立。

第二次循?

3,F?

2,n?

210F1311环，F，此时?

成立，输出n?

3。

5,F?

3,n?

310F1511．D【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为y?

31?

1，x?

1,?

214．【解析】设f（x）?

2，则f（x）?

2。

2x?

33?

121?

。

解得1?

2，即当1?

3时，f（x）?

1。

几何概型公式得所求概率为　　3?

（?

3）63?

15．【解析】向量AB与AC的夹角为120，且|AB?

所以|3,A|?

C|12?

AB?

AC?

BcoAsC120?

3AP?

B得，AP?

0C，即。

所A以BAC?

AB?

（?

1）AB?

AC?

0，即AP?

（?

AB）（?

AC?

）A，C?

74?

3（?

，解得?

。

　　12b?

bb?

16．①③④【解析】①当a?

1,b?

0时，a?

1，ln（a）?

lna?

blna,blna?

blna，所以ln?

（ab）?

bln?

a成立。

当0?

1,b?

0时，0?

ab?

1，此时ln?

（ab）?

0,bln?

0，即　　1?

恒成立。

②当a?

b时，lna（b?

）b?

lna成立。

综上l?

nab（?

）b?

lael?

na（b?

）?

ln?

1a?

0,le?

，所以lb?

ln?

（ab）?

ln?

b不成立。

③讨论a,b的取值，　　可知正确。

④讨论a,b的取值，可知正确。

所以正确的命题为①③④。

　　217．解：

余弦定理b2?

a2?

c2?

2accosB，得b?

2ac（1?

cosB），　　27，所以ac?

9，解得a?

3，c?

3.942,在△ABC中，sinB?

cos2B?

9asinB22正弦定理得sinA?

，?

b312因为a?

c，所以A为锐角，所以cosA?

sinA?

　　3102.因此　　sin（A?

B）?

sinAcosB?

cosAsinB?

2718．解：

证明：

因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，所以EF∥AB,DC∥AB，所以EF∥DC，又EF?

平面PCD，DC?

平面PCD，所以EF∥平面PCD，　　又EF?

平面EFQ,平面EFQ?

平面PCD?

GH，所以EF∥GH，又EF∥AB，所以AB∥GH.　　解法一：

在△ABQ中,AQ?

2BD,AD?

DQ,　　所以?

ABQ=90?

，即AB?

BQ,因为PB?

平面ABQ,所以AB?

PB，又BP?

BQ?

B，所以AB?

平面PBQ，知AB∥GH,　　所以GH?

平面PBQ，又FH?

平面PBQ，所以GH?

FH，同理可得GH?

HC，所以?

FHC为二面角D?

GH?

E的平面角，设BA?

BQ?

BP?

2,连接PC，在Rt△FBC中，勾股定理得，FC?

2，在Rt△PBC中，勾股定理得，PC?

5，　　又a?

6，b?

2，cosB?

又H为△PBQ的重心，所以HC?

同理FH?

15PC?

335,355?

2499cos?

FHC?

在△FHC中，余弦定理得，　　552?

94即二面角D?

GH?

E的余弦值为?

.　　5解法二：

在△ABQ中，AQ?

2BD,AD?

DQ,　　所以?

ABQ?

90，又PB?

平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直，　　以B为坐标原点，分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BA?

BQ?

BP?

2，则E（1,0,1）,F（0,0,1）,Q（0,2,0）,D（1,1,0），C（0,1,0）P（0,0,2）,,所以?

EQ?

（?

1,2,?

1）,FQ?

（0,2,?

1）,DP?

（?

1,?

1,2）,CP?

（0,?

1,2）,　　?

设平面EFQ的一个法向量为m?

（x1,y1,z1），　　m?

EQ?

0，m?

FQ?

0,　　?

x1?

2y1?

z1?

0　　2y?

11?

取y1?

1，得m?

（0,1,2）.　　得?

设平面PDC的一个法向量为n?

（x2,y2,z2）?

DP?

0，n?

CP?

0,?

x2?

y2?

2z2?

0得?

y2?

2z2?

n4?

取z2?

1，得n?

（0,2,1）.所以cosm,n?

　　mn5因为二面角D?

GH?

E为钝角，所以二面角D?

GH?

E的余弦值为?

4.519．解：

记“甲队以3：

0胜利”为事件A“甲队以3：

1胜利”为事件A2，“甲队以3：

2胜1，利”为事件A3，题意，各局比赛结果相互独立，故P（A1）?

（）?

8，272228P（A2）?

C32（）2（1?

）?

，　　333272214P（A3）?

C41（）2（1?

）2?

