（A）（B）（C）（D）
（3）设f（x）=则不等式f（x）>2的解集为
（A）（1，2）（3，+∞）（B）（，+∞）
（C）（1，2）（，+∞）（D）（1，2）
（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=
（A）1（B）2（C）—1（D）
（5）设向量a=（1,2）,b=（－1,1）,c=（－1,－2），若表示向量4a,4b－2c,2（a－c）,d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为
（A）（2,6）（B）（－2,6）（C）（2,－6）（D）（－2,－6）
（6）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=－f（x）,则,f（6）的值为
（A）－1（B）0（C）1（D）2
（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
（A）（B）（C）（D）
（8）设p：
x－x－20>0,q：
<0,则p是q的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
（A）33（B）34（C）35（D）36
（10）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中i=－1，则展开式中常数项是
（A）－45i（B）45i（C）－45（D）45
（11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是
（A）80（B）85（C）90（D）95
（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为
（A）（B）（C）（D）
（12题图）
绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修II）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
得分
评卷人
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.
（13）若.
（14）已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点，则y12+y22的最小值是.
（15）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为.
（15题图）
（16）下列四个命题中，真命题的序号有（写出所有真命题的序号）.
①将函数y=的图象按向量y=（-1,0）平移，得到的图象对应的函数表达式为y=
②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2
③若sin（+）=,则sin（+）=,则tancot=5
④如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.
（16题图）
得分
评卷人
三、解答题：
本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）已知f（x）=Asin（）（A>0,>0,0<<函数，且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求;
（2）计算f
（1）+f
（2）+…+f（2008）.
得分
评卷人
（18）（本小题满分12分）
设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a-1，求f（x）的单调区间。
得分
评卷人
（19）（本小题满分12分）
如图ABC-A1B1C1，已知平面平行于三棱锥V-A1B1C1的底面ABC，等边∆AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且ABC=90°，设AC=2a,BC=a.
（1）求证直线B1C1是异面直线与A1C1的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角A-VB-C的大小.
（19题图）
得分
评卷人
（20）（本小题满分12分）
袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率.
得分
评卷人
（21）（本小题满分12分）
双曲线C与椭圆有相同的热点，直线y=为C的一条渐近线.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0,4）的直线l，求双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当=，且时，求Q点的坐标.
得分
评卷人
（22）（本小题满分14分）
已知a1=2，点（an,an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
（1）证明数列｛lg（1+an）｝是等比数列；
（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列｛an｝的通项；
（3）记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.
参考答案
（1）—（12）DACBDBBAADCC
（13）2（14）32（15）（16）
2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修Ⅱ）
第I卷（共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
1．定义集合运算：
，设集合，则集合的所有元素之和为
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
y
y
y
y
2．函数的反函数的图象大致是
x
o
2
1
x
o
2
1
x
o
2
1
x
o
2
1
（D）
（C）
（B）
（A）
3．设，则不等式的解集为
（A） （B） （C）（D）
4．在中，角的对边分别为，已知，则
（A）1 （B）2 （C） （D）
5．设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为
（A）（2,6） （B）（-2,6） （C）（2,-6） （D）（-2,-6）
6．已知定义在R上的奇函数满足，则的值为
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
7．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为
（A） （B） （C） （D）
8．设，则是的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
9．已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
（A）33 （B）34 （C）35 （D）36
10．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是
（A） （B） （C） （D）
11．某公司招收男职员名，女职员名，和须满足约束条件，则的最大值是
（A）80 （B）85 （C）90 （D）95
A
E
B
C
D
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。
13．若，则常数2。
A
B
C
D
C1
A1
B1
14．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是32。
15．如图，已知正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为______。
16．下列四个命题中，真命题的序号有③④（写出所有真命题的序号）。
①将函数的图象按向量v=（-1,0）平移，得到的图象对应的函数表达式为
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
②圆与直线相交，所得的弦长为2
③若，则
④如图，已知正方体，P为底面ABCD内一动点，P到平面的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分。
（16题④图）
三．解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.
（I）求
（II）计算.
解：
（I）
的最大值为2，.
又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，
.
过点，
又
.
（II）解法一：
，
.
又的周期为4，，
解法二：
又的周期为4，，
18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.
解：
由已知得函数的定义域为，且
（1）当时，函数在上单调递减，
（2）当时，由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
19．（本小题满分12分）
A
B
C
A1
V
B1
C1
如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设
（1）求证直线是异面直线与的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角的大小。
解法1：
（Ⅰ）证明：
∵平面∥平面，
又∵平面⊥平面，平面∩平面，
∴⊥平面，
，
又，.
为与的公垂线.
（Ⅱ）解法1：
过A作于D，
∵△为正三角形，
∴D为的中点.
∵BC⊥平面
∴，
又，
∴AD⊥平面，
∴线段AD的长即为点A到平面的距离.
在正△中，.
∴点A到平面的距离为.
解法2：
取AC中点O连结，则⊥平面，且=.
由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，
，
即，解得.
即A到平面的距离为.
则
所以，到平面的距离为.
（III）过点作于，连，由三重线定理知
是二面角的平面角。
在中，
。
。
所以，二面角的大小为arctan.
解法二：
取中点连,易知底面，过作直线交。
取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。
则。
（I），，
，
。
又
由已知。
，
而。
又显然相交，
是的公垂线。
（II）设平面的一个法向量，
又
由
取得
点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。
，设所求距离为。
则
所以，A到平面VBC的距离为.
（III）设平面的一个法向量
由
取
二面角为锐角，
所以，二面角的大小为
20．（本小题满分12分）
袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。
用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率。
解：
（I）解法一：
“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则
解法二：
“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为
所以.
（II）由题意有可能的取值为：
2，3，4，5.
所以随机变量的概率分布为
2
3
4
5
因此的数学期望为
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则
21．（本小题满分12分）
双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。
解：
（Ⅰ）设双曲线方程为
由椭圆
求得两焦点为，
对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线
解得，
双曲线的方程为
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线的斜率存在且不等于零。
设的方程：
，
则
在双曲线上，
同理有：
若则直线过顶点，不合题意.
是二次方程的两根.
，
此时.
所求的坐标为.
解法二：
由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程，，则.
，
分的比为.
由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三：
由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：
，则.
，
.
，
，，
又，
即
将代入得
，否则与渐近线平行。
。
解法四：
由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：
，
则
。
同理
.
即 。
（*）
又
消去y得.
当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。
由韦达定理有：
代入（*）式得
所求Q点的坐标为。
22．（本小题满分14分）
已知，点在函数的图象上，其中
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求及数列的通项；
（3）记，求数列的前项，并证明
解：
（Ⅰ）由已知，
，两边取对数得
，
即
是公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
（*）
=
由（*）式得
（Ⅲ）
又
又
.
升级会员 