　　33227323所以，甲队以3：

0,3:

1,3:

2胜利的概率分别是　　884，，；272727设“乙队以3:

2胜利”为事件A4，题意，各局比赛结果相互独立，所以　　2214P（A4）?

C41（1?

）2（）2?

（1?

）?

　　33227题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得　　16P（X?

0）?

P（A1?

A2）?

P（A1）?

P（A2）?

　　274P（X?

1）?

P（A3）?

　　274P（X?

2）?

P（A4）?

　　273P（X?

3）?

P（X?

0）?

P（X?

1）?

P（X?

2）?

　　27故X的分布列为　　0123X　　P16443　　27272727164437?

所以EX?

27272727920．解：

设等差数列?

an?

的首项为a1，公差为d，　　S4?

4S2，a2n?

2an?

1得　　4a1?

6d?

8a1?

4d?

，?

（2n?

1）?

2a?

2（n?

1）d?

11解得，a1?

1，d?

2　　因此an?

2n?

1（n?

N*）　　n题意知：

Tn?

1　　2nn?

1所以n?

2时，bn?

Tn?

2　　222n?

21n?

1故，cn?

b2n?

2n?

（n?

1）（）（n?

N*）　　24101112131n?

1所以Rn?

（）?

（n?

1）?

（），　　4444411112131n?

11n则Rn?

（）?

（n?

2）?

（）?

（n?

1）?

（）44444431112131n?

11n两式相减得Rn?

（）?

（n?

1）?

（）　　44444411n?

（）4?

（n?

1）

（1）n　　?

4141?

413n?

1整理得Rn?

（4?

1）　　9413n?

1所以数列数列?

cn?

的前n项和Rn?

（4?

1）　　9421．解：

f’（x）?

（1?

2x）e?

2x，　　1f’（x）?

0，解得x?

，　　21当x?

时，f’（x）?

0，f（x）单调递减　　211所以，函数f（x）的单调递增区间是（?

），单调递减区间是（,?

），　　2211?

c最大值为f（）?

22ex令g（x）?

lnx?

f（x）?

lnx?

2x?

cx?

（0,?

）　　ex当x?

（1,?

）时，lnx?

0，则g（x）?

lnx?

2x?

c，　　e2x’?

2xe所以，g（x）?

e（?

2x?

1）　　xe2x因为2x?

0，?

0所以g’（x）?

0　　x因此g（x）在（1,?

）上单调递增.　　当x?

（0,1）时，当时，lnx?

0，则g（x）?

lnx?

’?

2xx?

c，e2xe2x所以，g（x）?

e（?

2x?

1）　　x因为e2x?

（1,e2），e2x?

0，又2x?

1　　e2x所以?

2x?

0所以g’（x）?

0　　x因此g（x）在（0,1）上单调递减.综合可知当x?

（0,?

）时，g（x）?

（1）?

c，　　当g

（1）?

0，即c?

2时，g（x）没有零点，故关于x的方程lnx?

f（x）根的个数为0；　　当g

（1）?

0，即c?

2时，g（x）只有一个零点，故关于x的方程lnx?

f（x）根的个数为1；当g

（1）?

0，即c?

2时，①当x?

（1,?

）时，知　　x1?

lnx?

（e?

c）?

lnx?

ce2x2要使g（x）?

0，只需使lnx?

0，即x?

（e1?

c,?

）；②当x?

（0,1）时，知　　x1g（x）?

lnx?

2x?

lnx?

（e?

c）?

lnx?

c；　　e2要使g（x）?

0，只需使?

lnx?

0，即x?

（0,e?

c）；　　所以当c?

2时，g（x）有两个零点，故关于x的方程lnx?

f（x）根的个数为2；g（x）?

lnx?

综上所述：

　　当c?

2时，关于x的方程lnx?

f（x）根的个数为0；当c?

2时，关于x的方程lnx?

f（x）根的个数为1；当c?

2时，关于x的方程lnx?

f（x）根的个数为2.　　222xyb22．解：

于c2?

a2?

b2，将x?

c代入椭圆方程2?

1得y?

aabc2b23题意知?

1，即a?

2b2　　又e?

aa2x2所以a?

2，b?

1　　所以椭圆方程为?

y2?

1　　4?

PF1?

PMPF2?

PMPF1?

PMPF2?

PM2?

设P（x0,y0）其中x0题意可知：

4，将|PF1||PM||PF2||PM||PF1||PF2|232向量坐标代入并化简得：

m题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，导数法可求得，切线方程为：

x0xy0y0x11?

y0y?

1，所以k?

0，而k1?

，代入中得,k2?

44y0kk1kk2x?

3x?

3x0?

311?

4（0?

）?

8为定值。

kk1kk2x0x0

展开阅读全文